基于自由平抛水柱的激光束全反射条件研究

何应虎，刘兴顺

(遵义师范学院，贵州 遵义 563000)

0 引言

水导激光在光学加工领域具有重要应用。当满足全反射条件时，激光可在水柱中远距离传播而几乎不损耗能量[1]。激光随水流轨迹的传播可分为直线或曲线传播。其中直线传播可通过自由下落水柱或高速喷射水柱实现，通常用于材料表面加工。曲线传播可通过特殊通道设计或水流在重力作用下的抛物线运动实现，不限于材料表面加工。

1993年Richerzhagen等基于光束在液体束内的全反射传播，设计出微射流水导激光装置[2]。随后，水导激光加工技术逐步发展起来[3]，并广泛应用于金属材料表面加工[4]、材料切割等领域[5-6]。这些研究主要基于高速水射流，轨迹为直线，适用于表面加工或材料切割。对于不规则形状或空心材料的内部加工，采用弯曲水柱引导激光加工是一种可选方案。根据全反射原理，当达到全反射条件时，激光束会沿弯曲水流传播。利用水柱在重力作用下的抛物线运动特性，通过控制水流速度和水柱直径大小，引导激光传播，可实现空心材料的内部加工或不规则形状加工。宫啸等研究了激光在水柱中的 Rayleigh-Plateau不稳定性问题[7]，王绍菊等[8]研究了平抛运动中粘滞力对水流初速度的影响。

本文基于平抛运动和斯涅尔定律[9]，忽略张力、粘滞力等影响，近似计算激光在平抛运动水柱中的全反射传播条件。水流在下落过程中速度越来越快，当水流速度较大时水柱将会分散，因此本文研究只针对水柱中前段。

1 自由平抛水导激光简化模型

图 1所示为激光在平抛运动水柱中传播示意图。水流从圆形出水口沿水平方向喷出，在重力作用下做平抛运动并形成弯曲水柱。忽略空气阻力等影响，水柱形状近似为抛物线。激光在传播过程中照射到水柱和空气交界面发生反射，从而随水流传播下去。设水柱直径为 d，水流初速度为v0，建立如图所示 x-y直角坐标系。激光从出水口中央水平向右入射，激光束在水柱中沿直线传播并照射到水柱和空气交界面，并在界面处发生反射和折射（或发生全反射）。由于激光束具有一定尺寸大小，所以照射区域为一曲面。设激光束直径远小于水柱直径，忽略激光束尺寸大小，则激光束照射区域近似为一点，设该点坐标为 P（x1, y1）。在该点作水柱上沿轨迹曲线的切线、法线、反射光线和折射光线，并设入射角为θ，折射角为a。由于水的折射率大于空气折射率，根据全反射原理，光从光密介质向光疏介质传播，当入射角小于临界角时，发生反射和折射，部分激光从水柱传出进入空气传播，部分反射光继续在水柱中传播。当入射角大于临界角时，发生全内反射，激光全部从界面反射并在水柱中传播。被反射的激光在传播过程中会再次照射到水柱和空气交界面，若满足全反射条件，激光束将再次发生全反射并随水流继续传播。

图1 自由平抛水导激光示意图Fig.1 Diagram of the water-jet guided laser beam

2 全反射条件计算

如图1所示，激光束经过第一反射点（P点）反射并照射到第二反射点。设第二反射点为Q点。根据反射线方程和水柱下沿抛物线方程计算得到Q点坐标

根据式（6）得到图 2所示激光束在 Q点的入射角随P点入射角变化的关系曲线。其中横坐标表示激光束在 P点的入射角，范围为48.8°＜θ＜ 6 7.5°。由图可知激光束在Q点的入射角随激光束在P点的入射角增大而增大。当激光束在P点的入射角大于全反射临界角48.8°时，激光束在Q点的入射角大于约52.4°。可见若激光束在P点发生全反射，那激光束反射到Q点，也必定在Q点发生全反射。

图2 激光束在Q点的入射角随P点入射角变化曲线Fig.2 The variation curve of the incident angle θq with θp

当 θ ＞ 6 7.5°时，第二反射点出现在水柱上沿抛物线。根据 PQ直线方程和水柱上沿抛物线方程可计算得到第二反射点横坐标为：

切线斜率为：

因此容易得到Q点入射角为：

根据式（9）得到图 3所示激光束在 Q点的入射角随P点入射角变化的关系曲线。由图可知激光束在 Q点的入射角存在最小值，即式（9）的极小值，约为77°，该值大于全反射临界角48.8°。此时对应 P点入射角为 θ ≈ 6 7.5°。当θ＜ 6 7.5°时，反射光线在水柱下沿抛物线第二反射点发生全反射。当θ＞67.5°时，激光束在Q点的入射角恒大于全反射临界角，所以激光束在 Q点发生全反射。

图3 激光束在Q点的入射角随P点入射角变化曲线Fig.3 The variation curve of the incident angle θq with θp

当水柱直径一定时，入射角qθ随着水流初速度变化，因此式（5）也可以表示成Q点入射角qθ与水流初速度之间的关系式为：

同理可以求得激光束在第三反射点以及后续所有反射点的坐标和入射角。根据各反射点的坐标和入射角，可以数值模拟得到激光束在水柱中的全反射光路。当d=1 cm，水流初速度v0=0.5 m/s时，模拟得到如图4所示激光束在水柱中的全反射光路图。从图中可以看出，水柱直径随着水流减小，这是水流在下落过程中速度越来越快，而水流量不变所导致的必然结果。

图4 激光束在水柱中的全反射数值模拟光路图Fig.4 The numerically simulated beam path of the laser propagating in the water jet

3 不同水注直径下的全反射情况

设水柱直径分别为d=1 mm、d=1 cm和d=1 dm，根据式（1）得图5所示激光束在P点的入射角与水流初速度之间的变化关系曲线。其中水平虚线处入射角等于全反射临界角。由图可知，当水柱直径一定时，激光束在P点的入射角随水流初速度增大而增大。根据式（3）可知，图中水平虚线与曲线交点处水流初速度约为3.6，交点上方入射角大于全反射临界角，交点右方水流初速度大于3.6，此时激光束在 P点发生全反射。水注直径越大，发生全反射所需要的水流初速度越大。表1所示为水柱直径分别为1 mm、1 cm和1 dm时，激光束在P点发生全反射的水流初速度最小值，分别为0.11 m/s、0.36 m/s和1.14 m/s。此时激光束在P点的入射角约等于临界角48.8°。

图5 激光束在P点的入射角随水流初速度变化曲线Fig.5 The variation curve of the incident angle θp with the initial velocity of the water jet

表1 不同水注直径下能发生全反射的最小水流初速度Tab.1 The minimum initial velocity with different diameter of the water jet on total reflection condition

4 结论

本文近似计算了激光束在具有水平初速度的自由平抛运动水柱中发生全反射的条件。激光束从水注中央水平入射，第一次照射到水柱和空气交界面 P点并发生全反射的条件为水流初速度v0≥ 3 .6。水柱直径分别为d=1 mm、d=1 cm和d=1 dm时，发生全反射的最小水流初速度分别为0.11 m/s、0.36 m/s和1.14 m/s。激光束反射并第二次照射到水柱和空气交界面Q点，在Q点的入射角大于全反射临界角，再次发生全反射。由于水流在下落过程中越来越快，将导致水柱直径越来越小，且当水流速度较大时水柱将会分散。所以本文研究适用于在水柱下落高度较小时的情况，此时水注直径近似保持不变，且轨迹近似为抛物线。因此，基于自由平抛水柱的水导激光加工只在有限的水注下落高度范围内有效，具体适用范围需进一步研究。