从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象

白逸飞

【摘要】数学抽象素养是通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象经历了简约阶段、符号阶段、普适阶段，同时具有实物抽象、半符号抽象、符号抽象和形式化抽象四种表现形式.高中函数概念在高中阶段是一个非常重要并且非常抽象的概念，所以，我们有必要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象.本文将从数学抽象素养的内涵及水平划分、阶段及表现形式、各表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现三部分进行论述.

【关键词】数学抽象;函数概念;内涵及水平划分;阶段;表现形式

一、引言

2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其中明确指出：研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准.2016年，《中国学生发展核心素养》发布，核心素养包含人文底蕴、科学精神、责任担当、实践创新、学会学习、健康生活.2018年，教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》凝练并提出数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，同时其也指出数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，贯串在数学产生、发展、应用的过程中.从数学抽象素养的角度出发分析教材非常有意义.

函数是高中数学的重要内容，并且作为高中数学课程的一条主线.函数在高中阶段是一个非常重要并且非常抽象的概念.高中阶段函数的概念具有抽象性，很多学生不理解高中数学函数的概念，这对后续学习函数的内容产生了影响.所以我们很有必要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象.

二、研究方法

本文采用文献研究和案例分析的方法，收集关于数学抽象素养内涵及水平划分、阶段及表现形式方面的文献，同时结合人教A版高中数学教材函数概念的教学案例，分析数学抽象素养的各个表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现.

三、研究问题

本文主要从数学抽象素养的角度分析人教A版高中数学教材函数概念的抽象，从数学抽象素养的内涵及水平划分、阶段及表现形式、各表现形式在人教A版高中数学教材函数概念中的体现三部分进行论述.

四、数学抽象素养的内涵及水平划分

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.数学抽象的对象是空间形式和数量关系，数学在本质上研究的是抽象的东西.抽象是思维的基础，学生只有具备了一定的抽象能力，对事物的认识才能从感性认识上升到理性认识，从而获得事物的本质特征.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数学抽象素养水平划分为三部分，水平一是高中学业水平考试的要求，水平二是高考的要求，水平三是大学自主招生的要求.水平一要求学生能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则;能够在特例的基础上归纳并形成简单的数学命题;能够模仿学过的数学方法解决简单问题;能够解释数学概念和规则的含义，了解数学命题的条件与结论;能够在熟悉的情境中抽象出数学问题;能够了解用数学语言表达的推理和论证;能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想;在交流的过程中，能够结合实际情境解释相关的抽象概念.

水平二要求学生能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题;能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;能够理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系;能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想;在交流的过程中，能够用一般的概念解释具体现象.

水平三要求学生能够在综合的情境中抽象出数学问题，并用恰当的数学语言予以表达;能够在得到的数学结论基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题;能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构;能够理解数学结论的一般性;能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系;在现实问题中，能够把握研究对象的数学特征，并用准确的数学语言予以表达;能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想;在交流的过程中，能够用数学原理解释自然现象和社会现象.

五、数学抽象素养的阶段及表现形式

数学抽象素养经历了简约阶段、符号阶段、普适阶段三个基本阶段.简约阶段指把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，并能够清晰地表达;符号阶段指去掉具體的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物;普适阶段指通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般的意义上解释具体事物.张胜利也认为数学抽象具有层次性，将数学抽象具体划分为实物抽象、半符号抽象、符号抽象、形式化抽象四个表现形式.其中实物抽象和半符号抽象处于简约阶段，符号抽象处于符号阶段，形式化抽象处于普适阶段.

实物抽象指以实物为对象进行抽象，其在很大程度上依据人对实物的直观感受.例如，教师在讲解圆的概念时，引入车轮、圆月等实物，给人以圆的直观感受，这是抽象的第一步.

半符号抽象指部分属性已经从实物中提炼出来，但是并没有完全脱离实物.例如，教师在讲解函数的奇偶性时，通过观察一些初中学过的具体的函数图像，提炼出偶函数性质是定义域关于原点对称，图像关于y轴对称，但是这些仅仅基于一些具体的函数，并没有推广到所有的偶函数，没有完全脱离实物.

符号抽象指完全脱离具体的内容，抽象结果具有一定的可推广性.下面我们列举一个具体的例子：

一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间DI：

如果x1，x2∈D，当x1