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通过动手操作来探寻植树问题的规律

2021-08-09王柳萍

小学教学参考(数学) 2021年7期
关键词:植树问题动手操作

王柳萍

[摘 要]数学知识可谓是取之于生活,用之于生活,从生产生活中总结抽象出的,最终用来解决生产生活中的相关问题的。让学生参与综合实践活动,在动手操作和体验式探究中感悟数学知识的起源和生成过程,认真观察、动脑思考,理论结合实际,手脑并用,实践与理论循环印证,有利于学生透彻理解知识本质,融会贯通,形成扎实过硬的学习技能。

[关键词]动手操作;植树问题;间隔数

[中圖分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068(2021)20-0037-02

教学中,一部分教师舍不得放手让学生去开展活动,深入体验,观察生活现象,并带着疑问和目的去动手操作,再动脑反思其中的奥秘和道理,而是将现成的结论教给学生,强制学生机械记忆和模仿练习,然后打出练习“组合拳”,以期达到理解、巩固知识的目的。这样做,无法启迪智慧,也严重阻遏了学生思维品质的提升,扼杀了学生创新精神的萌发。下面,笔者以人教版教材五年级上册 “植树问题”教学为例,引导学生动手操作,帮助学生探寻规律,让学生从中感悟数学知识的起源和生成过程,从而透彻理解知识本质,融会贯通,形成扎实过硬的学习技能。

一、动手操作参与实践活动,创设情境揭示规律

设计一:参与实践活动

【例1】学校门口有一条6米长的鹅卵石小路,一边要植上棕榈树,每隔2米植一棵(两端都要植),需要几棵棕榈树?(教师用课件展示)

师:请小组合作探究,并交流讨论。

(学生积极思索,热烈讨论,小组发言人代表发言)

组1:我们小组列式6÷2=3,故需要3棵棕榈树。

师:组1的答案是否正确?(赞成者有之,反对者有之,各执一词,相持不下)

组2:我们组的意见是需要4棵棕榈树,但不会列算式。

师:既然众说纷纭,无法统一,那么我们就做一次场景还原,模拟实验,亲自动手勘验测量,用事实说话,孰是孰非,到时自见分晓。

(让学生装扮成棕榈树,用列队方式模拟植树。教室的地板砖为正方形,每块的边长是1米,教室的宽正好是6米,每隔2米站一人,排头排尾各站一人,分别代表两个端点植树,看一共站了几名学生。)

(学生非常主动,排好队后,认真观察和清点人数:发现队伍里站了4人。

师:组2的答案正确,是怎么回事呢?怎么列式?

课件播放还原植树情境(如图1):

填空:6米长的鹅卵石小路的一边,每隔2米植一棵棕榈树,有________段间隔,一共要植________棵树,按这种算法,植树的棵数比间隔的段数________。(学生迅速填完空,找到解题方法,并且从中总结出规律)

师:本题中,鹅卵石小路的一边两端要植树,故植树的棵数比间隔的段数多1,本题算式为6÷2+1=4(棵)。

我们总说,分析解决问题时要化繁为简,化难为易,也就是运用转化思想将复杂的问题简单化,但是,即使是最简单的基础模型,也要通过操作活动才能深刻地揭露其中的规律,然后将这个规律作为特殊案例,通过合情推理推广到一般情况,最后归纳出解决这类问题的一般法则。如先让学生通过排队的方式直观感知在两端都站人的情况下,站队人数比间隔数多1,然后通过课件展示,得出类似的规律:两端都植树的情况下,3段间隔可以植树4棵。

二、动手画图,融会贯通发展变式

设计二:动手画线段图

【例2】一根角铁长10米,工人师傅要用手锯把它平均锯成5段,每锯断一次耗时8分钟,工人师傅锯完这根角铁需要多久?(教师用课件展示)

师:大家在草稿本上画线段图来演示锯角铁的过程,小组合作探究。

组1:我们小组认为,10米长的角铁,平均锯成5段,除去两头,还有4个切口,因此需要锯4次(如图2),每锯一次用8分钟,因此,算式为(5-1)×8=32(分钟),故锯完这根角铁一共要花32分钟。

师:这一做法正确吗?

生(齐):对。

师:组1回答得非常正确,算理也解释得非常清楚。这充分表明,大家动手画线段图时真正做到动脑思考,用心揣摩。

植树问题只是一个通用模型,如果按照集合映射的理论来考虑,就会得到很多变式:如“锯木头问题”,锯开的次数与锯成的段数相差1;“上楼梯问题”,楼层号与爬升楼梯的层数相差1;“敲钟问题”,钟声敲响的次数与停顿次数相差1;“结绳问题”,绳子打结个数与绳子分段数相差1……这些都是植树问题的变式,虽然形式各异,但是反映的都是两个相关变量(植树棵数与间隔段数)的“非一一对应关系”,其中一个量随着另一个量等差递增时,始终保持恒定为1的级差。

三、积极思考,合理猜测促使问题顺利解决

设计三:动脑思考,积极猜想

【例3】在一条长100米的鹅卵石小路一边植树(两头都植),原来每4米栽一棵女贞树,现改为每隔5米栽一棵女贞树,共有( )棵女贞树不必移栽。

A.4 B.5  C.6  D.7

师(用课件展示图3):请根据前面学过的方法和总结的规律,开动脑筋、细心推算,小组合作交流。

组1:鹅卵石小路两头的女贞树不必移栽,因为每隔20米处原来的女贞树和现在的女贞树重合,因此从任意一头算起(不算两端),在20米处、40米处、60米处、80米处共4处女贞树重合,再加上两头的2棵树,共有6棵树不必移栽(如图4),故选C。

师:非常好,思路清晰,分析到位,其他同学的结论怎么样?

组2:因为算重合的女贞树时,要从一头算起,所以原来栽种的女贞树为(一头除外)100÷4=25(棵),现在栽种的女贞树为(一头除外)100÷5=20(棵),重合的女贞树数量为25-20+1=6(棵),故选C。

师:有理有据,分析精到。说明同学们做了独立思考,有了自己的主见,通过动手操作、合作探究,将难题破解,值得褒奖。

【例4】圆形水池的周长是150米,如果沿着这水池内圈一周每隔15米安装一个喷头,一共需要安装几个喷头?(教师用课件展示)

师:通过前期的研究学习,同学们对植树问题有了深刻而清醒的认识,本题属于植树问题中的圆形路线植树的变式,同学们仍然可以采取图示法或者假想推演法完成。

生1:我采用的是图示法,把150米的圆周平均分成10份,这样一来就出现10个等分点,每个等分点处安装一个喷头,一共就要安装10个喷头,所列算式是150÷15=10(个),一共需要安装10个喷头。

师:非常正确。还有其他方法吗?

生2:圆周上等距(优弧和劣弧等长)的两点可以将圆周切成等长的两段,等距的三点则能切成等长的三段,同理,等距的10点则能将圆周切成等长的10段,这样把周长为150米的圆形水池切成等长的10段,正好每隔15米安装一个喷头。算式为150÷15=10(个),一共需要安装10个喷头。

师:说得真精彩!算理揭示得一清二楚。

师(总结):通过动手操作、细心观察、认真思考、合理猜想等,大家都熟练掌握了解决植树问题的各种技巧。其实解决植树问题是有规律可循的,这就需要我们一步步去揭晓其规律。

核心素养反映小学数学教学的魂,教师应在传授数学知识和技能的同时,注重培养学生的数学核心素养。数学核心素养的培养离不开教学的引导者——教师,离不开具体的教学内容和教学过程,离不开教学活动的评价体系。因此只有在具体的数学教学中,重视核心素养、围绕核心素养设计教学活动,带领学生参与丰富多彩的数学实践活动,使学生在实践中长知识、长才干,学会解决生活中的数学问题。

(责编 黄春香)

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