基于S型效用函数的区间灰数多属性群体决策方法
2021-07-28郝慧慧朱涵钰
郝慧慧， 朱涵钰
(华北水利水电大学 管理与经济学院，河南 郑州 450046)
多属性决策是指对多个有限决策方案进行排序择优，广泛应用于经济管理的各个领域[1]。目前，关于属性值为区间灰数的多属性决策问题的研究取得了丰富进展。谢乃明等[2]通过分析灰数排序针对连续型灰数和区间型灰数给出了排序规则。王俊杰等[3]通过构建两个区间灰数的可能度函数，求得两个区间灰数可能度大小的排序。刘中侠等[4]通过计算综合关联相对贴近度，给出了区间灰数备选方案的优劣排序。崔杰等[5]针对属性值为区间灰数的多指标决策提出了灰色多阶段决策方法。
在实际决策中，决策者对备选方案进行评价时往往受到自身心理的影响，产生非理性因素。当决策者财富较多时，决策者相对保守，此时多为风险规避者；当决策者财富较少时，往往“破罐子破摔”，此时多为风险偏好者[6]。针对这类问题，KAHNEMAN D等[7]将前景理论的幂函数形式引入效用函数中，并采用双曲绝对风险规避函数作为模型参数，得到S型效用函数的一般形式，用于分析多属性决策问题。针对多属性决策问题中考虑决策者心理行为的研究方面，王霞[8]提出了基于前景理论的动态多属性决策问题。ZHAO M等[9]提出了个体一致性多阶段决策分析方法。谭敏等[10]提出了基于矢量相似度的语言型多属性决策方法。高建伟等[11]将S型效用函数用于分析属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题。
以上多属性决策虽然考虑了决策过程中属性值为区间灰数以及决策者心理行为的问题，但在实际决策过程中决策者受个人、社会等经济条件的限制，对于不同的风险具有不同的偏好程度，应充分利用决策人员的知识经验提供更加完备的信息，对备选方案进行择优选择。因此，在群决策过程中充分考虑决策者的心理行为，属性值为区间灰数的多属性群决策是值得研究的内容。多属性群决策是指在多个属性的情况下，依据多个决策者的态度，对备选方案进行排序选择[12]。针对多属性群体决策问题，罗党等[13]通过考虑决策者心理行为，提出了一种灰色多属性群决策方法。任嵘嵘等[14]和赵萌等[15]根据概率型语言集提出了概率模糊语言多属性群体决策方法；采用愿景满意度函数解决了属性值为定性与定量相结合的多属性群决策问题。王伟明等[16]根据决策者评价信息不一致的情况，提出了混合信息下的多属性大规模群体决策方法。
鉴于此，本文对区间灰数多属性群体决策问题进行研究，结合区间灰数均值白化思想，通过引入双曲绝对风险规避函数，构造S型效用函数的一般形式，进而得到效用矩阵。针对群决策过程中决策者权重问题，根据极大熵准则和群体意见一致性原则构建权重优化模型。最后，结合区间灰数白化函数、效用函数、权重优化模型给出基于S型效用函数的区间灰数多属性群体决策方法，并通过案例分析验证模型的有效性。
1 预备知识
1.1 区间灰数
定义2设区间灰数a(⊗)和b(⊗)，则有
1.2 S型效用函数
1.2.1 双曲绝对风险规避函数
双曲绝对风险规避函数主要用来刻画决策者的心理特征，包括指数效用、对数效用、幂效用等多种类型，其效用框架具有一般形式[20]。具体形式如公式
(1)
所示[21-22]，其中φ>0,η>0,γ∈(-∞,0)∪(0,1)。
根据参数的取值不同，双曲绝对风险规避函数主要分为以下3种形式：
3)当η=γ=0且φ=1时，双曲绝对风险规避效用函数为对数效用函数形式u(x)=lnx。
为了描述决策者的风险规避程度，PRATT J[23]用公式RA=-u″(x)/u′(x)表示决策者的绝对风险规避系数。在决策中，随着RA不断变化，决策者对于风险的态度也随之发生改变。当RA增加时，决策者对于风险的态度变为严谨，决策者对于风险的规避程度不断增加，此时决策者会选择相对保守的方案。因此，在多属性群决策分析过程中应利用绝对风险规避系数提供参考。
1.2.2 S型效用函数
S型效用函数是指在不同的财富水平上，函数曲线展现不同的形式。如在某一财富水平之上，效用函数表现为凹函数；在某一财富水平之下，效用函数表现为凸函数，图像如图1所示。在行为金融学中用S型效用函数去刻画决策者的主观风险态度[24]，认为决策者在财富较多时为风险规避者，在财富较少时为风险偏好者。在参考点b以上的部分获利区间下凹，此时决策者拥有较多财富选择风险规避，即不愿冒险。在参考点b以下的部分损失区间下凸，此时决策者面临较多损失，愿意承担更多风险挽回损失。
图1 S型效用函数Fig.1 S-type utility function
前景理论[11]中的价值函数为典型的S型效用函数，定义为
(2)
其中，v(x)为价值函数；b为参考点，当x高于b时，视为相对收益；当x低于b时，视为相对损失；0<α,β<1为风险态度系数；θ为损失规避系数，随着θ的增加，决策者对损失的敏感程度增加。前景理论中的价值函数主要有以下4条基本性质：①v(x)为严格递增函数；②当x 作为前景理论的基本假设之一，前景价值函数中的S型效用函数为幂效用函数形式，可视为S型效用函数的一个特例。由于双曲绝对风险规避函数可以通过选取不同参数值来包含多种效用函数形式，故将其引入S型效用函数中，结合式(1)，得到S型效用函数的一般情形为 (3) 其中Δx=x-b，当x>b时，Δx>0表示相对收益；当x 1.3 决策者权重的确定 (4) (5) 由决策者群体一致性原理和极大熵准则得优化模型M[25]， (6) 定理1由二次线性规划问题求解可知上述模型存在最优解。 证明略。 2.1 问题描述 2.2 决策步骤 针对属性值为区间灰数的多属性群决策问题，基于S型效用函数，提出了区间灰数多属性群体决策方法，步骤如下： 步骤1确定实数矩阵(Sij)m×n。根据实际问题确定各备选方案的属性值，得到区间灰数矩阵(Aij)m×n，采用均值白化消除量纲，得到的是实数矩阵(Sij)m×n。 步骤2确定效用矩阵(Uij)m×n。基于有限理性假设，采用式(3)计算各属性的效用值，得到效用矩阵(Uij)m×n。 3.1 建设项目的风险评估 受社会、经济、自然等多种因素的影响，风险因素贯穿于建筑项目建设的整个过程中，因此在项目进行周期内进行风险评估能够确保项目目标得到实现。为应对小型项目的风险评估,选取3名专家对4个小尺度对象进行评估。这些小尺度的对象具有不同的设计、建造、施工技术、面积、楼层数，分布在维尔纽斯的不同地区。利用2.2节计算步骤对文献[26]建立基于S型效用函数的区间灰数多属性群体决策方法用以评估建设项目的风险大小。 步骤1计算小型项目的规范化数据得到实数矩阵(Sij)m×n。 步骤2利用式(3)，选取参数φ1=φ2=5,η1=η2=2,γ1=γ2=0.3,θ=1.5,b为各属性的均值，得到效用矩阵 步骤3考虑决策者意见，利用极大熵原理和群体一致性准则求得决策者的权重向量集。这里取μ=0.5，表示决策者对于两个目标函数的偏好一致，得到模型M min 0.5[2.081 963(ω1-0.33)2+1.390 418(ω2-0.33)2+ 1.321 498(ω3-0.33)2]+ 0.5(ω1lnω1+ω2lnω2+ω3lnω3) 使用运筹学软件lingo11.0求得群体决策的权重向量为W*=(0.332 9,0.333 5,0.333 6)。 步骤4计算各备选项目的综合效用值为u1=0.220,u2=0.102,u3=0.205,u4=0.112。得到4个项目的排序结果为project1>project3>project4>project2。运用本文的方法得到的结果与文献[22]相同，说明本文方法的有效性。 3.2 同已有方法比较分析 利用TOPSIS方法[26]，COPRAS-G方法[26]，VIKOR方法[27]，MOORA方法[28]对建设项目的风险评估进行计算排序，通过求解得到排序结果如表1所示。 表1 多方法比较结果Tab.1 Multiple method comparison results 本文提出的基于S型效用函数的区间灰数多属性群体决策方法在分析建设项目的风险评估实例中，结果与多种方法一致，证明了本文方法的有效性。 干旱在全球范围内频繁发生，造成了严重的经济、社会危机，也是中国重大自然灾害之一[29-31]。河南省作为我国的粮食大省，人口稠密，同时受湿润、半湿润气候的影响，形成干旱灾害，对社会、经济生活产生严重影响。随着社会、经济的发展，人口的迁移，旱灾发生的频度和成灾面积呈现增加的态势，对粮食安全产生了重大影响。如何采用科学的方法对历史数据进行分析，辨析旱灾的影响程度，以期在旱灾发生时能够采取有效措施降低经济损失，是干旱风险防御研究的主要问题，更是自然灾害防治的方向所在。 本文通过选取3次有代表性的旱年作为专家系统进行分析，选取依据是干旱持续时间长，受灾范围广，影响程度大。专家1为1959—1961年连续大旱；专家2为1965—1966年连续大旱；专家3为1985—1988年连续大旱分析河南省10个地市的灾害影响程度，选择属性值为受灾面积和成灾面积，数据来源于文献[32]。 步骤1计算河南省受灾影响程度的规范化数据得到实数矩阵(Sij)m×n。 步骤2利用式(3)，选取参数φ1=φ2=5,η1=η2=2,γ1=γ2=0.3,θ=1.5,b为各属性的均值，得到效用矩阵 步骤3考虑决策者意见，利用极大熵原理和群体一致性准则求得决策者的权重向量集。这里取μ=0.5，表示决策者对于两个目标函数的偏好一致，得到模型M min 0.5[3.296(ω1-0.33)2+2.684(ω2-0.33)2+3.22(ω3-0.33)2]+ 0.5(ω1lnω1+ω2lnω2+ω3lnω3)， 步骤4计算各地市的综合效用值如表2所示。 表2 河南省各地市综合效用值Tab.2 Comprehensive utility value of each city in Henan Province 由表2可知，河南省10地市的综合效用值从大到小依次为：周口、驻马店、南阳、安阳、许昌、洛阳、信阳、新乡、开封、商丘。该效用值表明，在干旱发生的时候，周口、驻马店、南阳最易受到干旱灾害的影响，出现大面积的干旱情况。并且由成灾面积可知，周口、驻马店、安阳占河南省总成灾面积的40.02%。由此可知，3地市在干旱发生时最易形成农业旱灾，造成农业经济损失。因此对于周口、驻马店、安阳3地市针对灌溉农业应增加引渠灌溉能力，增建机井数目，扩大水渠灌溉面积。同时加强培养农户的干旱灾害意识，做好灾前防控工作。结合数据以及实际可知，河南省各地易发生干旱，严重地区会形成旱灾，政府部门应做好水利基建工作，增加资源投入，对干旱进行预报预警，以减轻旱灾损失。 本文针对属性值为区间灰数的多属性群体决策问题，基于S型效用函数，提出了区间灰数多属性群体决策方法。该方法充分利用S型效用函数中决策者在不同财富水平下属性偏好不同，确定效用函数，并得到各备选方案的综合效用值，对效用值进行排序选择最优方案。最后，应用该方法分析小型工程项目的风险评估和河南省各地市的受灾影响情况，结果表明本方法的可行性。并通过与TOPSIS方法，COPRAS-G方法，VIKOR方法，MOORA方法进行比较，进一步说明本方法的可行性。在实际决策过程中针对区间灰数多属性群体决策问题更易操作，为解决群体决策问题提出了新的解决思路。
2 决策方法
3 实例分析
3.3 河南省受灾影响程度分析
4 结论
