“大概念”统摄下的数学教学

黄兴民

[摘  要] 在小学数学教学中，“大概念”位于“数学课程学习中心”，蕴含着核心知识概念、数学方法模型和数学学科大图景。运用大概念能建构知识框架，能厘清学习脉络，能确定主题内容。作为教师，要以大概念为抓手、以大概念为锚点、以大概念为经络，聚焦学生学习方向，优化学生学习路径，引导学生进行学习梳理。通过大概念学习，发展学生的高阶思维，催生学生的高阶认知。

[关键词] 小学数学;“大概念”统摄;统摄教学

所谓“大概念”，是指“在学生数学学习中发挥核心作用、起统摄效能的概念”。“大概念”的英文是“Big Idea”，它不是指数量宽广，而是指“核心”“关键”。“大概念”这一术语是由英国科学教育家温·哈伦在《以大概念理念进行科学教育》一书中首次提出。目前，大概念已经超越了科学教育边界，成为一种具有学科教学普遍意义的重要概念。一般来说，大概念往往概括知识的抽象意义，蕴含着知识的重要思想方法，能促进数学知识的生成、生长和生发。作为教师，要立足于大视野，运用大融合、大协调的策略，提炼、抽象、应用大概念，让大概念进行大聚焦、大统整，从而发挥出大概念的应有效能。

一、运用“大概念”可以做什么

运用数学大概念，我们要思考和实践好两个问题：其一是运用大概念可以“做什么”？其二是“怎样用”大概念？大概念教学往往是主题化的，能建构数学知识结构，能确定教学主线、脉络，确定主题教学目标、内容等。大概念具有逻辑结构性、情境迁移性和延续持久性等的特质。作为教师，要充分运用大概念，进行整体性教学、结构性教学、系统性教学等。

1. 用“大概念”建构知识框架

数学知识从整体上看就是一种结构、系统。在小学数学教学中，教师应该用大概念来建构知识框架。搭建知识框架，一般有两种意义、功能和作用，其一是解释性的功能框架，其二是应用性的功能框架。在整体性的知识框架中，大概念往往位于中心、核心、关键、节点之处。教学中，教师要立足于学科整体高度，研发大概念，让学生通过大概念能自主地搭建知识框架。比如，用“相同计数单位”这一大概念，能统合“整数加减法”“小数加减法”和“分数加减法”等相关内容，从而建构“数的加减法”的知识框架，将“整数加减法法则”“小数加减法法则”和“分数加减法法则”融合其中。

2. 用“大概念”厘清学习脉络

在数学知识结构之中，教师可以用大概念来确定学习脉络、主线等，从而有效地引导学生的数学学习。在数学学科中，有些大概念应当贯穿板块学科知识的始终。比如“底面周长乘高”这一组合性的关系大概念应当贯穿于直柱体侧面积学习的始终;“底面积乘高”应当贯穿于直柱体体积学习的始终;比如“计数单位”这一大概念应当贯穿于数的认识（包括整数、小数和分数）的学习始终，等等。在学生数学学习之中，大概念往往发挥着支撑性、纽带性、桥梁性的作用。教学中，教师应当对大概念进行意义赋予、意义丰盈，从而能让大概念广泛应用于相关内容的领域。

3. 用“大概念”确定主题内容

在数学教学中，教师还可以应用大概念进行主题教学，从而进行相关内容的开发。一般来说，大概念更适合于单元教学设计或者跨单元、跨级教学设计。有时候，大概念既能统摄连续性的教学内容，又能统摄非连续性的教学内容。在足够宽泛的内容范畴内，大概念能将看似没有实质性关联的内容统合起来。借助于大概念，能体现其进阶建构的价值。比如教学《分数、小数和百分数的互化》（苏教版六年级上册）之后，笔者用“因数2、5”大概念，设计、研发了《一个分数能化成怎样的小数》的主题课，从而消除了学生对“怎样的分数能化成有限小数”的疑问，同时能让学生快速判定一个分数能化成怎样的小数;同时，运用“交相减法”的方法大概念设计、研发了《循环小数与分数》的主题课，从而让学生认识、理解到“循环小数能不能化成分数”“循环小数怎样化成分数”的操作难题。从某种意义上说，大概念统摄的内容越不连续，就越能体现大概念的组织力。

二、数学教学中怎样运用“大概念”

在数学教学中，我们应当以“大概念”为抓手，引领学生进行上位学习。作为教师，可以以大概念为抓手、以大概念为锚点、以大概念为经络，聚焦学生学习方向，优化学生学习路径，引导学生进行学习梳理，从而让学生的数学学习更富有深度、更高效。大概念统摄下的数学教学，要以学生为中心，赋予学生充分的思考、探究时空，赋予学生数学学习的自主权力。通过大概念学习，发展学生的高阶思维，催生学生的高阶认知，进而有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

1. 以大概念为抓手，聚焦学生学习方向

小学数学课堂教学任务是多样的。教学中，教师可以运用大概念，将复杂的任务简约化。以大概念为抓手，将复杂性的任务分解成主任务、大任务。在这里，大概念发挥着聚焦教学方向的意义和作用。比如教学《运算律》这一部分內容，笔者秉持“猜想——验证”的探究方法思路，引导学生学习“加法交换律”“加法结合律”“乘法交换律”“乘法结合律”和“乘法分配律”。教学中，以方法大概念为抓手，将相关的教学内容进行整合，比如将“加法交换律”和“乘法交换律”整合成“交换律”;将“加法结合律”和“乘法结合律”整合成“结合律”。在教学中，通过不同的知识地推导，能让学生感受、体验到“猜想——验证”这一不完全归纳方法的使用。相比较于知识大概念，方法大概念更具有启发性、迁移性意义和价值。在小学数学教学中，以大概念为抓手，能有效地聚焦教学方向。

2. 以大概念为锚点，优化学生学习路径

大概念之于学生的数学学习，不仅具有聚焦教学方向的作用，更具有优化学习路径的作用。在数学教学中，大概念可以有效地驱动学生的数学学习。围绕大概念，教师可以引导学生选择学习路径，从而让学生经历更为丰富的数学猜想、推理、验证、探究等的丰富的学习过程。教学中，教师可以大概念为锚点，引导学生基于经验，完成对数学知识的自主建构。比如教学《分数乘法应用题》和《分数除法应用题》，教师就应当引导学生紧紧抓住单位“1”的量，把握单位“1”的量是已知还是未知，把握分率和具体数量之间的对应关系，就能优化学生的学习路径。在学习中，教师可以辅之以线段图、辅之以写等量关系等，引导学生分析问题、解决问题。以单位“1”的量为锚点，能促进学生对分数应用题的分析，深化学生对分数应用题的认知，让学生自主解决问题。在数学教学中，教师还可以引导学生运用大概念对具体问题进行聚类、归类分析，从而深化学生的认知，促进学生的问题解决。

3. 以大概念为经络，引导学生学习梳理

大概念是数学知识结构中的关键节点，把握好大概念，以大概念为经络，能引导学生进行学习梳理。在小学数学教学中，教师要利用大概念，引导学生反思、总结，对学生的数学学习进行反馈、总结、梳理，从而引导学生建构数学知识结构，完善学生的数学认知结构。比如教学《长方体和正方体》（苏教版六年级上册）这一单元之后，笔者以“特征”“棱长总和”“面积”“体积”等四个大概念，将长方体和正方体单元所要学习的内容进行提纲挈领地梳理，进而引导学生借助于大概念来理解、认识、解决具体问题。以“面积”大概念为例，笔者让学生掌握底面积、侧面积、表面积、材料用量等相关概念。以大概念为经脉，引导学生对数学知识进行横向勾连和纵向拓展，从而让学生围绕大概念分层建构，形成数学知识结构和认知结构。

德国著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中深刻指出：“数学教师应具有较高的数学观点，观点越高，事物就越显得简单。”在小学数学教学中，大概念位于“数学课程学习中心”，蕴含着“核心知识概念、数学方法模型和数学学科大图景”。站在“大概念”的视角，对数学教学进行整体谋划，能让教师占领数学学科教学制高点。要自觉地抽象、提炼、把握知识大概念、方法大概念、关系大概念，从而让大概念真正成为学生数学学习的有效载体。在数学教学中，大概念不仅具有本体性数学价值，更具有工具性教学价值。