难以分清的“葡萄”和“葡萄干”

周游

[摘 要]引导学生解难题时，教师不能局限于一种方法，而应该根据学生学习的基础和知识的更新情况，适时调整方法，改换策略，从列表策略过渡到“比例”的方法，提高解题效率。

[关键词]列表;对应关系;比例

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0045-02

偶然读到一篇数学论文，题目为《从“晒制葡萄干”说起》，文中提到一道经典的数学应用题“用4千克的葡萄可以晒制葡萄干1.6千克，照这样计算，1千克的葡萄可以晒制葡萄干多少千克？要晒制1千克葡萄干需要多少千克葡萄？”，并提供了两种解题方法。第一种：锁定问题，即最后求的是葡萄干还是葡萄的质量。如果求的是葡萄干的质量，那就用葡萄干的质量除以葡萄的质量;如果求的是葡萄的质量，那就用葡萄的质量除以葡萄干的质量。第二种：锁定问题的开头语。如果问题的开头语是1千克葡萄，那就把葡萄的质量作为除数，葡萄干的质量作为被除数，列一个除法算式;如果问题的开头语是1千克葡萄干，那么就倒过来，把葡萄干的质量作为除数，葡萄的质量作为被除数，列一个除法算式。显然，一些教师认为与其费尽唇舌还不能让学生领悟个中原委，不如直接用断句法和语句推敲法“快刀斩乱麻”，但这种做法是极其短视的。

一、词句分析法不可取

五年级的学生开始学习小数和分数，习题及测试卷中常常会出现“黄金搭档”填空题，如“火神山建筑队每1.5小时可以粉刷120平方米的外墙，照这样计算，火神山建筑队1小时可以粉刷（ ）平方米的外墙？粉刷1平方米外墙要（   ）小时？”，对于此类题，学生的答题正确率比较高，但对于变式题“用4千克的葡萄可以晒制葡萄干1.6千克，照这样计算，1千克的葡萄可以晒制葡萄干多少千克？要晒制1千克葡萄干需要多少千克葡萄？”，学生的答题正确率则呈断崖式下降。

笔者访谈了不少学生，以了解其中原因。其一：前一题有相应的数量关系式“施工速度=任务量÷施工时间”“施工时间=工程总量÷施工速度”，而后一题则缺少这种通识性的数量关系式作为支撑。其二：前一题中，当目标量的单位是“平方米”时，就用120平方米除以1.5小时;当目标量的单位是“小时”时，就用1.5小时除以120平方米。因为根据除法性质，商的单位和被除数的单位要保持一致，因此商和被除数应是同类量，而后一题中所有的单位都是千克，就难以据此列式了。

二、列表找对应关系

由以上分析可见，教学中不应只关注学生做题结果的正确率，还应关注学生的思考过程，在学生理解的基础上建立除法解题模型，让学生在解决问题的过程中积累基本的数学经验。

为此，笔者总结出了“回环相除”题型，即不论哪一个量除以哪一个量，都是围绕着一个基本的数量关系式“总数÷份数=每份数”来展开的。当然，这必须具体情况具体讨论，因为“总数”和“份数”会随着题意的变化而进行“角色互换”。因此，教师首先要指导学生反复读题，明确“总数”和“份数”分别对应的量，对于不便明确的量，推荐使用列表法。首先，用列表摘选条件的方法来解析题意。列表过程虽然琐碎，但是对精准分析题意发挥着重要的作用。经过一段时间的练习，学生就可以做到在脑海中形成虚拟表格，并成为一种下意识的行为。其次，要重视列表摘选条件的方法指导。虽然，学生在四年级学过列表法，但对列表法的运用还是很生涩，此时教师的指导很关键。第三，列表后的对比辨析至关重要。如下表：

分析表中数据可以发现，葡萄和葡萄干的质量是有对应关系的，葡萄质量增加，葡萄干的质量也相应增加，葡萄的质量减少，葡萄干的质量也相应减少。既然存在这样的对应关系，就可据此进行具体分析，如表格中4千克葡萄→1千克葡萄，缩小了4倍，那么晒制的葡萄干的量也相应缩小4倍，变为1.6÷4=0.4（千克）;当葡萄干1.6千克→葡萄干1千克时，缩小了1.6倍，那么葡萄的量也相应缩小1.6倍，变为4÷1.6=2.5（千克）。利用列表法，可帮助学生看清葡萄和葡萄干之间的一一对应关系，为解题提供了思路。由此可见，列表分析对应关系比先计算每份数更符合学生的思维特性。

三、从比例的角度来理解

到了六年级，学生学了比例知识后，“晒制葡萄干”的解决途径又多出一条。在列表分析对应关系的基础上，让学生进一步理解“同样的葡萄作原料，葡萄干的出产率是一定的”“相对应的葡萄干与葡萄（或者葡萄与葡萄干）的比值是一定的”“相对应的葡萄干与葡萄（或者葡萄与葡萄干）存在比例关系”。学生很快发现：4千克葡萄∶1.6千克葡萄干=1千克葡萄∶？千克葡萄干，可列出比例式4∶1.6=1∶x，反过来1.6千克葡萄干∶4千克葡萄=？千克葡萄干∶1千克葡萄，可列出比例式1.6∶4=x∶1;4千克葡萄∶1.6千克葡萄干=？千克葡萄∶1千克葡萄干，可列出比例式4∶1.6=y∶1，反过来，1.6千克葡萄干∶4千克葡萄=1千克葡萄干∶？千克葡萄，可列出比例式1.6∶4=1∶y。这时，列比例式的方法比列表找对应关系方便得多。

“列比例式”的方法，可有效解决“已知巨峰葡萄晒制葡萄干的出产率为40%，50千克巨峰葡萄可晒制多少千克葡萄干？要晒制50千克葡萄干需要多少千克巨峰葡萄？”这一问题。学生只要理解“出葡萄干率=葡萄干的千克数÷葡萄的千克数”，便能顺利地列出“x/50=40%”“50/y=40%”。类似的求治愈率、到岗率等的问题也都可以迎刃而解。当然，在更复杂的分数应用题中，该方法也能够大显神威。如“方舱医院新冠肺炎男性、女性患者的比是4∶3，转走2名女患者后，男性和女性女患者的比是6∶5，求原來男性、女性患者各有多少人？”这样一道题，以往的解法是，先设“男性患者人数”这个不变量为单位“1”，求出原来女性患者人数占单位“1”的3/4，后来女性患者人数占单位“1”的5/6，再用2÷（5/6 -3/4）=24求出男性患者人数，最后求出原来的女性患者人数。现在，可以根据比例列出方程：[4x/3x-2=65]。在后面的拓展题“方舱医院收治的新冠肺炎男性、女性患者人数的比是4∶3，转走2名男性患者，又转进1名女性患者后，男性、女性患者的比是6∶5，求原来男性、女性患者各有多少人？”中，关系较为复杂，但学生可以利用比例列出方程：[4x-23x+1=65]。

一道看似寻常的“晒制葡萄干”题，引出不同的解题方法。教师应该时刻保持科研者的心态，敏锐地嗅出数学题背后的知识链接，引导学生寻求问题的破解之道。

（责编 罗 艳）