重构小波阈值的微机电系统-惯性测量单元降噪处理

王晓初， 周思杰， 王 义， 张思华

(1.广东工业大学， 省部共建精密电子制造技术与装备国家重点实验室， 广州 510006； 2.广州大铁锐威科技有限公司， 广州 510663)

由于微机电系统-惯性测量单元(micro electro mechanical systems-inertial measurement unit, MEMS-IMU)具有小尺寸、低成本和易于集成等优点，已经在捷联惯性导航系统(strap-down inertial navigation system, SINS)中得到了广泛应用[1]。在实际复杂量测环境中，MEMS-IMU中的加速度计和陀螺仪在数据采集和传输过程中，受多种噪声声源、杆臂效应和弹性变形等因素的干扰，因而不可避免的产生噪声，影响惯性元件的数据输出精度[2]。目前，抑制MEMS-IMU中随机误差的方法主要有：一种是从器件结构本身出发，提高器件的加工工艺，优化本身的结构设计；另一种是建立合适的误差模型，对惯性元件的输出信号进行降噪处理[3]。

在MEMS-IMU输出信号的降噪处理过程中，传统有限长单位冲激响应(finite impulse response, FIR)滤波、维纳滤波以及自适应滤波等方法均无法有效解决有用信号与噪声频谱重叠的缺陷，小波变换理论具有良好的时频局部表征特性，可根据有用信号能量和噪声能量在小波域中的小波系数差异，来削弱传感器量测数据中的高频噪声[4]。文献[5-6]提出的实验过程建立在计算机数据仿真上，完全排除了微机电系统中轴偏差、尺度因子和温漂等因素引起的确定性误差，对实际工程项目指导有限。文献[7-8]提出的重构小波阈值降噪方法，固定了小波分解重构的尺度，当分解尺度增加时，会增加系统计算的复杂度，而分解尺度较小时，又无法有效抑制内部噪声，故需对不同系统平台产生的信号手动对比不同尺度的降噪效果。

为此，拟通过对MEMS-IMU误差模型的分析，在小波软、硬阈值量化处理的基础上，构建连续的新型阈值函数，以解决传统小波变换中因阈值选取过大或过小而产生的噪声误判或噪声残留问题，并最终降低惯性元件量测数据的离散程度。

1 MEMS-IMU的误差模型

在组合导航系统的物体姿态与位置信息的获取过程中，需要对加速度计和陀螺仪的量测数据进行积分处理，故MEMS-IMU量测数据的输出精度直接影响组合导航系统的性能。MEMS-IMU量测误差由确定性误差和随机误差组成。确定性误差包含轴偏差、尺度因子和温漂等因素引起的误差，可通过提前标定去除这些因素引起的误差；随机误差包含量化噪声、角度/速度随机游走、零偏不稳定性系数、角速率/加速随机游走、角速率/加速漂移斜坡引起的误差。惯性元件随机误差项可建模成高斯分布，用Allan方差分析MEMS-IMU随机误差中各误差项系数的影响[9-10]，以选择合适的采样频率和滤波方法。Allan方差计算公式为

(1)

式(1)中：Q为量化噪声；N为角度/速度随机游走；B为零偏不稳定性系数；K为角速率/加速随机游走；R为角速率/加速漂移斜坡；τ为数据子集平均时间。

假设b系为MEMS-IMU机体系，a系为加速度计确定的非正交坐标系，g系为陀螺仪确定的非正交坐标系，则加速度通道和角速度通道的量测误差模型可表示为[7]

(2)

式(2)中，Aa为三轴加速度计的输出向量；Tg为三轴陀螺仪的输出向量；Ka和Sg分别为加速度计和陀螺仪的尺度因子；fb为加速度计比力输出向量；ωb为陀螺仪角速率输出向量；Ba和Dg分别为加速度计与陀螺仪的零偏；wa和wg分别为加速度计与陀螺仪的随机噪声。去除式(2)模型中可标定的确定性误差后，其噪声模型可简化为

(3)

图1 小波降噪处理流程图

2 小波降噪算法

2.1 离散小波变换

连续小波变换的概念以及公式可参考文献[5]，但其往往只适用于理论分析和推导。实际应用过程中，由于采集信号均为离散数据点，故需将连续小波变换进行离散化处理。连续小波的离散化，本质上是对连续小波基函数中的尺度因子a和位移因子b进行离散化处理。设f(t)为R∈(-∞,+∞)上的能量有限信号，其连续小波变换式为

CWTf(a,b)=〈f(t),ψa,b(t)〉=

(4)

当

且a0>1，j,b0,k∈Z时，其离散化后的小波函数和离散小波变换式分别为[8]

(5)

(6)

式中：a0为大于1的常数；b0为大于0的常数，a、b的选取与小波基函数的具体形式有关；j、k为整数；DWTf为离散小波变换系数。

惯性元件量测数据中的随机噪声包含长期噪声和短期噪声，因他们均为高频噪声，故可利用小波变换中有效信号和噪声系数在多尺度上的差异性，将原始信号先通过高通滤波器和低通滤波器，分解为高频信号和低频信号，再通过阈值处理和小波重构得到去噪后的信号[11-13]。图2为小波多层分解的示意图，其中S为原始信号，经过i层分解得到cAi近似分量(Lo_D低频信号)和cDi细节分量(Hi_D 高频信号)，在分解过程中，只对近似分量进行逐层分解。

图2 多层小波分解示意图

2.2 传统小波降噪处理

在传统小波降噪处理过程中，首先选择合适的正交小波基，然后在固定的尺度分解中，使用常用的软、硬阈值去噪函数进行阈值的量化处理。软、硬阈值函数表达式[14]如下。

硬阈值函数：

(7)

软阈值函数：

(8)

根据以上硬、软阈值函数表达式可知：硬阈值函数处理后的小波系数不连续，会产生伪吉布斯现象，影响重构序列的光滑性；软阈值函数处理后的小波系数虽然连续，但是系数间存在恒定偏差，会降低重构序列的精度[15]。

2.3 改进小波降噪处理

针对传统小波降噪中，小波分解尺度固定和软、硬阈值量化处理的缺陷，在软阈值函数的基础上构建一种连续的新阈值函数，该函数包含一个调节因子，通过对该因子的调节，降低软阈值过程中系数间的恒定偏差值，保留了低能量信号；利用小波分解后近似分量和细节分量的相关系数大小来确定小波分解的尺度，当近似分量和细节分量的相关系数较小时，说明噪声成分较大，需要进一步的分解近似分量[16]。

假设r(cAi,cDi)为各层相关系数，其中r(cAi,cDi)∈[0,1]，i=1,2,…，N-1,N，则各层近似分量和细节分量的相关系数表达式为

(9)

新的阈值函数表达式为

(10)

(11)

(12)

由式(11)、式(12)可知，新的阈值函数在λj点处连续，同理可证-λj点处的连续性。

(13)

(14)

由式(13)、式(14)可知，新的阈值函数渐近线为η(wj,k,α)=wj,k。根据上述证明可知，当α→∞时，新的阈值函数为软阈值函数；当α→0时，新的阈值函数为硬阈值函数。小波系数|wj,k|逐渐增大时，η(wj,k,α)→wj,k，能够克服软阈值函数中小波系数的恒定偏差。

相比于传统小波降噪，新的阈值函数不但保留传统阈值函数的特性，在对高频系数阈值的量化处理过程中，能够更大程度保留有用信号。图3为新的阈值函数与软、硬阈值函数的对比示意图，其中λ=2，α=3。

图3 阈值函数对比示意图

3 实验结果及数据分析

3.1 实验方案

为了验证改进小波降噪处理方法在工程上的应用价值，实际建模过程中采用图4中的STIM300模块。在静态与动态环境下，首先使用STM32单片机采集STIM300的输出数据，然后将采集到的数据通过U盘导入MATLAB进行分析，数据采集的采样频率为125 Hz，采样时间为300 s。最终以STIM300模块z轴方向输出的加速度和角速度为例，通过db4小波基分解重构后，对比传统小波降噪和改进小波降噪的滤波效果。

图4 STIM300静态测试平台

3.2 小波降噪处理

静态试验过程中，将MEMS-IMU放入图4所示的温度为25 ℃和相对湿度为40%的恒温恒湿试验箱中，上电静置30 s完成自检和初始对准，然后采集300 s内高性能高精度组合系统(STIM300)模块的三轴加速度和三轴角速度，最终将采集到的静态数据导入MATLAB，选用db4小波基通过不同的阈值函数对原始数据进行分解重构。其中传统软、硬阈值函数的小波降噪采用固定的三级分解尺度，而新阈值函数的小波降噪分解尺度由小波分解后近似分量和细节分量的相关系数大小来决定。相关系数越小，表明噪声影响越大，需进一步分解近似分量。图5和图6分别为z轴方向加速度计和陀螺仪静态采集数据后，量测数据通过软、硬阈值函数和新阈值函数量化处理后的效果图。

图5 z轴加速度静态滤波处理

图6 z轴角速度静态滤波处理

动态试验过程中，将MEMS-IMU上电对准后放在专用仪器调试平衡架上，缓慢旋转含有STIM300模块的仪器，采集300 s内STIM300模块输出的数据，最终将采集到的动态数据导入MATLAB，选用db4小波基通过不同的阈值函数对原始数据进行分解重构。其小波分解尺度的选用方式与静态试验过程中小波分解尺度的选取方式相同。图7和图8分别为z轴方向加速度计和陀螺仪动态采集数据后，量测数据通过软、硬阈值函数和新阈值函数量化处理后的效果图。

3.3 实验结果与分析

从图5～图8可知，静态和动态环境下，陀螺仪的随机误差远远大于加速度计所产生的随机误差，且STIM300模块量测数据通过小波变换阈值函数的量化处理后，量测信号的线条清晰度有明显的改善。此外，为了客观评价新阈值函数量化处理后的小波降噪效果，采用信噪比(signal to noise ratio,SNR)和均方根误差(mean square error,MSE)来评估静态试验过程中z轴陀螺仪数据在不同阈值函数量化处理后的降噪效果。从表1中去噪信号比与均方误差数据可知，相比于传统小波降噪对惯性元件的处理，STIM300模块量测数据经过改进小波降噪方法处理后，具有更高的信噪比和更低的均方误差值，能够进一步降低数据的离散程度，提高信号的平滑性。对比文献[5]中阈值函数对加速度传感器数据的量化处理结果可知，所构造的连续阈值函数量化处理后，具有更高的信噪比和更低的均方误差，且无需在量化过程中固定小波的分解尺度。

4 结论

通过对MEMS-IMU误差模型的分析，利用离散小波变换可降噪的特点，来抑制惯性元件中随机误差的影响。针对传统小波降噪软、硬阈值函数量化处理中存在的问题，提出一种新的阈值函数的量化处理方法来弥补软、硬阈值在降噪上的不足。通过选取db4小波基对STIM300模块量测数据进行小波降噪处理，验证了小波降噪对惯性元件量测数据进行预处理的可行性。此外，相比于传统软、硬阈值量化处理，通过新的阈值函数的量化处理后，信号具有更低的离散度和更高的平滑度，能够有效提高捷联惯性导航系统的定位定资精度。