分式方程中待定字母取值问题

刘元平

与分式方程有关的待定字母求值问题是中考常见考点. 求解待定字母，需结合分式方程的增根、方程无解、不等式整数解等相关知识. 现举例说明.

一、已知分式方程的解，求待定字母的值

例1（2020·四川·成都）[x=2]是分式方程[kx+x-3x-1=1]的解，则实数[k]为（ ）.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解题策略：将分式方程的解直接代入分式方程，求解待定系数.

解析：把[x=2]代入分式方程得[k2-1=1]，解得[k=4].

故选[B].

二、已知分式方程有增根，求待定字母的值

例2（2020·四川·遂宁·改编）关于x的分式方程[mx-2-32-x=1]有增根，求m.

解题策略：先将已知分式方程化为整式方程，然后由已知分式方程确定增根（使分母为零的未知数的值），最后将增根代入变形后的整式方程，求出待定字母的值.

解析：去分母得m + 3 = x - 2，

由分式方程有增根可知x - 2 = 0，即x=2，

把x=2代入整式方程m + 3 = x - 2，得m + 3 =0，解得m = -3.

三、已知分式方程无解，求待定字母的值

例3（2020·黑龙江·龙东·改编）关于x的分式方程[kxx-2-4=12-x]无解，求k.

解题策略：认清分式方程的增根与无解并非同一个概念. 分式方程无解是指无论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等. 分式方程无解包含两种情况：（1）原分式方程去分母后得到的整式方程无解;（2）原分式方程去分母后得到的整式方程有解，但该解使原分式方程的分母为0，是增根，从而原分式方程无解.

解析：去分母得[kx-4（x-2）=-1]，则[（k-4）x=-9].

分两种情况：（1）当[k-4=0]，即[k=4]时，方程无解;

（2）[x=2]是增根，即[-9k-4] = 2，解得k = [-12].

综上可知：[k=4][或][-12].

四、已知分式方程的解为正数，求待定字母的取值范围

例4（2020·黑龙江·齐齐哈尔）若关于x的分式方程[3xx-2=m2-x+5]的解为正数，则m的取值范围为（ ）.

A. m<-10 B. m ≤ -1 C. m ≥ -10且m ≠ -6 D. m>-10且m ≠ -6

解题策略：分式方程去分母时，应注意分母有意义的条件.

解析：去分母得3x=-m + 5（x - 2），解得x[ =m+102]，

由方程的解为正数，得m + 10>0，且[m+102≠2]，

则m>-10且m ≠ -6. 故选D.

五、已知分式方程的解为负整数，求待定字母的取值范围

例5（2020·黑龙江·牡丹江·改编）[mxx-2+2x-2=2]的解为负整数，求m.

解题策略：先将分式方程化为整式方程，然后根据方程有负整数解，利用整除性求解，并讨论未知数的系数是否为0.

解析：去分母得[mx+2=2（x-2）]，

则[（m-2）x=-6]，

由分式方程有解可得[m≠2]，[x=-6m-2].

因为分式方程的解为负整数，

所以[m-2]的值为1，2，3，6，即m的值为3，4，5，8.

总之，求解含有待定字母的分式方程时，应当注意如下两点：

1. 待定字母正常参与未知数的求解过程，应考虑未知数的系数是否能作为分母;

2. 分式方程中分母有意义的限制条件往往会对待定字母的取值产生影响，这一点要时刻牢记.

1. 已知x = 4是方程[x-1m-1] = 1的一个根，则m = .

2. 關于x的方程[x-2x-3=mx-3]产生增根，则m的值是 .

3. 已知关于[x]的分式方程[a+2x+1=1]的解是非正数，则[a]的取值范围是 .

答案：1. 4 2. 1 3. [a] ≤ -1且[a] ≠ -2