关注多元表征 注重模型建构

钱兆兰 王建荣

【教学内容】

苏教版数学教材四年级下册第六单元第62～63页例5、“练一练”。

【教学目标】

1.使学生结合具体问题情境，在解决问题的过程中经历探索乘法分配律的过程，建构相应模型，理解、掌握并运用乘法分配律。

2.使学生在观察、比较、分析、抽象和概括等活动过程中，发展推理能力，增强符号意识，体会数学表达的严谨、简洁，感悟模型思想。

3.使学生在参与数学活动的过程中，获得学习成功的体验，积累数学活动经验，增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。

【教学重点】

理解、掌握并运用乘法分配律。

【教学难点】

从现实背景中抽象概括出乘法分配律，建构、感悟模型。

【课前思考】

“乘法分配律”是乘法、加法混合运算定律，是多位数乘法和有关简便运算的理论依据，是中学代数学习合并同类项、提取公因式等知识的基础，是乘法运算定律教学的重点和难点。

综观各版本教材，例题情境图都贴近生活实际，隐含模型特征，试图引领学生在解决问题的过程中，通过分析数量关系，认识到“乘法的意义”是乘法分配律的核心本质，认识乘法分配律并建立模型。我们跳出“仅关注得数相等结论”的局限，关注“数”“形”“数量关系”“生活实际”的紧密结合，在课堂教学中充分引导学生经历计算结果、情境表征、几何表征、符号表征和意义表征的探究过程，通过不同形式的数学表征，从“乘法的意义”“乘法分配律的基本形式”两方面对乘法分配律展开立体多维式探究，从几何直观角度为学生从本质上理解乘法分配律提供清晰形象的模型支撑。

【教学过程】

教师进行课前谈话：爱好旅游的一家人，常用相機记录下美好的瞬间。出示合影照片（孩子在中间，爸爸妈妈在两边，各用一只手紧紧牵着孩子），如果你是照片中的小朋友，从爸爸妈妈紧紧牵着自己的手能感受到什么？

学生交流感受：爸爸爱我！妈妈爱我！爸爸妈妈都爱我！两句话合成一句话来说意思一样，数学上也有这样类似的表达。

一、情境导入，探究新知

师：学校器材室新到了一批普通篮球和花色篮球，仔细看图1，你知道了哪些数学信息？

生：上面3层普通篮球，下面2层花色篮球，每层6个。

师：会列式解决“柜子里两种篮球一共有多少个？”这个问题吗？

[教师鼓励学生说两道综合算式：3×6+2×6和（3+2）×6]

师：这两道算式可以用等号连接吗？

师：不计算，看这两个式子本身，能说明相等吗？

生：能，都表示求5个6是多少，乘法的意义很清楚。

师：观察（3+2）×6=3×6+2×6，等式两边的式子有什么联系？

师：右边式子是怎么从左边式子得来的？

生：左边式子括号里的3和2分别与6相乘，再相加。

师：表达得真清楚，3+2的和乘6，可以写成3和2分别与6相乘再相加，结果不变。

师：为便于保管，管理员老师给柜子装上了柜门（出示图2），请看数据。

柜门的面积一共是多少平方分米？能列综合算式解决这个问题吗？

思考1：不计算，看这个图你还能说明左右两个式子相等吗？

思考2：图转一转（课件演示），你还能看懂左右两个式子相等吗？

师生交流后认为：旋转后的图形也能说明左右两个式子相等。15×20求的是（ ），10×20求的是（ ），它们加起来算出了（ ），（15+10）×20算的也是（ ）。

师：我们又得到了一组等式，看一看，它和上面一组等式是一样吗？

师生交流后认为：两组等式左右两边有着相同的联系。

【思考】情境引入，问题先行，教师引导学生运用已有的知识经验来解决问题，在解决问题的过程中发现并提出新的问题，引发思考，激发学生进一步探索新知识的心理需求。借助情境，“数”“形”“数量关系”“生活实际”紧密结合，引导学生观察、比较，初步建构乘法分配律知识模型。

二、观察举例，明理建模

师：像这样有联系的式子你能写出几组吗？

（师生尝试共写）

师：左边式子是“（6+2）×4=（ ）”，你能写出右边式子吗？

生：6×4+2×4。

师：如果知道右边式子是“（ ）=89×10+11×10”，左边呢？

生：（89+11）×10。

师：刚写出的两组式子符合上面等式左右两边式子的联系特征吗？

师：像这样的算式你能再写一些吗？请在自己的本子上写一组。

（学生集体交流）

师：这样的算式写得完吗？

师：黑板上面两组等式，我们刚才用不同方法解释了它们左右两边式子是相等的，刚写出的算式左右两边的式子是不是也相等呢？

教师相机出示活动要求：

1.从列举的式子中任选一组算式写在学习单上。

2.用你喜欢的方法说明选择的算式左右两边是否相等。

3.和同桌交流你的想法。

（学生自主活动、交流，师相机指导）

生：我选的算式是（6+2）×4=6×4+2×4，我用“计算”“点子图”的方法说明了两边式子相等。

生：我选的算式是……我用“计算”和“乘法意义”说明。

生：我选的算式是……我用“计算”和“长方形图”来说明。

师：同学们很会思考，用多种方法说明了这些算式左右两边是相等的。大家选择的算式左右两边有没有不相等的？

师（小结）：像这样有联系特征的算式左右都是相等的。

【思考】在学生初步感知乘法分配律的意义和基本形式、初步建构知识模型的基础上，教师由扶到放让学生举例写相同联系特征的一组算式，引导学生自主用计算结果、情境表征、几何表征、符号表征和意义表征等多种方法验证说明，充分经历探究过程，进一步感知认识乘法分配律的意义和基本形式，实现对乘法分配律知识模型的再建构。

三、观察比较，抽象概括

师：横着观察这些等式，刚才已发现它们左右两边式子有联系。

师：竖着观察这些等式，先看它们左边的式子有什么特征，再看右边式子是怎样从左边式子得来的。

生：左边的式子都是两个数的和乘一个数，右边式子都是左边式子括号里的两个加数分别和括号外面的数相乘，再相加。

师：这里蕴含着一个规律，同学们用自己的话把发现的规律在小组里说一说。

（学生小组交流）

师：一起来看教材中“小番茄”是怎么说的。

师：大家发现的是数学中的一个重要规律——乘法分配律。

师：前面学习加法、乘法的交换律和结合律时，都用了字母式子表示，如果用字母a、b、c分别表示三个数，乘法分配律可以怎样写？

（教师板书字母式子）

师：用自己的话说说这个字母式子表示的意思。

师：你是怎么理解乘法分配律里面“分配”两个字的？

（学生交流，教师板书添加两条弧线，引导学生感受“分别乘，再相加”）

【思考】教师组织、引导学生对写出的等式进行再观察、再比较，用自己的语言描述、归纳其中的规律，进一步深化对乘法分配律的理解，让学生经历用字母表示乘法分配律的过程，感悟模型思想及数学符号的简洁，培养符号意识。

四、分层练习，灵活运用

1.“练一练”第1题（略）。

2.横着看，在得数相同的算式后面画“√”。

（28+16）×7=28×7+16×7                （）

（5×4）×17=5×17+4×17                   （）

40×50+60×90=（40+60）×90         （）

74×99+74=74×（99+1）              （）

师：最后一组式子的两个算式，如要计算，你选哪一个？为什么？

生：74×（99+1），因为计算简便。

师：简便运算在以后的学习中我们将进一步探究。

【思考】教师引导学生填空，从不同角度做出解释，帮助学生更好地把握乘法分配律的本质内涵，初步体验应用乘法分配律可以使一些计算简便，为今后学习有关的简便计算做铺垫。

五、回顾小结，链接拓展

师：回顾一下，今天我们是怎样认识乘法分配律的？

生：在解决问题过程中，看到一个数学现象→举出了更多的例子→用不同的方法进行了解释说明→归纳出数学规律→用符号表示发现的规律。

师：在学习生活中我们经常要用这样的方法进行探索研究。

师：今天学习的乘法分配律是两个数的和与一个数相乘，等于两个加数分别与这个数相乘，再相加。如果括号里是三个或更多个数相加的和，乘法分配律还适用吗？如果括号里的加法换成减法呢？

师：有兴趣的同学课后可以用我们刚才学习的方法继续研究。

【思考】教师引导学生回顾整节课，一起探究学习乘法分配律的全过程，帮助学生对乘法分配律的本质内涵進行整体性把握，同时给学生以方法的指引。

【反思】

本节课教师以学生为主体，在充分研读、理解教材编排意图的基础上，对教材进行了适度改编，从“柜子里两种篮球一共有多少个”“柜门的面积一共是多少平方分米”两个问题入手展开教学，引导学生用不同的方法（列不同综合算式）解决实际问题，得出具备乘法分配律意义特征的等式，继而展开探究。

一、做到形神兼备，多维度理解规律

在教学中，我们往往只重视乘法分配律的概括和归纳，只注意了乘法分配律的“形”。在本节课中，教师更加重视乘法分配律的意义的理解和建构，特别是学生的自主建构。在探索、练习等多个环节中，教师让学生解释和验证，防止出现“（5×4）×17=5×17+4×17”这样的错误，引导学生关注乘法分配律的“神”。教师安排了多个算式让学生观察、对比、讨论，结合已有的知识和经验，进行多维度理解，扎实掌握所学知识。

二、关注数学表征，实现意义建构

在教学中，教师从生活情境入手，安排了篮球图、长方形面积计算等，让学生认识、感悟数学的多种表征方法，在丰富学生思维的同时，引导学生联系生活实际，尝试自主运用多样的方法来解释说明算式是否相等，加强对算式意义的理解，为乘法分配律的建构提供意义支撑。丰富的学习材料，不同的数学表征方法，帮助学生自然、成功地建构了乘法分配律的意义模型，促进了学生对乘法分配律的理解。

三、培养模型思想，积累活动经验

乘法分配律是重要的数学模型，是学生后续学习知识的基础。由于它包含两级运算，变式较多，学生理解掌握较为困难。针对难点，教师以建模为目标，引导学生从问题解决，到具体数据的讨论，再上升到规律的发现与归纳，最终形成相应的数学模型，在此过程中培养学生的数学模型思想，帮助学生积累数学基本活动经验。课的最后，师生一起回顾了整节课探究学习乘法分配律的全过程，梳理探究学习的一般过程和常用方法，学习方法的指导亦水到渠成，让学生在以后的学习生活中，探索研究类似知识有了可参考的经验和路径。

（作者单位：江苏省盐城市新河实验小学）