区间Pythagorean犹豫模糊连续熵及灰色关联度的应用

张俊芳，周礼刚，张春芳，徐 鑫，肖 箭

1.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601

2.中国民航大学 经济与管理学院，天津 300300

自Zadeh[1]首次提出模糊集以来，人们对其进行了广泛而深入的研究，使模糊集理论得到了迅速的发展。随后，专家学者们又提出直觉模糊集[2]、犹豫模糊集[3]、Pythagorean 模糊集[4-5]、Pythagorean 犹豫模糊集[6]等，这些传统的不确定性集合在处理实际问题时都有着自身的缺陷。由于社会的迅速发展，使得客观世界变得越来越复杂和不确定，同时又因为人类思维能力和知识水平的局限性，使得给出的决策信息往往不能以精确数表达。一方面，为保留原有数据的信息，使得决策结果更加准确，人们会以区间数[7-8]和犹豫模糊数的形式来表示决策信息；另一方面，在决策过程中，很多决策者在对备选方案进行评估时，往往给出备选方案在某一属性条件下的满意度、不满意度和犹豫度，即涉及到隶属度和非隶属度。为此，本文提出了区间Pythagorean 犹豫模糊集，并将其运用于决策过程中，以弥补上述模糊集理论的缺陷。

信息熵是模糊集理论中的一个重要的课题，用以刻画模糊集所描述信息的不确定程度。自从Zadeh[9]首先提出了模糊熵的概念之后，熵理论已经被广泛地应用于各个领域。在直觉模糊集中，Burillo 和Bustince[10]首次对直觉模糊熵进行研究，给出了直觉模糊熵的公理化定义和计算公式。之后，很多学者从不同角度对直觉模糊集的熵[11-13]进行研究，并取得了大量的研究成果，其中，部分学者也将直觉模糊环境下的熵推广到了区间直觉模糊环境[14-18]中。对犹豫模糊集环境下的熵，也有了一些研究成果，Xu和Xia[19]从犹豫模糊值与其补集的差异程度，提出了犹豫模糊集的熵公理化定义和具体的计算公式；Farhadinia[20]从犹豫模糊集中各元素与1/2 的距离出发，提出了新的公理化定义和计算公式；闫和魏[21]在Xu 和Xia 的基础之上，对其公理化定义进行了改进，体出了充分体现模糊性和犹豫性的熵公理化定义及公式；Wu[22]给出了一种基于Pythagorean 犹豫模糊集环境下，基于信息融合技术的多属性群决策灵活性的方法；基于之前的研究结果，本文提出了一种基于区间Pythagorean犹豫模糊集熵的公理化定义及计算公式，以兼顾对模糊集的模糊性和犹豫性程度的考量。并提出一种基于区间Pythagorean犹豫模糊熵的多属性决策方法。首先提出一种CIPHFOWA 算子，定义了一种区间Pythagorean犹豫模糊熵，即区间Pythagorean犹豫模糊连续熵，并给出其熵的定义及计算公式；然后提出了一种基于区间Pythagorean 犹豫模糊熵—灰色关联度的多属性决策方法；最后将新方法应用到新型农村合作医疗制度完善程度的评价体系中，验证其可行性和有效性。

1 基本概念

下面，引入犹豫模糊集、Pythagorean 模糊集，Pythagorean犹豫模糊集以及与Pythagorean犹豫模糊集相关的一些概念。

2 区间Pythagorean犹豫模糊连续加权熵

为了提高区间数据的易处理性，Yager 提出了连续区间有序加权平均算子[25]：

3 基于区间Pythagorean犹豫模糊连续加权熵-灰色关联度的多属性决策方法

根据熵理论得知，如果各方案针对同一属性下的熵值越小，说明该属性的稳定性越高，则应该被赋予一个较大的权重。由于属性权重的不确定性，本文给出以下属性权重的确定方法：

若属性权重wj完全未知，可由式（8）计算属性cj的权重：

若属性权重wj部分已知，令H表示未知权重满足的条件集合，并构建如下模型求解属性权重：

灰色关联度决策方法[26-27]是以评价方案指标向量与相对最优方案指标向量的关联度作为评价方案优劣的准则的一种方法。

以上内容给出了属性权重未知和属性权重部分已知的权重确定方法，但考虑到现实决策问题中属性权重的较难确定的问题，本文的案例分析主要以属性权重完全未知的情况为主。即运用式（8）来计算案例分析中的属性权重。

4 案例分析

新型农村合作医疗制度[28]（以下简称“新农合”）是由我国农民自己创造的互助共济的医疗保障制度，在保障农民获得基本卫生服务、缓解农民因病致贫和因病返贫方面发挥了重要的作用。由于新农合监管难度大、基金风险大、管理成本高，因此其管理成为最突出的并且事关制度推行成败的关键问题。新农合的管理在于用标准的、科学的评价方法对不同模式新农合进行评价可达到审查工作、肯定成绩、激励先进、修正错误的作用，从而使新农合更加安全、稳健地运行。因此，为达到以上目的，选取合适的评价指标至关重要。

现考虑一个关于新型农村合作医疗管理水平的多属性决策问题。选取四个试点乡镇进行评估，即xi(i=1,2,3,4)，现由第三方评估组织从下列四个准则cj(j=1,2,3,4)出发，对四个试点乡镇进行评价：c1为医疗服务能力；c2为管理监督水平；c3为参合者受益程度；c4为参合者满意度。第三方评估组织给出的区间Pythagorean犹豫模糊矩阵如下：

5 算法分析

针对本文提出的区间Pythagorean 犹豫模糊连续加权熵-灰色关联度的多属性决策方法，本文给出了基于态度参数λ的灵敏度分析和与其他论文的比较分析，据此，来验证本文算法的有效性和可行性。

5.1 灵敏度分析

当采取不同的λ∈[0,1]值对矩阵进行标准化处理后，在经以上步骤2～步骤6可以得到不同的属性权重和加权关联度，具体结果如图1、图2。

图1 态度参数λ 对属性权重的影响Fig.1 Influence of λ attitude parameters on attribute weight

从图1 可以看出，随着态度参数的变化，属性权重为w1>w3>w4>w2，说明属性权重的大小并没有因为态度参数的选取不同，而产生较大差异。

从图2 可以看出，当态度参数0 ≤λ≤0.25 时，方案的排序结果为x1≻x3≻x4≻x2；当态度参数0.5 ≤λ≤1 时，方案的排序结果为x1≻x3≻x4≻x2。以上分析说明，态度参数λ越大，最优方案越倾向于方案一，即说明决策者越乐观，越倾向于第一试点乡镇的新农合管理。

图2 态度参数λ 对方案的加权关联度的影响Fig.2 Influence of λ attitude parameters on weighted correlation degree of schemes

5.2 与现有方法的对比分析

利用CIPHFOWA算子将决策者给出的区间Pythagorean 犹豫模糊决策矩阵进行连续化处理后，称为Pythagorean 犹豫模糊数，下面将本文的信息熵-灰色关联度决策模型与文献[29]中的新的TOPSIS拓展方法进行比较，计算结果如表1。

表1 TOPSIS法计算结果Table 1 Calculation result of TOPSIS

表中ζ=0.5,α=2。而且，RC(x2)=0.527 9，RC(x1)=0.556 2,RC(x3)=0.500 5,RC(x4)=0.516 5，所以可得方案的排序结果为：x1≻x2≻x4≻x3。这与本文方法所选最优方案是一致的，说明第一个试点乡镇的新型农村合作医疗管理水平较高，也说明本文提到的多属性决策方法是可行且有效的。但由于本文提出的区间Pythagorean 犹豫模糊数对决策者的评价信息的描述更加完整全面，使最终经文献[30]算得的其他三个方案的排序结果与本文结果不一致，这也说明了本文所提到的区间Pythagorean 犹豫模糊集及其熵的公理化定义和计算公式比其更加适用于复杂的决策评价问题中。

5.3 算法复杂度说明

本文的算法复杂度从以下两个方面来说明。时间复杂度：对于一个n×n的Pythagorean 犹豫模糊矩阵，根据CIPHFOWA算子，以及公式（6）、（8）、（10）计算可知，该算法的复杂程度是一个关于矩阵维数n的函数，即算法的复杂度为O(n2)。

空间复杂度：本文创建的是一个n×n的矩阵，在循环n2次后，可得其空间复杂度也为O(n2)。

6 结束语

本文针对模糊环境下的决策问题，提出了一种基于区间Pythagorean 犹豫模糊熵多属性决策方法。首先，基于之前学者提出了连续区间Pythagorean犹豫模糊有序加权平均（CIPHFOWA）算子，本文提出了一种区间Pythagorean犹豫模糊连续熵，不仅可以反映犹豫模糊集的模糊性和犹豫性的特征，而且还可以更加全面地反映专家所给评价值的不确定性。然后，给出了属性权重完全未知和部分已知时的权重确定方法。最后，基于区间Pythagorean犹豫模糊连续熵和灰色关联度矩阵，提出了一种新的区间Pythagorean 犹豫模糊连续加权熵-灰色关联度的多属性决策方法，考虑到多数实际情况下，属性权重基本上都是完全未知，本文以属性权重未知的情况为例，将本文提到的新方法应用到新型农村合作医疗制度完善程度的评价体系中，验证其可行性和有效性。

未来，区间Pythagorean 犹豫模糊连续加权熵也将被运用到模糊模式识别、医疗诊断、不确定性决策问题中。对于区间Pythagorean 犹豫模糊集的定义、区间Pythagorean 犹豫模糊连续加权熵公理化定义的界定、计算公式的构造仍有许多极具挑战性的地方，如何合理地规范区间Pythagorean 犹豫模糊连续熵的公理化定义使之更符合实际意义，在此背景下如何构造更加合理有效的计算公式将是未来继续研究和发展的方向。