教学能力大赛背景下的函数单调性的教学模式新探究

邓学明

一、教学能力大赛背景

随着信息化的发展，教学能力大赛对于中高职院校的教师提出了许多新要求，如何突破传统教学的束缚，结合新时期的教学手段和平台，特别是疫情之后的线上教育的发展，让职业教育教学达到新的高度是教学能力大赛的一大目标。

笔者作为负责人组建了四人教学团队，根据团队成员特点，按照教学能力比赛的要求，从东莞市的2020年市赛到广东省省赛，再到广东省的国赛遴选赛，一步一步进行教学设计调整，最终取得了东莞市的市赛二等奖、广东省省赛一等奖并以数学类的第一名进入遴选赛。在此基础上，笔者对参赛作品中的函数单调性进行教学探究，探讨中职数学教学改革的一个可借鉴思路。

二、中职数学的教学改革背景

结合国家对于职业教育的发展规划，顺应时代信息化、智能化的发展，中职数学的教改已进入了比较活跃的状态，大批教师开始采用新的手段、新的模式进行教学探索。笔者作为其中的一员，以2020年教学能力大赛为契机，结合函数单调性的教学进行实践探究。

三、函数单调性的教学

（一）课时1课前

教师制定了认识曲线在生活中的应用这一知识目标。为达成这一目标，教师通过布置网上搜集曲线在生活中的应用实例，并将搜集到的曲线上传到雨课堂平台，要求学生对于所搜集曲线的含义进行阐述这一课前任务。同时，教师在希沃白板中上传自制的曲线应用的微课，要求学生观看学习并发表学习感想。

为了引入新知，教师通过设置两个导学任务，让学生在导学稿上完成如下练习——练习1：某公司采购一批原材料，固定成本为1千元，该材料每吨2千元，那么购买x吨所需的费用y与x之间的关系式是什么？练习2：某公司有一批资产，初始价值为12万元，每年折旧贬值1万元，那么x（不超过12）年后该资产的价值y与x的关系式如何？

课前微课实现抽象知识生活化、具体化，激发学生学习兴趣。导学稿能够让学生对于函数的表示法进行复习，同时引出新知识。整个课前任务既能培养学生自主学习的能力，又能培养学生搜集素材的能力。教师利用智能平台掌握学生的课前学习情况以及任务完成度，从而有针对性地调整课中教学。

（二）课时1课中

为实现函数单调性概念和性质的教学，达到90%的学生掌握什么是单调性、如何根据图象观察单调性并正确地指出单调区间，教师在教学过程中实施以下五个步骤的教学。

1.感悟分享，新知引入

教师通过平台反馈学生搜集的曲线，并抽号邀请学生分享自己搜集的曲线案例。紧接着，教师重新播放曲线在生活中的应用微课并要求学生谈谈观看感悟。这一环节，通过分享学生自身搜集的曲线案例，提升其语言表达能力以及职业素养。微课重温以及感悟分享，让学生加深对曲线的起伏变化意义的理解。

2.实例探究，初感新知

教师要求学生互评前置练习中大家完成的两个函数关系式——y=2x+1（x>0）和y=12-x（0≤x≤12）;发现多数学生容易忽略自变量x的取值范围，针对这一问题，教师邀请掌握较好的学生进行解释以纠正学生容易忽略的知识点。进一步，教师要求学生小组合作，利用列表法在导学稿上绘制上述两个函数的图象，并拍照上传至易课堂平台。然后提问：观察两个函数图象，最大的差别是什么？多数学生容易发现，这两个函数的函数图象一个是上升，一个是下降。在此基础上，教师引出新知：本节课要学习的就是图象具有类似这样的上升或者下降趋势的函数性质——单调性。函数图象从左至右呈上升趋势的函数叫做单调递增函数;函数图象从左至右呈下降趋势的函数叫做单调递减函数。

这一环节发挥了线下课堂的优势，让学生动手绘制函数图象，从而更直观感受图象的差别。也利用了线上优势，将所绘制的图象上传至易课堂平台，方便教师掌握学生的学习情况。通过具体实例引出新知，让学生对所学知识有初步感知。

3.深度挖掘，归纳定义

教师引导学生分别观察课前练习1和2中的表格数据，找出其自变量的变化趋势以及对应的函数值的变化趋势。通过探究表格中数据的变化，得出增减函数中自变量与函数值的变化规律。

在教师引导下，学生尝试用数学语言来描述所找到的变化规律，得出单调性的本质。然后将变化规律转化为数学符号，引出增函数（增区间）的数学定义，同时类比得到减函数（减区间）的数学定义。这一探究活动的设置，让学生逐步提升数学归纳和数学抽象的能力。

4.例题探究，层层推进

在得出单调性图象性质、数学定义以及本质规律后，教师及时设置如下例题，帮助学生内化所学知识。

例题1：根据图象找出函数的单调区间。

例题1的设置培养学生的直观想象，并借此分析出端点不影响单调性，学生掌握并理解有限区间上定义的函数如何描述其单调性。

例题2：利用绘图软件绘制函数y=-2/x的图象，并判断其单调性、指出单调区间。这道題设置从两个方面培养学生：一方面，超级计算器的使用让学生体会利用信息技术平台解决数学问题，培养其职业素养;另一方面，体会无限区间上的函数描述其单调性时需要注意的不同点。

例题3：观看抗疫时间线视频。通过观看抗疫战线的视频，有助于学生理解生活中曲线单调性的真实含义，也无形中再次向学生展示祖国抗疫的历程，增强爱国教育，体现思政进课堂的思政要求。而课程融入思政正是职业教育课改需要走的一个方向，这也是本节课的一个亮点特色。

（三）课时2课中

在课时1的基础上，为了实现90%以上的学生能够深度理解函数单调性的定义，并能够利用定义判定单调性这一教学目标，教师实施以下五个步骤的教学。

1.微课复习，创设情境

回顾函数单调性的性质及其定义，微课重温分享单调性概念，为单调性的进一步应用做好铺垫。在此基础上创设矛盾：没有图象的情况下如何判断单调性？以此激发学生探究欲望，调动学生参与学习，从而引入新课。

2.概念剖析，按部就班

活动一：剖析自变量。

小组合作讨论，判断函数y=x²-x的单调性的如下方法是否正确：

∵y=x²=x²-x的定义域为R，并且-1，3∈R，又因为-1<3，且.f（-1）=（-1）²-（-1）=2，f（3）=3²-3=6，∴f（-1）

在这个活动中，学生很容易分析得出，该函数图象是开口向上的一条抛物线，那么它不可能一直都是上升的图象，故而说它是R上的增函数这一结论是错的。在此基础上，教师提问错在什么地方，提示学生用单调性的定义去套，那么学生不难得出我们需要的自变量是任意取的两个自变量x₁和x₂，而非两个具体的自变量-1和3，进而总结出定义中的“任取两个自变量”的重要性和必要性。

活动二：剖析函数值。

部分学生在计算自变量为具体实数时能够准确算出对应的函数值，当自变量为其他抽象的符号如x₁和x₂时，计算对应的函数值存在困难。为此教师设置活动：

已知函数f（x）=x²+2x，计算函数值f（1），f（-1），f（a），f（x₁）f（x₂）。

为了检测学生的掌握情况，教师通过易课堂平台发布练习，学生通过计算得到相应的结果后，利用智能平台作答。

本活动中的函数值的计算算式中，自变量从易到难，从具体到抽象，让学生在完成的过程中能够逐步寻觅到规律进而掌握相应的计算方法，从平台反馈数据来看，90%以上的学生能够全部正确。只有少数学生存在错误。

活动三：剖析比较大小。

在函数单调性定义中，最为困难的一步是如何比较f（x₁）和f（x₂）的大小。为此教师设置本活动：当a>b>0时，比较a²b和ab²的大小。

这一活动难度较大，为此教师发挥小组合作讨论的优势，让学生互助，从作差、变形、分解，利用已知条件判断符号进而得出大小。完成之后学生利用平板作答器拍照上传到易课堂平台。最后，教师随机抽取一位学生的答案进行点评，并板书整个解答过程。

这一活动充分发挥线上和线下的优势，线上调动学生积极性和主动性，线下充分克服学生理解时存在的数学抽象困难以及解题规范性缺乏的弱点，从而做到让学生真正掌握作差法比较大小，为后续单调性定义的应用做好铺垫。

3.实例展示，规范格式

教师展示例题：利用函数单调性的定义判断下列函数的单调性。

（1）y=3_x-1;（2）y=-x²+2（x>0）。

本模块为本节课的教学重点，教师在黑板上板书第1小题，根据定义法如何规范地完成整个判断过程，在完成的过程中及时提问，让学生参与思考，从而实现知识的内化。在学生对于第1小题有了较为深刻的认识后，接下来利用线上优势，教师通过微课视频展示第2小题，从而提升整个课堂效率。

本环节目的主要是让学生体会在具体实例中，如何应用所学的知识进行单调性的判定，并且形成规范化的解题步骤。在这一过程中，对于学生形成严谨的数学思维具有重大帮助，学生的数值计算、类比归纳和逻辑分析的学科核心素养也得到提升，实现了教学重点。

4.分组训练，分组点评

这一模块是检验学生的学习成果，为此，教师发布两个课堂练习：利用定义法判断下列两个函数的单调性。

（1）y=-2x+1;

（2）y=x²+3（x>0）。

这两个练习与例题的类型相同，只需要学生做简单的知识迁移即可完成。为此教师分组前面两组完成小题（1），后面两组完成小题（2），完成后，所有学生将答案上传至易课堂平台，然后分别抽取一组派一位同学上台展示过程，另外一组派代表进行点评分析。

在这样的设置环节下，学生的积极性得到调动，同时学生在这样的学习氛围中更容易集中思考，良好地应用所学知识，模仿例题完成练习，达到真正掌握本节课的教学重点这一目的。在这一过程中，学生在团队合作、自我展示、言语表达等职业素养方面得到进步。

5.课堂总结，知识回顾

在课堂的最后，教师利用思维导图理顺单调性的知识结构，升华所学知识。

（四）课时2课后

课堂结束后，教师布置如下活动：离开教室之前，打扫好自己课桌椅周围的卫生，将平板电脑按照号码归位并充电;录制复习微课推送至平台;布置线上作业;发布调查问卷，进行教学调查;汇总学习数据，进行教学评价。

四、学习效果与总结

（一）学习效果

通过数据分析，得出结论：85%的学生理解函数单调性的本质规律和数学概念;90%的学生理解了函数单调性的图象几何性质;90%的学生会利用图象判断单调性并识别单调区间。100%的学生会利用工具绘制函數图象;90%的学生在数学核心素养方面得到进步和提升;85%的学生在团队合作、爱国教育方面得到进步。

（二）总结

为了实现函数单调性的教学，教师以符合教学规律，重视学生探究的理念进行教学设计、实施教学。课前：充分利用雨课堂、希沃白板等教学平台实现微课和课前练习以及任务的推送。课中，以和会计专业结合的材料成本和资产折旧的实例促使学生自主探究，引导学生团队合作，逐步实现单调性的图象性质、本质规律以及数学概念的教学，实现教学重点;先剖析定义再总结步骤，将抽象的难点逐步分解容易掌握的小点，实现利用定义法判定单调性，突破教学难点。为了实现教学效果的优化，教师采用多手段，包括导学稿、数学工具、信息化平台以及教学调查问卷进行混合式教学。