优化数学活动 培养空间观念

徐伟　顾建芳

摘要：抽象、想象和描述是学生空间观念发展“序”的体现。教学中发展学生的空间观念，需要教师优化数学教学活动，致力于培养学生抽象能力、想象能力和描述能力。教师要善用观察比较发展抽象能力，重视实践操作培养想象能力，突出联想表达提高描述能力。只有这样，才能让学生在教学活动中积累丰富的表象，获得可贵的数学经验，逐步形成良好的空间观念。

关键词：空间观念;数学活动;抽象;想象;描述

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）02B-0052-05

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“空间观念是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。”[1]6从课程标准这段关于“空间观念”的描述中，我们可以看出抽象是想象的基础，想象是描述的前提，而描述又能进一步促进抽象的具体化和想象的合理性，抽象、想象和描述是学生空间观念发展“序”的体现。发展学生的空间观念，需要教师优化数学教学活动，致力于培养学生以上三个方面的能力。

一、善用观察比较，发展抽象能力

小学生对数学知识的习得，特别是抽象数学概念的构建，需要经历“图形认知（表象水平）—符号认知（分析水平）”的发展过程。认知心理学研究表明，在帮助学生建立有关几何形体的空间观念时，表象的获得十分重要。观察比较是把不同的事物或不同条件下的同一事物联系起来进行观察，从比较中发现其差异，以捕捉住它们各自的特征。学生通过观察比较，利用直观经验综合分析后可以抽象出事物的数学特征，进而发现数学规律。

（一）在观察比较中认识特征

观察比较是我们认识几何图形的时候最常用的方法，也是我们教师经常会设置的教学环节。通过呈现情境或是问题，学生通过观察比较，将具体的生活化问题抽象为数学问题，再通过综合分析数学对象的不同点和相同点，认识数学对象的特征。

比如在“认识三角形”一课的教学中，“什么是三角形？”就是一个抽象的概念。首先教师引导学生比较这些三角形，找一找它们的不同点和相同点。从不同点方面来看，形状不同、大小不同……显然这些并不是三角形的本质特征;而从相同点方面来看，3个角、3条边、由线段围成……三角形的概念就自然而然在学生心中形成了。有些复杂的概念，涉及的本质特征比较多、隐藏得比较深，我们就要通过多次比较，抽丝剥茧，一层一层比较，通过比较发现本质属性。比如“认识三角形的高”，要测量三角形的高，学生凭借生活经验可能会去量中间的线段，但这条线段究竟有什么本质特征，就要引导学生再深入比较这条线段和其他线段的不同点，层层递进，逐渐揭示“三角形高”的本质。

这个过程从观察、比较，接近本质到抽象、概括，自由表征，是我们最常用的认识图形特征的一种教学方法。

（二）在观察比较中发现规律

观察比较，能够认识事物的特征，但是认识本质之后，我们还要引导学生抽象概括、自由表征和发现规律。通过反复的观察和比较，可以促进学生进行抽象概括，再通过表征将抽象概括的特征内化为学生所掌握的知识，从而发现隐藏在表征之中的内在规律。

比如在“认识三角形”一课的教学中，学生已经通过观察和比较感悟三角形的概念，接下来老师提出这样的问题：你能不能用一句话来说一说什么是三角形？你能不能根据你对三角形的认识和理解，来画一个三角形？这样就通过语言表征和图像表征，进一步将三角形的概念抽象为我们的数学语言，从而让学生更深层次地“认识三角形”。

在“钉子板上的多边形”一课的教学中，教师往往会忽略如何引导学生观察比较，忽略规律的探究过程。钉子板边上8枚钉子、中间1枚钉子，面积是4平方米;边上10枚钉子、中间1枚钉子，面积是5平方米;边上10枚钉子、中间2枚，面积是6平方米……把这组数据放在一起观察、比较，学生就能从中抽象出“格点多边形”的面积公式，即面积S=m+n÷2-1（其中，m是内格点数量，n是外格点数量）。

上述的观察比较，是发展学生“数据分析观念”的重要手段，引导学生进行有效的观察和比较，才能为后面的数据整理分析打下基础，从而顺利发现规律。

（三）在观察比较中建立数学经验

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“要让学生通过义务教育阶段的数学学习，获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。”[1]8数学基本活动经验的建立要有个过程，这个过程就是“收集数据、整理数据、分析数据、发现规律、表征规律”。这个过程环环相扣，每个环节几乎都需要学生进行观察和比较。

比如在“长方形的长、宽的变化引起面积的变化的规律”一课的教学中，学生首先要收集长方形长、宽、面积的相关数据，再将数据整理到统计表中。在这“收集”和“整理”的过程中，实际上学生已经在观察和比较了，如：需要收集哪些数据？（原始数据和变化后的数据）需要怎样整理数据？（按照原始和变化后分类整理）接着，学生要对整理好的数据进行分析和探究，这两个环节包含了两个层次的观察和比较：一是學生作为独立的个体，自己比较刚才整理的原始数据和变化后的数据;二是学生作为班级的一员和其他同学比较探究结果，从而发现内在规律。最后，学生需要表征发现的结论，可以是语言，也可以是符号……这样就将结论进一步抽象为数学概念。在这个环节，学生又通过观察和比较，不断完善自己的认识，掌握规律。

综上，观察比较能够让学生更好地建立数学基本活动经验，使得学生对知识的获取都能有源可溯。学生具备了观察比较的意识后，在抽象概括数学问题时，会显得更加自然和精准。

观察比较能力的培养，笔者认为需要关注以下两个方面：一是要引导学生深入观察。观察细致，是学生观察能力的一个重要表现。学生在观察中，不仅要观察显性的现象，还要观察事物之间隐性的现象。二是要引导学生有序观察。有序观察是学生观察能力的一个核心素养，有序观察能够更好地辨析事物的本质，便于发现规律。

二、重视实践操作，培养想象能力

空间想象能力是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。让学生经历“动作认知（操作水平）—符号认知（分析水平）”的发展过程，能够有效培养学生的想象能力。教师应当重视引导学生通过操作活动获取感性的经验，不能忽略了让学生亲身经历把操作经验内化为数学经验的过程。只有重视实践操作，才能让数学抽象思维活动具备丰富的数学表象经验，让数学思维活动能够源源不断地发生下去。

（一）在实践操作中获得想象空间

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。不是每一个实践操作都能够用语言来取代的，恰如其分的操作能够在学生头脑中留下深刻的印象，这就是实践操作给学生带来的想象空间。学生大脑在对操作表象进行再加工后，才能想象出很多抽象的数学活动，从而掌握相关的数学知识。

比如在钉子板上学习“多边形”的相关知识时，为什么不能研究“圆”？教师当然知道“圆是由曲线围成的图形”，但是并不是每一个学生都能深刻理解这句话的。而学生在钉子板上一操作，马上就会发现任意两枚钉子之间形成的必定是线段，所以在钉子板上不能围成“圆”。另外，通过这样的操作，学生对“圆是由曲线围成的图形”这句话理解得也更加深刻了。

再比如在研究“三角形三边关系”时，教师同样应当设置实践操作环节，学生在操作以后，会在头脑中留下深刻的印象。学生在操作中会发现三角形的两条边不断往下旋转，如果能“碰头”，就能够形成三角形;如果往下旋转，这两条线段太短，就不能“碰头”，这样就不能够形成三角形;如果往下旋转，这两条线段刚好“合起来”能够跟第三条长边重合，这样也不能形成三角形。这个表象很重要，而且这个表象会为后面的逻辑推理打下基础。

综上，每一次实践操作都能为学生带来想象的契机，操作表象经过学生想象的再加工，就能形成丰富的数学经验，构建更加紧密的数学逻辑。

（二）在实践操作中提升想象能力

实践操作能够为学生带来想象的空间，想象的过程也能提高实践操作的实效性。科学合理的实践操作能够积极地提升学生的想象能力，为数学经验的积累打下扎实的基础。数学基本活动经验在小学数学教学中作为“四基”之一，重要性显而易见。笔者认为课堂上的数学经验主要分为两种：一是短时经验，二是长时经验。

所谓短时经验，是指上半堂课刚刚积累的方法、经验，下半节课就可以用了。这样的数学经验，主要是老师为了让学生能够更好地掌握相关知识，在设计教学过程时有意为之。比如在教学“长方形和正方形的认识”一课时，先研究“长方形的特征”，通过数一数、比一比、量一量、折一折等方法，经历猜想→验证→结论，归纳出长方形的特征。而在研究“正方形的特征”时，教师就需要引导学生利用刚才掌握的数学经验独立开展探究活动。

所谓长时经验，是指已经内化为学生认识的数学经验。这些经验是之前学生掌握的数学知识，在学习新知识的時候，就有可能成为能够帮助学生“正迁移”的数学活动经验。比如在学习“三角形面积”的时候，前一阶段学习“长、正方形的面积”“平行四边形的面积”时积累的经验——“未知→已知”的转化，就能够拿出来用了。

综上，实践操作是积累数学活动经验的过程，这个过程中，学生的想象自始至终都在不断地发生。实践操作不仅能够帮助学生积累丰富的数学经验，而且能够进一步提升学生的想象能力，因此教师在一线教学中务必要重视“实践操作”这一积累数学活动经验的重要手段。

（三）在实践操作中形成想象惯性

小学阶段，无论是概念课，还是练习课，教师均可以在课堂教学中设置合理的“实践操作”环节，建立“操作—想象”的思考模式，并将这一模式扎根到每一位学生的思维习惯中去。

比如说，学生在低学段认识整数的时候，就经常性地“摆小棒”“分卡片”……我们在中高学段教学“认识分数”“认识小数”“认识百分数”这些内容时，面对这些抽象的“概念课”，不妨还是借助一些直观图，让学生动手分一分、画一画……相信学生在长期的“操作—想象”模式下，“数形结合”考虑问题的思维习惯一定有所形成。

再比如说，我们在教学“长、正方形的认识”“长、正方体的认识”“圆柱、圆锥的认识”这些内容时，不妨经常性地借助一些学具让学生摸一摸、摆一摆、拼一拼，通过这样长期的实践操作，学生头脑中会习惯性地形成“想象”的概念，为图形特征的探究提供了丰富的素材。

笔者认为，只要我们重视实践操作，学生在头脑中积累的表象经验和数学活动经验就一定会越来越丰富，学生的想象习惯也一定能在日积月累中逐渐形成。

三、突出联想表达，提高描述能力

观察比较、实践操作是培养学生空间观念的基础手段，对于抽象的数学概念，直观形象毕竟只能为儿童提供理解的起点，而联想表达则有助于学生更快地摆脱具体事物的束缚，顺利地向抽象思维过渡。因此，描述作为数学概念建立的有效手段之一，在课堂教学中，突出联想表达，能够更有效地培养学生的空间观念。那么，我们应当怎样引导学生高效地描述“数学”呢？笔者认为在小学数学“图形与几何”以下四个部分的教学中，通过突出联想表达的要求，都能够培养学生的描述能力。

（一）在位置变换中突出联想表达

课堂教学中，教师要利用契机引导学生进行联想表达。在“位置变换”这类课的教学中，教师可以通过“画图”的方式，将观察到的、想象到的内容以“图”的形式抽象在纸上，再通过“看图”联想观察到的实物模型，通过交流表达自己的思考。在这个过程中，教师要帮助学生建立“实物—图像—联想”的认知模式，提升学生的描述能力。

比如在教学“观察物体”一课时，教师呈现观察对象的实物模型，引导学生将某一位置的学生看到的物体用画图的方式呈现出来，这是“实物—图像”的描述;而坐在其他位置上的同学，需要想象指定学生的“视角”，画出相应的图像，这是“图像—联想”的描述，最后让第一位学生来判断同学们联想的图像与自己所看到的实物是否一致。

上述教学中的“位置变化”就是一种空间想象，教师在实际教学中可以借助多媒体，但是多媒体不能替代学生的自主联想，尤其不能代替学生在联想基础上的这层“描述”，这一点对培养空间想象力尤为重要。

（二）在图形变化中突出联想表达

观察是对事物特征的认识，比较能够对初步认识的实物特征进行分类讨论，从而接近本质。联想不同于观察和比较，但是联想是建立在观察比较的基础上的，需要对现有事物进行分析，联想出图形或事物并未显性出来，却真实存在的延伸部分。

比如“点、线、面、体”的教学，小学数学教材从低学段到高学段极为有序地呈现了上述内容。但是怎样建立“点、线、面、体”之间的联系呢？学习直线时，学生认识到“直的、无限长、没有端点”，但是很少有老师会介绍“直线是由无数个点构成的”;关于“圆的认识”，小学教材里甚至没有给它一个定义，只是让学生充分认识了“圆的特征”……一方面受限于课堂时间段，没有充分的时间展开;另一方面也是我们不够重视图形变化中的联想。现在，已经有很多教师关注到这一问题，在“点、线、面、体”的教学中，都开始让学生体会到“累积”“极限”的思想，特别是一些多媒体技术（电子白板、几何画板等）的运用，已经让学生展开想象的翅膀，非常好地勾连了“点、线、面、体”之间的联系。

在教师的引领下，乐于在学习中展开联想，提出问题，分析问题，解决问题，最后获得较好的知识延伸，因此在图形变化中确实能够培养学生形成较好的空间观念。

（三）在空间转换中突出联想表达

学生思维的发展是有序的，从一维、二维到三维，从简单到复杂，对学生联想能力的要求也变得越来越高。特别是小学高学段二维平面图形与三维立体图形之间的转换，要求学生必须具备一定的描述能力。

比如说在教学“长方体和正方体的展开图”一课时，教师必须要为学生的“描述”做好铺垫。笔者认为首先让学生“剪一个长方体（正方体）的展开图”是非常有必要的，这也是前面所提到的“实践操作积累数学活动经验”的要求。有了这样一次操作体验，学生能够建构一个“三维”到“二维”的空间转换的通道。随后，在分析探讨“正方体展开图”的时候，学生才能顺利地展开联想，将想到的展开图“绘制成图”，再进行验证，从而完善自己的认识，提高自己的空间想象能力。

上面舉的例子，以操作为基础，但不局限于操作;以联想为延伸，但不仅仅是空想。在数学活动经验的基础上展开联想表达，对于学生描述的合理性和准确性有着非常重要的作用，学生空间观念的形成也就水到渠成。

（四）在媒体演示中突出联想表达

当下是信息技术的时代，因此多媒体技术运用于课堂是非常重要的，能够有效地提高我们的教学效率和效果。但是多媒体呈现图形或者图形的变化过程，仅仅是辅助，相当于建筑设计师呈现的“效果图”，可以引导我们学生的联想表达，但是不能主导学生的思想。

比如在教学“认识垂直”一课时，要解决“垂直线段最短”这个问题，教师做了一个动态的课件帮助学生理解数学知识。这个动态的课件，能够把原本难以描述的内容清晰地演示出来，帮助学生突破学习中的难点。但是，笔者在这里主张，我们的课件最好多一些“半成品”，给学生留下一些联想的空间。教师在运用媒体演示引导学生联想的时候需要处理好一个“度”的问题，既给学生提供联想表达的资源，亦要给学生留下联想表达的空间。教师只要鼓励学生顺着“联想”进行表达，将数学思考以语言、图像或者符号的形式表达出来，那么我们的数学课堂就能在激烈的思维碰撞中获得升华。

空间观念作为数学核心素养之一在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确地被提出，足以说明学生空间观念的培养是小学数学教学中重要的一个方面，也是学生应具备的一种基本数学素质。在数学活动中，我们要充分研究学情，不论在图形的认识，还是在图形的运动、图形的位置、图形的度量教学中，都应当利用好观察比较、操作实践和联想表达，让学生的空间观念得到有序的发展。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

责任编辑：石萍

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点自筹课题“小学数学教学中‘序的构建研究”（C-b/2020/02/36）的阶段性成果，作者为课题主持人。

收稿日期：2020-12-28

作者简介：徐伟，昆山市教师发展中心（江苏昆山，215300）小学数学教研员，研究方向为小学数学教育、教育管理;顾建芳，昆山市教师发展中心（江苏昆山，215300）副主任，研究方向为小学数学教育、教育管理。