由一道证明引发的思考

欧春晖

华中师范大学数学与统计学学院 湖北 钟祥 431900

1 研究背景

中国剩余定理又称“孙子定理”，“中国余式定理”。1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“今有物不知其数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.中国剩余定理应用广泛，在密码学、群论、环模等领域均有深刻的研究价值.通过对其内容的学习，本篇文章以一道习题为启发，将该习题抽象，对中国剩余定理n＝2的情况进行了讨论.

2 预备知识

2.1 理想互素 定义 幺环R的两个理想I1和I2称为互素的，如果I1+I2＝R.

2.2 中国剩余定理 定理1设幺环R的理想I1，…，In两两互素，记I＝I1∩…∩In.那么有环同构:

3 习题及证明

习题

设σ1:R→S1和σ2:R→S2是幺环同态。定义σ:R→S1×S2，a↦ (σ1(a)，σ2(a)).

证明:

(1)σ是幺环同态.

(2)kerσ＝kerσ1∩kerσ2.

(3)如果σ是满同态，则理想kerσ1和kerσ2是互素的.

证明:

因为σ1和σ2都是幺环同态，所以σ是幺环同态。

(2)若α∈kerσ1∩kerσ2.则α∈kerσ1且α∈kerσ2.所以σ1(α)＝0，σ2(α)＝0.

所以σ(α)＝ (σ1(α)，σ2(α))＝ (0，0).所以α∈kerσ.所以kerσ1∩kerσ2∈kerσ.

若α∈kerσ.则σ(α)＝ (σ1(α)，σ2(α))＝ (0，0).所以σ1(α)＝0且σ2(α)＝0.

所以α∈kerσ1，α∈kerσ2.即kerσ∈kerσ1∩kerσ2.

综上所述，kerσ＝kerσ1∩kerσ2.

(3)如果σ是满同态，存在α使得σ(α)＝(1，0).即α∈kerσ2.

从而σ(1―α)＝ (σ1(1―α)，σ2(1―α))＝(0，1).即1―α∈kerσ1.

又因为α+(1―α)＝1.所以kerσ1+kerσ2＝R.kerσ1和kerσ2是互素的.

4 进一步思考

习题中第二问得出kerσ＝kerσ1∩kerσ2.第三问证明kerσ1和kerσ2是互素的.很容易联想到中国剩余定理n＝2的情况:设幺环R的I1，I2理想互素，记I＝I1∩I2.那么有环同构:

证明:

所以存在α使得φ(α)＝ (1 +I1，I2).即α∈I2.

又因为φ(1)＝ (1+I1，1+I2).所以φ(1―α)＝ (I1，1+I2).即1―α∈I1.

因为α+(1―α)＝1.所以I1，I2互素.

该证明说明n＝2时中国剩余定理的逆定理成立，且利用以上结论也可以得到习题(3)的结论成立.

5 总结

中国剩余定理是数论中一个非常重要的定理，在密码学、环模、群论等领域有着广泛的应用，本文通过对习题的分析及抽象，结合对中国剩余定理的思考得出n＝2时中国剩余定理的逆定理成立，这样处理或许会简化某些研究步骤，但是此文章的不足之处在于只讨论了n＝2时的情况，n＝3，4…的情况尚未讨论.