Loewy矩阵与几乎Koszul代数

罗 德 仁，吕 天 星，刘 靓

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006 )

0 引 言

作为Koszul代数的推广，Brenner等在文献[1]中引入了几乎Koszul代数，特别地，他们利用几乎Koszul代数研究了Dynkin型遗传代数的预投射代数和双边Dynkin型遗传代数的平凡扩张代数以及它们的Koszul对偶周期性．近来，郭晋云利用几乎Koszul代数将平移箭图及平移代数与n-几乎可裂序列结合起来，引入了n-平移箭图及n-平移代数，并推广了经典的稳定平移箭图ZQ的构造到高维情形．Loewy矩阵及Loewy维数向量是20世纪末被提出的一个重要概念，文献[2-3]利用Loewy矩阵及Loewy维数向量初步给出了线性模的必要条件，并在此基础上给出了Koszul代数的判别方法和Koszul自入射代数具有有限复杂度的判定条件．文献[4]利用Loewy矩阵及Loewy维数向量讨论了n-平移代数的性质和判定方法，利用Loewy矩阵给出一个分次代数Λ的扭平凡扩张成为n-平移代数的条件．

本文将继续优化前人的工作，利用Loewy矩阵及Loewy维数向量讨论一般的有限维分次代数成为几乎Koszul代数的充分必要条件．

1 预备知识

设k是一个域．域k上的有限维代数Λ称为正分次代数，如果满足下面3个条件：

(1)作为向量空间，有直和分解Λ=Λ0+Λ1+…+Λn；

(2)Λ由Λ1和Λ0生成，即Λi+j=ΛiΛj；

2 Loewy矩阵与线性模

文献[2]利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出了d-线性模的一个必要条件，文献[4]给出了当JnM=0时，M为d-线性模的充分必要条件．本章利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出d-线性模在一般情况下的充分必要条件，从而推广文献[2，4]关于线性模的结论．

其中E为r×r单位矩阵．同时定义Λ的增广Loewy矩阵

Mt=Jt-sM/Jt-s+1M=0

…→Pk+1→Pk→…→P1→P0→M→0

使得当t≤d时，Pt由t+s次生成(此时ΩtM由t+s+1次生成，t=0，1，…，d)．

引理1设M是不含投射直和项的由s次生成的有限维分次Λ-模，则JnΩM=0，Jn+1M=0．

如果M是由s次生成的有限维分次Λ-模，定义M的Loewy维数向量

JnM=0

首先用Loewy矩阵和Loewy维数向量刻画d-线性模，这是对文献[4]中定理3.1的修正和补充．

定理1设M是s次生成的有限维分次Λ-模，则M为d-线性模当且仅当对0≤t≤d，都有

(1)当JnM=0时，ldimΩtM=LtldimM；

证明不失一般性，假设s=0．

必要性当JnM≠0时，P(M)为M的投射盖，此时有0次同态正合列0→ΩM→P(M)→M→0．从而有正合列

0→(ΩM)t→P(M)t→Mt→0；0≤t≤n

充分性反之，设M不为d-线性模，设1≤l

但是M不为l-线性模，从而Pl不是l次生成的，因此半单模Pl/JPl≃ΩlM/JΩlM不集中在l次，因此存在半单模N=Ns1⊕Ns2⊕…⊕Nsm使得

Pl/JPl≃ΩlM/JΩlM=(ΩlM)l+N

当l>1时，上式最后一行为L的第s1-l

ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM

同理，当JnM=0时，ldimΩl+1M≠LldimΩlM=LlldimΩM．

□

令

与定理1的证明类似，可以得到

推论若M和ΩM分别为t次和t+s次生成有限维分次Λ-模，则

3 Loewy矩阵与几乎Koszul代数

文献[2]利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出了分次代数成为Koszul代数的充分必要条件，本章利用Loewy矩阵和模的Loewy维数向量给出分次代数成为几乎Koszul代数的充分必要条件．

一个有限维分次代数Λ=Λ0+Λ1+…+Λn称为(n，q)型几乎Koszul代数(简称为(n，q)-Koszul 代数)，如果Λn≠0，且当t>n时Λt=0；任意0次生成单模S(i)都存在分次极小投射分解

Pq(i)→…→P1(i)→P0(i)→S(i)→0

使得Pt(i)是t次生成的分次投射Λ-模(或者说，任意0次生成单模都是q-线性的)且Ωq+1S(i)=Λn⊗Pq(i)q是集中于n+q次分支的半单模．由(n，q)-Koszul代数的定义可知，当0≤t≤q时，ΩtS(i)和Pt(i)都由t次生成，作为分次左Λ-模，有系列同构

Pq(i)n+q=JnPq(i)=Λn⊗Pq(i)q≃Ωq+1S(i)

r维向量v称为正向量，如果v≠0且分量非负，此时记为v≫0．

命题1设Λ是一个(n，q)-Koszul代数，则

(1)对于非投射单模S(i)，有如下结论：

ldimΩtS(i)=LtldimS(i)；0≤t≤q

263 多配体聚糖结合蛋白 1 过表达增加低密度丙型肝炎病毒颗粒的产生 邓力宾，郭巾旭，马鹏娟，王 刚，龙 钢

ldimΩq+1S(i)=Tn-1LldimΩqS(i)=

Tn-1Lq+1ldimS(i)

ldimΩ(q+1)mS(i)=(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；m≥0

ldimΩ(q+1)m+tS(i)=Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)；

0≤t≤q，m>0

更进一步，若Λ是自入射代数，则上述向量均为正向量．

(2)存在i∈{1，2，…，r}使得对任意的0≤t≤q，LtldimS(i)≫0，Tn-1Lq+1ldimS(i)≫0．而若Λ是自入射代数，则对任意的i∈{1，2，…，r}，0≤t≤q+1，m>0，都有

Lt(Tn-1Lq+1)mldimS(i)≫0

(3)对0≤t≤q，有

Pt(i)≃(P1…Pr0…0)LtldimS(i)[t]，

Pq+1(i)≃(P1…Pr0…0)Tn-1Lq+1×ldimS(i)[n+q]

其中，对于非负整数m，mPj表示m个Pj的直和．

证明(1)第一个结论直接由定理1可得．对于第二个结论

而

故

ldimΩq+1S(i)=

Tn-1LldimΩqS(i)

重复上面的过程，可以得到后两个结论．

(2)由(n，q)-Koszul代数的定义和上面的讨论直接可得．

(3)由(1)的前两个结论及Loewy维数向量的定义直接可得．值得注意的是，如果Λ是自入射代数，则唯一的有限投射维数模为投射模，因此(1)、(2)中所述向量均为正向量．

□

定理2设Λ=Λ0+Λ1+…+Λn(Λn≠0)是一个有限维正分次代数，L=LΛ为其Loewy矩阵，则Λ是一个(n，q)-Koszul代数当且仅当满足下列条件：

(1)对任意的0≤t≤q和1≤i≤r，都有Pt(i)≃(P1…Pr0 … 0)LtldimS(i)[t]；

(2)TTLq+1ldimS(i)=0，1≤i≤r．

证明 必要性(1)由定理1和S(i)为q-线性模直接可得．由于Λ是(n，q)-Koszul代数，则对任意的1≤i≤r有短正合列

0→Λn⊗Pq(i)q→Pq(i)→ΩqS(i)→0

并且有同构

Λn⊗Pq(i)q≃JnPq(i)≃Pq(i)q+n

注意到，ldimPq(i)、ldimΩqS(i)分别为(n+1)r、nr维列向量，从而

从另外一个方面，

则

则

充分性由(1)可知，当t=0，1时，P0(i)是由0次生成且有

P1(i)=(P1…Pr0 … 0)LldimS(i)[1]

可知，ΩM由1次生成并且ldimΩS(i)=LldimS(i)．归纳地可以证明Pt(i)是t次生成的，0≤t≤q．而由引理1可知JnΩqM=0，因此

JnPq(i)/Jn+1Pq(i)=JnPq(i)=

Λn⊗Pq(i)q∈Ωq+1S(i)

□

例1设Λ为由如下箭图给出的界定路代数，关系为〈αγβα，βαγβ，γβαγ〉，单模的分次投射分解为

0→S(2)[4]→P(2)[1]→P(1)→S(1)→0

0→S(3)[4]→P(3)[1]→P(2)→S(2)→0

0→S(1)[4]→P(1)[1]→P(3)→S(3)→0

LΛldimS(1)=(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T

LΛldimS(2)=(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T

LΛldimS(3)=(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T

而

P2(1)=P(2)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 1 0 0 0 1 1 0 0)T[1]

P2(2)=P(3)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(0 0 1 1 0 0 0 1 0)T[1]

P2(3)=P(1)[1]=

(P(1)P(2)P(3)0 0 0 0 0 0)×

(1 0 0 0 1 0 0 0 1)T[1]

4 结 语

几乎Koszul代数和d-线性模的判别与计算是一个比较复杂的工作，本文给出的Loewy矩阵和增广Loewy矩阵能有效地计算几乎Koszul代数．几乎Koszul代数在代数的周期性和分次自入射代数的分类工作中都起到了重要的作用，期望在后续的工作中，能结合Loewy矩阵和相关代数类计算软件GAP给出一些周期代数的刻画．