变中寻不变 玩中悟本质

朱国军

【摘 要】让每一个儿童在“玩”中体会探索和发现数学知识的无穷趣味，是一个值得研究的话题。“A4纸中的数学问题”是以图形的面积计算为例重新拓延的一节课，主要教学思路是通过引导学生玩转A4纸，渗透“等积变形”的思想，促使他们在深化图形面积计算的基础上发现图形之间本质的共通性，感悟数学思想的魅力，形成灵活变通的数学思维。

【关键词】“A4纸中的数学问题”;等底等高;变与不变;不同角度

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）43-0061-05

【作者简介】朱国军，南京师范大学附属中学江宁分校小学部（南京，211102）教师，高级教师，江苏省数学特级教师，新一轮南京市“斯霞奖”（首届）获得者，南京市中青年拔尖人才。

【背景】

数学大师陈省身曾为广大少年儿童题词“数学好玩”，呼吁我们的数学教育要让学生在“玩”中学，让每一个儿童在“玩”中体会探索和发现数学知识的无穷乐趣，真切地感受到数学充满魅力。笔者在教学中发现，学生兴趣的激发、素养的形成，多依赖他们参与其中的活动及其对这些活动的感悟与思考。数学知识与技能是显性的，数学思考与经验是隐性的，我们要尝试在学科素养的基础上将隐性的素养通过显性的基础知识进行显性的培养。

在“图形与几何”教学中，笔者发现，学生的思维不够灵活，思路不够开阔，对基本图形的面积计算均能熟练地掌握，但在进行組合图形的面积计算时，时常束手无策。认真审视这类问题，最主要的原因在于学生的思维没有打开，认知不够灵活，未能在“变”中找“不变”，未能发现组合图形的本质。在平时的教学中，不少教师都偏重于关注解决这类问题的方法策略及技能的训练，而对于“等积变形”的思想体验不够深入，教材中也恰恰缺少跨越这道思维之坎的内容。因此，在学生熟练掌握“三角形的面积计算”之后，笔者拓延出了“A4纸中的数学问题”这节课，借助玩转A4纸渗透“等积变形”的思想，在深化图形面积计算的基础上，引导学生发现图形之间本质的共通性，感悟数学思想的魅力，培养灵活变通的数学思维。

【教学过程及分析】

一、基于情境，培养创想意识

课件播放A4纸的魔法视频，渲染气氛。（最后定格在一摞彩色A4纸上）

师：大千世界，创意无限，一张A4纸竟然有如此的魔法。不过，这样的创意想法要靠我们大胆的想象。今天，我们也借助具有魔法的A4纸来探寻数学上的相关知识。

二、动手操作，寻找共性问题

1.动手操作。

师：研究A4纸的什么呢？请看大屏幕。

课件出示：折一折、画一画设计图案，使阴影部分的面积是A4纸的[12]，尽量多设计几种不同的图案，看谁设计的图案独特、新颖、有创意。

教学中如果没有挑战性的任务或要求，学生一般都会把A4纸对折平均分成两份。鼓励学生尽可能多地设计不同、新颖、独特的图案，就是逼着学生突破原有的认知和思维定势，使他们巧妙运用“等积变形”的知识设计作品。

2.展示作品。

学生活动，教师搜集典型作品贴到黑板上。

3.分类梳理。

师：把这些作品分分类，你打算怎么分？

（1）A4纸对折类

师：我们先看这几幅图（如图1），哪些同学是这样画的？讲给大家听听。

小结：这个对折的方法操作简单，一眼就能看出对折后的三角形是A4纸的一半。不过折是有讲究的哦。（引导学生说出折痕通过中心点）

（2）顶点在长边或宽边

师：谁来说说，这几幅图（如图2）的阴影部分为什么是A4纸的[12]？你是怎么想的？

生：因为这个三角形的底和A4纸所在的长方形的长相等，高和这张纸的宽相等，所以三角形的面积就等于这张纸的长×宽÷2，也就是这张纸面积的一半。

师：三角形的顶点是否可以是纸的长或宽上的任意一点呢？

生：可以，只要在A4纸的四条边上任意一点画出的三角形都和A4纸等底等高，面积都是A4纸的[12]。

生：沿着长边和宽边延长找个点连起来的三角形的面积也相当于这张纸面积的一半。

几何画板演示在长方形的长和宽上不断地滑动动点（如图3），边演示边小结：这个P点的位置沿着长边或宽边不断变化，你们发现了吗？随着这个点慢慢移动，锐角三角形慢慢变成了直角三角形。什么在变？什么没变？沿着这条边移动到长方形的外面，你又发现了什么？（底和高依然不变，面积也依然不变）真好！同学们能从变中找到不变。（板书：等底等高）

（3）顶点在长方形内

师（出示图4）：这些图案形状有点怪，情况有点复杂了，谁来解释一下？

学生借助辅助线汇报，略。

师：那么，这两个三角形的交点除了图中的位置，还可以在其他位置吗？

生1：可以在A4纸内任意位置。

生2：不管怎样连，都是利用等底等高的知识。

师：真好！借助辅助线我们可以透过现象看本质。实际上，不论这个交点移到哪里，三角形都和它所在的长方形等底等高。想象的确很重要，不过，老师还是想让你们看到你们想象的图案，让你们看得清楚、想得明白。

几何画板演示P点移动到长方形的任意位置。（如图5）

师：老师沿着这条辅助线向右慢慢移动P点，你发现了什么呢？再向上移动呢？

生：图形之间实际上是一样的，移动P点可以把不一样的图形变成一样的图形。

小结：学会在变化中找不变才能真正发现变与不变之间的关系。我们学习就要这样，发现别人发现不了的才是最棒的。只要巧妙地移动P点，这些阴影部分的形状都是相通的。

此环节是在学完图形的面积计算之后，要求学生用多种方法表示A4纸的[12]，力求独特新颖。然后要求学生根据不同的作品分分类，在分类交流时发现同样是A4纸的[12]，却可以有很多种不同的形状来表示。在此过程中，借助“面积相等”强刺激，让学生在变中找不变，突出等底等高的三角形面积相等。接着通过几何画板动态演示三角形的“等积变形”，让学生感受到点在动，形在变，高与面积依然不变，透过表面现象发现其实每一个图案之间都有共通性，它们的本质是一样的，力求从“思维的多样化”向“本质的统一性”过渡。

三、灵活运用，拓宽思维边界

1.研究一张A4纸。

师：我们把这张纸的四个角分别标上A、B、C、D，刚才老师提到为了便于研究，把这张纸的面积约定为多少？（600平方厘米）也就是长方形ABCD的面积为600平方厘米。E、F、G、H分别是这四条边的中点，请你尝试连接其中任意三个点画出大小不一的三角形，并求出它的面积。

学生动手操作后展示交流。

师：谁来说一说你画的三角形？

生：我画的这个三角形和长方形的纸等底等高，所以是长方形面积的一半，300平方厘米。（如下页图6中第一个图形）

师：有比300平方厘米更大的三角形吗？

生：没有。

师：看来最大的三角形就是长方形面积的一半。那么有面积是300平方厘米、形状不一样的吗？

生：第二个三角形我们可以借助辅助线发现它和半张长方形纸等底等高，那它的面积就是这张纸的一半的一半，150平方厘米。（如下页图6中第二个图形）

生：借助辅助线发现，这个三角形和A4纸的[14]长方形等底等高，所以它是[14]张A4纸的一半，A4纸面积的[18]，75平方厘米。（如下页图6中第三个图形）

师：还有比75平方厘米小的三角形吗？还有和这三个面积不一样的三角形吗？

生：我先沿着这四条边的中点画出两条辅助线，发现三角形ADE是长方形AEGD的[12]，也就是A4纸的[14]，三角形EBF是[14]张A4纸的[12]，也就是A4纸的[18]，三角形DFC是半张纸的[12]，也就是A4纸的[14]，那么阴影部分面积就是A4纸的[38]，225平方厘米。（如图6中第四个图形）

小结：与众不同，真厉害！发现别人发现不了的问题。有时候，添加辅助线可以使图形简单化，也是你想象力和创造力的集中体现。

如果说第一个环节设计是大胆想象，更多的是培养学生的创造力，那么这个环节更多是思维力的提升。通过开放性的设计，在A4纸中找大小不一的三角形，从弄清三角形与等底等高长方形面积之间的关系提升到灵活运用的水平，意在充分盘活所学的知识，既是对前面找A4纸的[12]进行巩固，也是一种变式和超越，同时能推动学生的空间观念得到更好的发展。

2.研究1 [14]张A4纸。

师：老师看出有的同学洋洋得意了，现在，我们把这张A4纸对折再对折平均分成四个小长方形，那么这个小长方形和大长方形（很相似，只是大小不一样），将小长方形和大长方形拼在一起，你还能连接图中的三个点，连出大小不一的三角形吗？

学生操作时，教师巡视并提醒：能否挑战一下自己，不要总画大家一眼就看明白的简单的直角三角形。之后学生展示交流。

生1：在讲之前，我先补上两条辅助线，这个三角形ABF是这个1 [12]张纸的一半，450平方厘米。（如图7中第一个图形）

生2：这个三角形BDE虽然和前一个形状不一样，但面积是一样的，只是它的底变成它的高，它的高变成它的底，换来换去，实质不变。（如图7中第二个图形）

师：还有同学有不一样的三角形吗？

生：这个三角形BDF的面积是小长方形ABCD面积的 [12]，150平方厘米。我是这样想的，连接CF，我们发现CF和BD互相平行，平行线之间的距离处处相等，也就是三角形BDF和三角形BCD同底等高，所以它的面积是150平方厘米。（如图8中第一个图形）

师：辅助线起到立竿见影的作用了，我们再来看看这个同学的三角形。（如图8中第二个图形）

生：三角形AEG和三角形EGC等底等高，所以看似窄窄的三角形，实际上也是小长方形面积的一半。

小结：同学们真不错！活学活用，平行线的知识在这儿起作用了！眼睛不要眨，我会让你们刚才的推理尽情地显现出来，（几何画板演示）瞧！点在线上平移，面就发生了变化，什么没變？（高）

师：会看的人既能看到三角形，又能看到这个三角形隐形的样子，还能看到三角形与它所在的图形之间的关系。

师：老师还想了解一下，你们没上这节课之前是怎么求它面积的呢？

生：用大面积减去几个空白三角形的面积。

师：一个一个减？看来有些时候过程复杂，思考起来却很简单;有些时候过程简单，思考起来却很复杂。抓住变与不变就能让复杂的思路简单地呈现出来！（板书：复杂 简单）

此环节问题开始升级，让学生在1 [12]张A4纸中设计各种不同形状的三角形，组合图形中连接三角形，实质上是让学生的思维呈现在他们的设计中，这样的问题是具有挑战性、开放性的。此时，可以“等积变形”的图形呼之欲出，但有些学生能画出来，却看不出其中的门道，教师让学生在作业纸上添加辅助线，让学生一起想象移动三角形顶点，形在变，平行线之间的高的长度依然不变。这时，有少部分学生依然难以在直觉上充分感知，教师借助几何画板让他们再次感受“等积变形”的动态变化，推动他们的想象变得形象、可感，使他们真正领会了变与不变，对所学知识、方法也有了提升和创新，思维不断向纵深挺进。

3.组合图形。

师：老师在A4纸上画出了这幅图（如图9中第一个图形），告诉我，你看到了什么？你能求出阴影部分的面积吗？

生：我看到四个三角形，但不知道底和高。

师：我看到的是这样的！（动画四步演示如图9第二～四个图形）

生：太奇妙了！一个四边形竟然变变变，变成了面积相等的三角形。

师：是什么起了作用？

生1：等底等高。

生2：能在变中找不变。

师：老师希望，今天这节课留给大家印象最深的，不是“等底等高”，不是求三角形面积，也不是A4纸的一半，更多是思考“为什么我看不到的，他却能看得到;我想不到的，他却能想到;我做不到的，他却能做到”。答案就在这里——

播放视频“换个角度看世界——1分钟”。

师：法国雕塑艺术家罗丹说，换个角度看问题，生命就会展现出另一种美。此时，朱老师想说，从不同角度思考问题，数学就会展现出独特的魅力。

课尾，笔者设计了四个三角形组成的四边形，这个图形的多次变形给学生的视觉以强大的冲击，看起来4个不知底与高、无从下手求面积的三角形，竟然变魔术一样变成了一个直角三角形（即A4纸的 [18]），学生直呼神奇。信息技术应用到课堂实践中，能让数学知识以综合化的形式呈现出来，集万千特色于一身，继而形成对学生多重感官的刺激，帮助学生建立空间与图形观念，在提升知识传递和内化效率的同时达成培养兴趣、启迪思维的核心素养培育目标，课堂的宽度和广度也得到了很好的提升。