融入四元数变换的“计算方法”课程教学实践

凌思涛 陈兴同 王海军 王瑞瑞 吴钢

[摘 要] “计算方法”是高校理工科本科生的一门重要课程，它以介绍各类数值计算问题的算法基本原理和提供数值方法为主要内容，帮助学生提高解决实际问题的能力。详细阐述在“计算方法”课程教学过程中，通过融入四元数的基本知识和变换技巧，形成延拓式的教学模式，结果表明，可以激发学生对本课程的学习兴趣，从而提高他们的学习积极性，对拓展学生的知识视野、培养学生的创新思维和深入思考问题的能力有积极意义。

[关键词] 计算方法;延拓式教学;四元数

[基金项目] 2019年度中国矿业大学教学研究项目一般项目“面向留学生的《计算方法B》英文课程教学研究与实践”（2019YB32）

[作者简介] 凌思涛（1980—），男，山东临沂人，计算数学专业博士，中国矿业大学数学学院副教授，主要从事数值代数研究。

[中图分类号] G642.4   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）25-0076-04   [收稿日期] 2021-04-22

一、引言

“计算方法”是高校理工科本科生的一门重要课程，该课程又称数值计算方法或数值分析，它以介绍各类数值计算问题的算法基本原理和提供数值方法为主要内容，向理工科学生传授科学研究和工程技术中数值计算的基本知识，提高学生解决实际问题的能力。它更注重理论教学和实践教学的有机融合，与计算机软件相结合实施教学过程是本课程的一个特色。

随着科学技术现代化进程的加速，科学计算在自然科学各领域中的地位变得非常重要，例如航空航天、大气运动、桥梁铁路工程、火车轮船制造、地质勘探、地震预报、风险投资等领域都需要用科学计算进行数据处理。除了理论研究和科学实验以外，科学计算已经成为当前科学研究的三大方法之一[1] （P1-3）。“计算方法”是培养大学生将来能够进行科学计算的入门级课程，随着人们认知水平的提高和各领域学科的交叉互融，特别是大数据时代的到来，迫切需要人们提高科学计算的能力。然而，“计算方法”课程原有的教学内容已不能完全满足学科发展的需要，传统的教学模式和教学方法也不能充分调动学生的学习积极性。在切实掌握经典方法和理论的前提下，需要丰富“计算方法”的教学内容，改进教学方法，增加学生对“计算方法”课程的认同感，激发他们的学习兴趣。

国家强调高校要注重培养具有创新意识、创新思维、创新能力和创新人格的创新型人才。自教育部颁布《面向21世纪教学内容和课程体系改革计划》以来，教育工作者们从课堂教学和实验教学等不同方面积极探索和实践关于“计算方法”课程的教学研究与改革。近几年，人们更加注重将“计算方法”的实践教学与现实生活中遇到的实际问题进行结合，在教学过程中将最新的数学建模问题融入课堂教学[2]。在教学内容的改进方面，文献[3]提出了将理论力学和材料力学中的实际问题作为引例融入“计算方法”的课堂教学，以提高学生分析问题和解决问题的能力。文献[4]对整个课程进行统筹思考，提出了模块化教学的理念。文献[5]挖掘了PageRank算法的思想和“计算方法”课程中一些算法思想的共性，提出了将PageRank思想渗透到“计算方法”课程的课堂教学中和稀疏矩阵的实践教学中，从而加深学生对幂法的理解和对稀疏矩阵稠密矩阵的认识。随着网络技术的发展，新的教学手段不断涌现，基于网络化教学的教学方法和教学手段的改革措施也应运而生[6]。还有很多其他改革举措，这里不再逐一列举。

本文主要从教学内容方面探讨“计算方法”课程课堂教学的改革措施，结合作者多年来在四元数相关问题研究中的体会，倡导教学过程中要将教學工作和科学研究相结合，以科研促教学的理念。以经典Jacobi方法求解实对称矩阵特征值的教学内容为例，介绍四元数变换在“计算方法”课程教学中的应用，总结形成了“计算方法”课程教学中延拓式教学模式的教学实践。

二、四元数基本性质的引入

早在1843年，爱尔兰数学家Hamilton为了描述多维空间中的物理现象而发明了四元数，它是最简单的超复数。四元数是复数a+bi的推广形式，一个四元数可以表示为q=q0+q1i+q2j+q3k，（1）

q0，q1，q2，q3∈R

显然，q由一个实部和三个虚部构成。四元数的全体记为H，四元数的乘法法则如表1所示，这意味着四元数不满足乘法交换律。

通过与复数的对比教学就可以引入四元数的概念，并且从概念上很容易能看出它和复数的区别与联系。通过知识的拓展学生可以很快接受一个新的概念，又会激发学生的好奇心：既然四元数不满足乘法交换律，看起来又比复数复杂，那四元数到底有什么可用之处，在实际应用中又如何使用它解决问题呢？在后续的讲解中就可以继续引入四元数的基本性质，满足学生的好奇心。

若把H分解为直和的形式

这就建立了四元数张量积和实矩阵空间的一种同构关系，可以实现某些特殊矩阵和四元数张量积H？塥H之间的相互转化。例如，关于实对称矩阵的四元数张量表示有下面的等价结论[7]：

特别地，一个4×4实矩阵是对角矩阵当且仅当它可以表示为

c0，c1，c2，c3∈R.

由于四元数具有优美的结构，四元数发展至今已经在量子力学、航空器的姿态控制、彩色图像处理、三维测量技术等领域有着广泛的应用。这些应用中主要利用了四元数具有能够方便地进行正交变换的优点。

三、基于Jacobi方法的延拓式教学

一个n阶实对称矩阵A总可以被一个正交矩阵Q通过相似变换约化为对角矩阵，并且对角矩阵的对角元就是A的特征值。Jacobi方法求解实对称矩阵特征值正是基于这个线性代数基础理论提出的。正交矩阵Q的形成过程是通过一系列的正交旋转变换使矩阵A的非对角元逐步收敛到零。这是从矩阵变换的角度来介绍Jacobi方法求解实对称矩阵的特征值问题，以此问题为基础，可以引导学生从四元数张量的角度实现算法，这是关于本部分知识的拓展环节，以期学生对Jacobi方法有更深入的理解。