关于圆的有关内容教材编写及二次开发研究（一）

刘慧

[摘 要]结合教学实践，对现行小学数学教材中编写的圆的周长与圆周率探索活动进行了比较分析。从被测量材料和测量方法两方面，指出并论证了教材中探究活动设计存在的问题，以及探究很难得出圆的周长、圆周率较为精确的结果的事实和原因;提出了完善教材探索活动的两个建议，并给出了具体的措施。

[关键词]教材编写;圆;周长;圆周率;探究

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0001-04

圆的有关知识是小学高年级的重要几何内容之一。国内现行各版本教材中，苏教版教材将其编排在五年级下册，其他版本教材将其编排在六年级上册。由于圆形的物体在生活中随处可见，且有着非常广泛的应用，故教材的相关内容都注重圆与生活的联系和探究活动的设计，充分体现了新课改提倡的自主探究、自我构建知识的教育理念。然而，研读和分析教材的编写以及教学实证后发现，教材编写的一些探究活动很难落实，有必要对其进行二次开发。本专题研究先对教材的编写进行比较分析，然后提出教材二次开发的建议，本文就先对圆的周长与圆周率之探究活动进行比较分析。

一、关于测量圆的周长方法的分析

圆周率的探究离不开测量圆的周长和直径。由于直径便于测量，而周长的测量有一定的困难，所以教材都设计了圆的周长的探究测量活动。

1.被测量材料的分析

综观教材的设计，被测量的材料包括以下几方面。

（1）无圆形辅助物，直接测量圆这个图形。显然，画一个圆后测量这个圆的周长，学生是根本不可能做到的。但是，青岛版教材（第60页;如图1）就是“测量几个圆的直径和周长”，且没有圆形辅助物用于测量。给出的测量方法中，无论是用线围一圈圆这个图形的周围——围成这个圆（再测量线的长度），还是将这个圆的图形沿直尺边沿滚一圈，都是不好操作的。另外，浙教版教材（第63页;如图2）给出的第一种方法是“用线围成一个圆”。这里连圆都不画，也没有圆形辅助物可以缠绕，直接用线围成一个圆对学生来说几乎不可能。

（2）有圆形辅助物。除青岛版教材外，其他版本教材（包括浙教版教材的第二种测量方法）都设计了测量辅助物——圆形物品，但选用的物品不同：

①让学生自己选择圆形辅助物。如，人教版教材（第63页;如图3） 是让学生自己“找一些圆形的物品”，由于圆形的物品不好确定，无法判断是否有利于测量操作;北师大版教材（第9页;如图4）则是让学生自己选“3个大小不同的圆片”，从图可见圆片比较小，用线围或滚小圆片测量显然不是很好操作。

②有固定的圆形物品用于测量。如，西师大版教材（第16页;如图5）、冀教版教材（第42、43页;如图6、图7），既给出了一元硬币用于测量，也让学生自己选一些圆形的物品用于测量。沪教版教材（第105页;如图8）则给出了固定的五角硬币和一元硬币用于测量。由于硬币容易找到，不易变形，这为学生进行测量提供了方便，有利于探究活动的进行。

③学生自己制作圆形卡片。浙教版教材（第64页;如图9）和苏教版教材（第92页;如图10）都是让学生用硬纸板分别剪出几个大小不同的圆（应为圆片），且浙教版教材明确规定了直径的长度，苏教版教材则是由学生自己确定，这些都有利于培养学生的动手能力。可是，学生虽然在硬纸板上用圆规画出圆容易，但要剪出图示标准的或略标准的圆片恐怕有很大难度。再者，用线围或滚比较薄（否则剪不出来）的小圆片也不太好操作。

综上，被测量的圆形物品的材料及其大小都会影响学生的测量探究活动。相对来说，只要方法得当，测量硬币的周长还是比较符合实际的，但硬币太小也会给测量增加困难，且容易出现误差。

2.测量方法的分析

不同版本的教材对于测量圆的周长都设计了两种方法。

其一，用线（或皮尺）在圆形物品上围一圈，然后测量线（或皮尺）的长度。这种测量方法比较简单，也较容易操作，只要被测量的圆形物品合适，相对来说还是能够得出较为精确的测量结果的。

其二，将被测量的圆形物品在直尺上滚动一圈，然后读出结果。从图示可以看出，各教材几乎都是将圆形物品（圆片）在直尺标有刻度线一侧的侧面（棱）上进行滚动，既为了好读数，也是为了滚动时让圆形物品沿着直尺边缘走直线。可是，这样好操作吗？众所周知，现在学生用的直尺大多是塑料或不锈钢的，厚度往往不超过1毫米，在这么薄的直尺上滚动圆片犹如走钢丝，甚至比走钢丝还难，要想获得比较精确的结果，难度可想而知，更不用说在滚动过程中可能还会滑动。

3.测量很难得出比较精确的结果

可见，即使选择了比较好测量的圆形物品（如硬币），且测量方法得当，要想得出比较精确的结果，难度也比较大。不妨看看一些教材上的测量结果。

人教版教材（第62页;如图11）用了两种测量方法。从图示的测量结果可知，被测量圆片的周长都是6厘米。可从图示的标尺可见，圆的直径约为1.6厘米，周长约是5.0265厘米，误差之大可见一斑。

冀教版教材（如图6）上显示，滚的是2001年的第四套人民币一元的硬币，从1厘米处开始滚，滚一圈的落点是9.25厘米，即周长是8.25厘米。若按图上标尺所示，硬币的直径约为2.25厘米，周长约为7.0686厘米。实际上，中国人民银行公布的1元硬币的直径为25毫米，周长约为7.8540厘米。误差显然不小。

因此，即使选用了合适的圆形物品，不管是用哪种方法去测量，要得到比较精确的结果都有较大难度。

二、圆周率的探究分析

关于圆周率的探究，各版本教材的编排大同小异，可以说，都是在测量了几个圆的直径和周长的基础上，让学生直接计算出周长除以直径的商，填在表格中進行比较后再估测。基于上面的分析，周长的测量本身就有较大的误差;而直径虽然好测量一些，但肯定也存在误差，就是好测量的硬币也是如此。例如，西师大版教材（如图5）中1元硬币的直径是2.4厘米，冀教版教材（如图6）的是2.25厘米，而标准应是2.5厘米。既然测量直径和周长都会出现较大的误差，那计算得出的商，其误差一般来说就会更大。可能正是基于此，大多数教材都指出周长是直径的3倍多一点，然后借助数学史介绍其数值，这种设计处理还是符合实际情况的。当然，浙教版教材（如图9）直接得出了约为3.14的结论，这恐怕是先入为主或凭空想象吧，因为刘徽是计算到圆内接正192边形才得到圆周率约为3.14的。必须指出的是，整个探究过程都是按设计好的“测量—计算—填表—观察—结论”步骤进行，至于为什么计算周长除以直径的商，而不计算周长除以半径的商都没有说明，这不但不能促进学生思考，还束缚了学生的思维;有的教材甚至连比较都没有，一次观察就得出结论。这样的“探究”有多少思维含量？须知探究式教学的关键在于促进学生动脑思考啊！

三、思考与建议

一些教材编排的探究活动只是让学生认识到周长是直径的3倍多一点，学生几乎不可能得出“约为3.14”，最后还必须得借助数学史。下面就新课改的教育理念设计探究活动。

1.让学生测量大一些的硬的圆形物体

测量的圆形物体比较小（如硬币、小圆片等）且易变形（如圆形纸片）时，学生既不好操作，还容易出现测量误差，导致紧接着的计算的误差更大，很难得到较为精确的值。若让学生测量一些方便携带的、熟悉的、较大的圆形物体（如光盘、圓形的小镜子等），用皮尺（或线）将其围一圈，既好测量，又可减少误差。这样，在学生认识到周长是直径的3倍多一点后，教师再借助数学史介绍其数值即可。当然，不少教材一开始就给出了一些圆形的、大的物体，如车轮、圆饭桌、天坛的地基等，这些不可能搬到课堂上去操作，只能作为联系生活的问题提出而已。

2.设计圆内接和外切正多边形让学生进行测量探究

（1）设计直（半）径较大（为减少误差）且为整数厘米的圆，作出其圆内接正六边形和外切正六边形（最好提供给学生现成的材料，因为学生自己作图很困难）。

（2）让学生分别测量圆内接和外切正六边形的边长，计算出周长。

（3）引导学生观察、比较与思考，使其认识到圆夹在两个正六边形之间，周长比圆内接正六边形的周长大，比圆外切正六边形的周长小，即“圆内接正六边形的周长<圆的周长<圆外切正六边形的周长”。

（4）计算周长除以直径的商，即“圆内接正六边形的周长/直径<圆的周长/直径<圆外切正六边形的周长/直径”，再取两边商的平均值，即可得出圆的周长除以直径的商的近似值。

（5）借助数学史介绍圆周率。

这样设计不仅渗透了古人计算圆周率的方法，还渗透了两边夹逼的极限思想（实际上是《高等数学》中两边夹法则或迫敛定理的应用）。如果想得到更为近似的结果，也可作圆内接与外切正八边形再完成上述过程。当然，边数越多越精确，只是没有那个必要。

其实，关于圆内接或外切正多边形的图形在苏教版、北师大版、青岛版等教材中都出现过，遗憾的是知识之间缺乏联系，不能实现知识与方法的统一。

总之，让学生在一节课上得出圆周率较为精确的值是根本不可能的。因此，只要让学生借助简单的操作，再加上动脑思考，认识到圆周率比3大一点，再进行介绍就行了，没有必要进行过多的、机械式的操作探究活动，更何况，课堂上也没有这些时间让学生进行探究。

【本文系“青蓝项目：青岛市教育学会 2018 年度教育研究项目——关于空间与图形领域课堂探索活动编写的比较研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（责编金 铃）