重视数学概念的意义建构

【摘 要】概念是数学的基础。数学概念教学不能仅满足于学生的准确记忆，还应当引导学生构建数学概念的意义，获得基本活动经验，实现数学学科的育人功能。以“平均变化率”为例作教学展示与分析。

【关键词】问题驱动;核心素养;数学文化;高中数学

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）45-0076-05

【作者简介】王思俭，江苏省苏州中学（江苏苏州，215007）教师，正高级教师，江苏省特级教师，全国优秀教师。

目前，不少教师将数学概念课上成了平铺直叙的学生自学课，还有的教师将其上成了着眼于培养解题能力的技能训练课。对如何在概念课上有效地落实立德树人的根本任务，如何运用数学活动更好地培养人，如何充分挖掘数学对象背后的数学思维价值，如何实现数学的科学与人文价值，缺乏深入研究和思考。数学概念教学一般包括概念的引入、内涵与外延的明确、概念的应用等环节。教学过程不只是让学生接受、记忆、模仿和练习，更主要的是要让学生自主探究，构建出自己的数学活动经验，使数学学习成为发展智力、提升科学思维和人文思维的过程，在此过程中少不了教师对问题驱动的运用。因此，把握数学概念课的核心，提高教学效率，是摆在广大数学教师面前的一个不容回避的课题，也是亟待解决的问题。笔者以“平均变化率”一课教学为例试作说明。

一、学情分析

本节课的授课对象是江苏省苏州中学高二（2）班的学生，该班数学学业成绩在年级第三四名徘徊，学生的学习热情很高，解决问题的思路较多，思维较为活跃，但容易忽视对基础题的训练，不够重视对教材的研读。

二、教学设计理念

1.设计理念。

问题是数学思想的源泉，是数学思维的动力。在数学课堂教学中，没有问题就没有学生的思维活动，有了问题，学生的好奇心才能被激发，思维才能被启动。因此，没有问题驱动的教学必定是大量的机械重复训练。数学就是在问题的不断提出与解决中发展的，数学的一切概念、公式、定理，都是因解决问题的需要而产生的。学生的数学思维能力也是由于问题解决得以提升。

教学设计的流程图如图1所示，该流程是一个强调问题驱动的探究式学习过程。

2.教学目标。

（1）能從生活实践中理解并掌握平均变化率的定义，培养学生会用数学眼光去观察事件，会发现问题，培养数学抽象、数据分析等素养。

（2）渗透数学思想方法，增强学生的数学活动经验，培养学生用数学思维去分析事件、分析问题并解决问题的能力，强化数学研讨交流的意识，培养数学运算、数学建模和数学实验素养。

（3）经历代数、几何视角探究平均变化率的主要过程，让学生体验其中的数学思想，让学生会用数学语言去表述事件，培养学生直观想象、逻辑推理素养。

三、教学过程

1.概念引入。

利用上课前的几分钟，回放校运动会100米决赛的视频。

教师：同学们，你们还记得在校秋季田径运动会上，在100米的决赛中，我们班谁的名次最好？成绩是多少？

生：是孙同学，成绩是12秒9。

师：好成绩！有没有50米的项目？

生：没有。

教师（出示PPT）：请看问题1（1）。在某次校运动会，甲同学100米的成绩是13.9秒，乙同学50米的成绩是7.9秒，你认为谁的成绩好？

【设计意图】引导学生学会用数学眼光观察事件，为平均变化率铺垫。

生：不在同一个项目组，不具有可比性。

师：不比较他们的名次，还可以用什么来衡量他们的成绩？

生1：比较他们的平均速度，谁的速度大，谁的成绩好。甲的速度是[10013.9] m/s，乙的速度是 [10015.8] m/s，因此甲同学成绩好。

生2：也可以用每米所用的时间来比较成绩，结果也是甲的成绩好。

师：很好。现在看问题1（2）。在经营某商品时，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

生3：他们用的时间没有给出，因此无法比较。

师：那现在补充条件——在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？

【设计意图】鼓励学生用已有的数学知识解决生活中的问题，再一次为平均变化率的概念做铺垫。

师：现在看问题2。已知德国心理学家艾宾浩斯关于记忆保持量的研究数据（见表1）和艾宾浩斯的遗忘曲线（见图2），你们从图上看到什么现象？能否用数学语言表述？

【设计意图】此为数学在其他学科中的应用，通过学生常经历的“遗忘”体验，既激发学生学习热情，又引导学生认识到“温故知新”的重要性，同时让学生思考怎样刻画遗忘的快慢程度。

生：曲线刚开始时非常陡峭，后来越来越平缓。

师：你们用“陡峭”“平缓”来描述曲线的变化，通俗易懂。能否用数学语言来描述呢？

生4：图像上两点连线斜率率由大变小。

生5：应该是斜率的绝对值由大变小。

师：正确！图像上任意两点的连线的倾斜程度都可以用斜率来刻画，斜率的绝对值越大说明遗忘的速度越快，而此时图像由“陡峭”变得越来越“平缓”，根据斜率计算也可以看出这一现象。那现在来看看问题3。现有苏州市2017年3月的某天和4月的某两天日最高气温记载（见表2，对应的气温曲线图略）你们感觉哪个时段的天气较热？能说明理由吗？

[时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5°C 18.6°C 33.4°C ][表2 气温数据]

【设计意图】用生活中的数学问题导入，可以让学生在熟悉的情境中逐步体会新知。通过两个阶段的温差的提问，让学生进一步认识图象变化的“陡峭”和“平缓”。

2.概括内涵。

教师：如果将气温曲线抽象为函数y=f（x）的图象（函数定义域拓展为[0，100]，见图3），任取x1，x2∈[0，100]，你能写出函数y=f（x）在区间[x1，x2]上平均变化率的计算式吗？如何刻画变量f（x）在区间[x1，x2]上随x变化的“快”与“慢”？

【设计意图】利用温度变化曲线教会学生研究问题。学生自行观察图象的变化趋势与时间的关系，更能直观看出图象的变化快慢，为瞬时速度和导数的知识提前作铺垫。

生6：直线的斜率是刻画直线的倾斜程度，所以利用它来刻画较合适。例如，温度曲线中从A→B变化速度较慢而从B→D变化速度较快，斜率越大f（x）的变化速度越快，斜率越小f（x）的变化速度越慢。

生7：不正确！因为，直线的斜率也有负值，例如遗忘曲线，第一天的递减速度较快，但对应的斜率为负值，较小，应该是直线的斜率绝对值越大，f（x）的变化速度越快。

师：对的。你们能给出函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率的定义吗？它的几何意义是什么？

【设计意图】从图形语言过渡到数学语言、符号语言。

学生回答后教师总结：平均变化率是近似的代数表示形式，即曲线陡峭程度的“数量化”;而曲线陡峭程度是几何图形的直观体现，即平均变化率的“视觉化”。这与利用割线斜率绝对值的大小近似刻画函数图象的变化陡峭程度完全吻合，这是数形结合思想的体现。

3.数学应用。

师：学习数学的目的，就是利用它解决生活实践中的实际问题，现在请看实例。

例1 中华人民共和国人口普查登记的结果公布如下：

（1）1982年到1990年，1990年到2000年，平均每年增加多少人？（2）1982年到1990年，1990年到2000年，人口的平均变化率是多少？（3）从前两题结果来看，你能得到什么结论？

例2 已知函数f（x）=x2，分别计算f（x）在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3];（2）[1，2];（3）[1，1.1];（4）[1，1.01];（5）[1，1.001]，比较大小，并作出图象。

生8：对于例2，当x从大于1的方向无限趋近于1时，平均变化率就无限趋近于2。当x从小于1的方向无限趋近于1时，平均变化率仍然无限趋近于2。这是什么原因？

师：趋近于2，不是等于2，这说明平均变化率的极限状态是2。

生9：是不是可以说明在x=1时，平均变化率就是2呢？

师：平均变化率是闭区间上的问题，而在x=1处，是指无限接近于1的一瞬间所发生的现象。

生10：所以可以叫作瞬时变化率，本题对于任意的a值都可以求出当x→a时的变化率为2a。

【设计意图】例1旨在让学生厘清有关概念，引导学生关注我国的人口变化趋势，凸显数学学科育人的教育功能。例2原本的目的是唤醒学生的记忆，用平均变化率的几何意义为以后学习导数作铺垫。但教学中学生的表现超乎预期，提到了瞬时变化率，这也就为后续的导数学习做了铺垫。

四、教学启示

1.以良好的课堂情境促进学生的主动交流。

建构主义认为，情境是知识赖以产生的背景，是认识活动的来源，良好的课堂情境能够促进学生主动、高效的学术交流、研讨。数学课堂情境的作用就在于激发学生的求知欲望、引导学生主动参与、积极探究和意义建构，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识。本课的情景创设从实际出发，都是学生所熟知的，例如运动会百米决赛成绩、艾宾浩斯的遗忘曲线等。学生带着期待和已有经验，很快进入了探究活动，经过师生对话、生生交流和相互协作，学生自主发现平均变化率的几何意义。学生能感受数学知识发生、发展的过程，体会数学知识的作用，感受数学与现实世界和生活的关系。例如问题1（2）是经济类型问题，需要学生运用数学知识进行估算、预测;问题3中的“温度曲线”考察学生的直观想象能力，这些问题情境的创设都收到了良好效果。

2.以完整的教学引导促进概念的意义建构。

概念是数学学习的基础，每个概念都包含关键词和这些关键词之间的关系。因此概念的学习是一个包含关键词识别、关系连接等认知的建构过程。概念学习的意义建构就是把概念中的关键词和连接关系等各种要素建立新的联系，获得新的、本质的数学关系和数学运算的认识。如本节课的平均变化率，首先要让学生厘清平均变化率和平均数的区别与联系，其次要让学生知晓闭区间上函数的平均变化率如何进行数学运算，最后引導学生认识平均变化率的几何意义与代数意义，即“视觉化”与“数量化”，体现数形结合思想与直观想象能力。如果相关概念不辨析，关键词的顺序和关系不明确，数学运算和目的不清楚，那么概念教学的意义建构就会不准确，学生对此概念就模糊不清，教学效果就大大降低。所以，在概念教学中，不仅要抓住概念的关键词和本质特征，还要抓住概念理解的全部关键点，放手让学生举例说明，通过全面的教学引导，使学生获得完整的知识意义和应用技能。

3.以灵活的教学预设促进学生的课堂生成。

探究学习具有自主性、过程性、实践性、开放性等基本特征，因而探究性教学更加重视学生的主体地位。教学的重心不是教师的“教”，而是学生的“学”，教师的首要任务是教学生“为什么学”“学什么”“怎么学”。在课堂情境下，学生通过讨论、质疑、交流、辩论、反思、探究等认识和实践活动，会产生许多非预设的问题，探究的方向、方式、进程等过程性思维也会与教师的预想大相径庭。如本课中的例2，放手让学生自主完成并讨论，学生发现当x→1（从右边）时，平均变化率无限趋近于2，但学生又提出当自变量x从左边无限趋近于1时，平均变化率也无限趋近于2，此时学生开始疑惑“为什么会有一样的结果”。这时教师不能避而不答，应引导学生讨论，并强调“趋近于不是等于，这两个概念的含义不同”，紧接着学生提出“极限思想”，并且指出“割线无限趋近切线，而且切线的斜率为2”等。这些生成完全超出了课前的预设，这就需要教师灵活处理教学生成与预设的关系，充分关注学生课堂生成的特点，给学生的探究保留足够的时间，保证个体知识的自主构建和逐步完善。

4.以真实的数学文化促进学生的素养达成。

数学课堂教学不能止步于传授知识、学习解题，还要通过问题的解决，培育学生科学精神和创新意识，落实立德树人根本任务，促进学生在不同学习阶段的数学学科素养水平的达成。如例1的人口年平均变化率问题，学生运用所学知识解决人口增长率的变化情况，发现问题——即将老龄化，提出对策——二胎政策，并指出国家放宽二胎政策的正确性。通过激烈的“个爱与大爱、小家与国家”的辩论，使学生的家国情怀得到提升，体现了数学学科的育人功能。

我们还应该为学生营造一片充分展现数学文化价值的时空，引导他们去探索数学知识的渊源，领悟数学知识的本质，进而体会数学的价值。如例2 求平均变化率和动态演示，学生没有停留在具体的数字计算，而是推导一般情况，感悟极限的思想。

【参考文献】

[1]贝尔.中学数学的教与学[M].管家仲，李建才，等译.北京：教育科学出版社，1990.

[2]教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[3]涂荣豹.数学教学设计原理的构建——教学生学会思考[M]. 北京：科学出版社，2018.

[4]涂荣豹，宁连华，徐伯华.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社，2017.

[5]宁连华.数学探究学习研究[M]. 北京：高等教育出版社，2008.