点簧簧片振动特性数值分析*

2021-07-27朱广平赵宿辰

应用声学 2021年3期

朱广平王成门伟赵宿辰

(哈尔滨工程大学水声工程学院哈尔滨 150001)

0 引言

笙是中国传统民间乐器，在中国古代乐器家族中占有重要的一席之地。不仅如此，17世纪笙等簧管乐器传入欧洲，为西方音乐家、乐器制造家改进簧管类乐器，尤其是对簧管乐器的关键部件--簧片的改进起到了积极的作用，从而为创制、改进风琴、口琴等新的簧管乐器做出了重要贡献[1]。笙的音高除与管长有关外[2]，还主要与簧片尺寸、厚度以及点簧技术有关。中国古人早期制作簧片常采用芦苇或竹片，由于此类材料耐用性差，后期主要采用铜等其他金属材料制作簧片，如汉代马王堆出土的多枚两千多年前的金属簧片至今保存完好[3]。古代金属簧片的制作技艺之高，还体现在对簧片的点簧(又作典簧、点绿)技术上。点簧就是在簧片某些位置上或多或少的点蜡或锡，以便调整其音高。从曾侯乙墓出土的战国初年的笙来看，古人通过实践已经掌握了娴熟的点簧技术，虽然他们并未清楚其中的物理原理[1]。簧片的基频，即第一阶固有频率，决定簧片振动发声的音高，而各阶共振频率决定其音色。因此簧片的点簧工艺中，点簧的位置及质量的大小等因素对簧片的固有频率有重要影响，这也是中国传统乐器制作家通过大量实践沉淀得到的关键技艺[4]。然而遗憾的是，到目前为止，点簧过程是精通制笙匠人通过大量的实践经验进行调整，极少专门的定量分析点簧簧片振动问题。因此，研究点簧簧片振动规律对科学认识及制作、复原笙等中国传统簧管类乐器具有实际意义。

一般地，簧片近似瘦长的楔形，厚度远小于其长度，其截面面积沿长度方向变小。簧片的振动可近似为非均匀截面的悬臂梁振动问题[5]。对于非均匀梁的振动问题一直以来都受到了广泛关注[6-8]。当考虑到经过点簧处理后，簧片的质量存在突变，需要将点簧后的金属簧片建模为具有质量负载的非均匀梁振动模型。此模型类似在桥梁动力学中具有质量负载的非均匀梁振动模型，对此闫维明等[9]基于Bernoulli-Euler 梁理论建立了带任意附加质量的变截面弹性支承梁动力特性的简化计算模型，该模型能够将梁的变系数微分方程转化为线性代数方程组的形式，进而求得解析解。然而，从数学的角度看，非均匀截面梁的振动通常为复杂的变系数微分方程形式，其中仅有个别结构是可以获得振动方程的解析解形式，而绝大部分情况均是无法获得其精确的解析解，因此计算中常采用数值解法[10-11]。近年来工业中对功率超声源簧片[12]的振动问题，采用有限元分析方法[13-14]进行数值分析，这对精确定量分析传统簧管类乐器的点簧簧片的振动问题也具有借鉴意义。

本文针对非均匀截面的点簧金属簧片振动问题开展研究，对其建立非均匀截面并具有质量负载的振动模型。由于该模型的非均匀性，难以获得解析解形式，为了精确定量分析，采用有限元方法对模型进行数值求解，通过算例定量分析点簧位置及质量、边界条件对簧片振动特性的影响，揭示点簧簧片振动规律，为制作、复原中国传统簧管类乐器提供物理依据。

1 点簧金属簧片的振动方程及边界条件

1.1 振动方程

对实际模型进行抽象：(1)由于簧片形状较为狭长，点簧区域尺度相较于簧片宽度相近而相较于簧片长度方向很小，因此点簧物质可抽象为簧片上的集中质量负载；(2)考虑到金属簧片厚度相对于长度很薄，由振动理论可知，波长远大于厚度，且截面面积沿长度方向变化，因此，采用集中质量负载的变截面Bernoulli-Euler 梁模型描述点簧金属簧片的振动。振动方程为

式(1)中，E为杨氏模量，I(x)是沿着x轴变化的转动惯量，δ(x)为狄拉克函数，m0δ(x-x0)表示在x0位置有一集中质量，A(x)为梁在x位置的横截面积，ρ为密度。

设方程解的形式为η(x，t)=u(x)T(t)，分离变量得

式(3)中，ω2为该方程的固有角频率。

一般的典型簧片呈狭长的楔形。因此，设簧片宽度沿长度(x方向)的变化为

其中，b0是初始宽度，γ是斜边的变化斜率。簧片截面是矩形，所以式(3)中A(x)=h·b(x)，h为簧片的厚度。

u为垂直梁的中性面方向上的位移，y为梁厚度方向的坐标。非均匀截面上力矩和转动惯量分别为

该方程为变系数微分方程，除I(x)、A(x)为几种比较特殊的函数形式外，方程的解很难得到解析解形式。因此，下面采用有限元方法对上述振动方程描述的有质量加载的变截面点簧金属簧片的振动模型，通过算例求解并分析其固有频率随点簧位置、点簧质量以及不同边界条件下的变化规律。

1.2 边界条件

簧片一般固定在簧管端口，理想情况下可认为簧片一端固定不动，另一端自由，其边界条件为

然而，在实际中使用的材料并非能做到严格固定，因此不能当作固定不动边界，而应近似认为是弹簧支撑边界，其边界条件为

其中，kp和kθ为刚度系数。

将簧片上的点簧质量看作为质量负载条件，其对簧片的力和力矩作用可描述为

其中，αdm为损耗系数，m0为点簧质量。由于点簧质量相对于整个狭长簧片只占很小一段，可以看作集中质量负载，此时力矩可为0；当不考虑质量负载与金属簧片之间的能量损耗时，点簧质量负载可简化为F=-mω2u，M=0。

2 点簧簧片振动固有频率计算

采用有限元方法建立非均匀截面点簧簧片振动模型并求解其固有频率方程。将簧片离散化，在单元上位移可由形函数及节点位移近似u=NU，其中N为形函数向量，U为单元节点位移向量，速度为为单元节点速度向量。

采用拉格朗日方程进行单元分析，整合所有单元后建立点簧簧片的运动方程组，从而得到其固有方程进而计算固有频率。簧片较小较薄不计损耗，认为是无损耗的自由振动，拉格朗日方程为

其中，T为动能，Λ为势能，˙u为速度。

梁单元的动能为

其中，A(x)=h·b(x)。

将各个单元的刚度矩阵和质量矩阵整合并带入到拉格朗日方程中，并考虑到簧片上点簧的集中质量负载，得到整个簧片的运动方程：

从而得到特征方程为

由于λ=ω2，进而可求解出各阶固有角频率ωi(i=1，2，3，···)。

3 算例分析

3.1 点簧对簧片振动基频和谐频的影响

古人常采用熟铜作为金属簧片的材料，因此算例中取杨氏模量E= 1110Pa，密度ρ=8700 kg/m3。算例中取簧片长23.5 mm，宽度变化曲线为7.5-0.016x，x为长度坐标，厚0.7 mm，点簧质量0.2 g，点簧位置在簧片的自由端。计算前6阶固有频率如表1所示，并与未点簧的簧片进行了对比。

表1 点簧与未点簧簧片固有频率对比Table 1 The natural frequency of the reed has an added mass versus no added mass(单位：Hz)

由表1可知，点簧簧片的各阶固有频率均小于未点簧簧片，并且随着阶数的增加，频率差从几赫兹变化到上百赫兹，两者之间的频率差距越发显著。可见点簧后降低了簧片的基频，尤其对簧片高阶谐频的影响更加显著。由此可知，若与管腔声耦合后，点簧工艺的差异、优劣将对管乐器的音高、音色、音质产生重要影响。

3.2 点簧位置及质量的影响

簧片的基频(第1阶固有频率)决定簧片振动发声的音高，而各阶共振频率影响其音色。而点簧的位置及质量的大小等因素对簧片的固有频率有重要的决定性作用，影响整个乐器品质的优劣。下面通过算例来定量分析点簧位置及质量对簧片的振动特性的影响。

算例中簧片的几何形状与尺寸同3.1 节中的模型，通过改变点簧位置及质量大小计算各阶固有频率，改变点簧位置从簧片的固定端(0 mm)到自由端(23.5 mm)，其步长1 mm；改变点簧质量，范围从0.05～0.3 g，步长0.01 g。计算结果如图1～图5所示。

图1为在不同点簧质量及位置下计算得到的第1 阶固有频率。伪彩图中的色彩对应计算得到的频率值。由图1可知，高频区在左下角而低频区在右上角，其含义为点簧质量越轻或位置越靠近固定端，簧片的振动基频越高。相反的，点簧质量越重或位置越靠近自由端则簧片的振动基频越低。

图2为不同点簧质量时的第1 阶固有频率随点簧位置变化的计算结果，其更清晰地反映出图1中的变化规律。比较图2中各曲线可知，当点簧质量较大时可调整基频的范围较大。因此，在需要较大调整簧片基频的场合，建议采用密度较大的材料作为点簧材料，通过选择合适的点簧位置，从而方便达到调音目的。

图1 不同点簧质量和位置下的第1 阶频率Fig.1 The first frequency under different mass and position case

图2 不同点簧质量的第1 阶频率随点簧位置变化Fig.2 The first frequency of the different mass at varies with the position

为了认识不同位置处点簧质量对基频的影响，计算不同位置处点簧第1 阶频率随点簧质量变化，结果如图3所示。图中位置1、位置2 和位置3 分别对应自由端、距自由端1/4和1/2处。由图3可知，在同一位置处频率随点簧质量近似为线性关系，并且点簧位置越靠近自由端其斜率越大。因此在靠近自由端对簧片进行点簧不但可调频率范围大，而且可以通过点簧质量与频率简单的线性关系进行调整，使得调整频率更加方便。

图3 不同位置处点簧第1 阶频率随点簧质量变化Fig.3 The first frequency of the different position at varies with the mass

下面分析点簧对高阶谐频的影响，它对乐器的音色有重要影响。计算中的簧片模型与上例同，计算得到第2 阶和第3 阶的固有频率随点簧位置和质量的变化结果。图4、图5与图1中的基频相比，高阶谐频的变化具备两个显著特点：一是谐频随点簧位置和质量的变化呈现类周期性的变化规律；二是簧片在高阶振动时会出现节点，即在该点处振动位移为零静止不动，当点簧到该位置时对该阶谐频无影响。由此可见，当点簧调整基频频率时，也需兼顾其高阶谐频的变化，否则可能会导致整个乐器音色的变化。因此，在点簧过程中对点簧质量和位置可进行优化或采用多处点簧得方法，从而使乐器簧片达到最佳的声音效果。

图4 不同点簧质量和位置下的第2 阶频率Fig.4 The second frequency under different mass and position case

图5 不同点簧质量和位置下的第3 阶频率Fig.5 The third frequency under different mass and position

进一步计算了不同点簧质量和位置下的第4阶到第9阶的频率结果，如图6所示。其特点与第2、第3 阶频率相似，谐频随点簧位置和质量的变化呈现类周期性的变化规律，并且随着阶数的增加振动节点增多。

图6 不同点簧质量和位置下的第4 阶到第9 阶频率Fig.6 The 4th to 9th frequency under different mass and position case

由振动理论可知，对于某阶振动模式若增加等效质量，将导致其等效机械品质因数变大，其振幅值变大。然而，由于点簧物质质量相比于簧片很小，当点簧位置处于簧片某阶模式的节点位置时，将不会改变该阶模式的等效质量，因此不会改变其幅值。因此，当点簧调整簧片的频率时，只需合理选择点簧位置，例如将点簧位置选择在某阶模式的节点附近，即可不会增强该阶频率的振动强度，起到间接的抑制作用。

3.3 不同边界条件下点簧簧片振动特性

古乐器在固定簧片时，采用插入凹槽并用细绳固定的方法，在实际中具有一定的柔性，并非能达到理想固定情况，因此实际中的边界条件应是具有一定刚度系数的弹性的边界条件。由振动理论可知，边界条件的改变对点簧簧片的振动特性也有显著的影响，因此有必要了解其对簧片振动特性的作用，从而为实际的簧片调音提供理论依据。

下面算例模型与3.1 节相同，但边界条件变为弹性边界条件，并与刚性边界条件的计算结果进行了对比，计算结果如图7所示，其中k1、k2是式(8)中的刚度系数kp和kθ。由图7可知，与固定边界这种理想情况相比，弹性边界时簧片固有频率降低，并且随着弹性系数减小固有频率将变得更低。可见，固定簧片的材料与方式会影响点簧簧片的固有频率，固定材料和方式柔性越大越降低其固有频率。此外，对已固定好的簧片进行点簧工艺时，应当根据簧片的固定方式及松紧程度，点簧位置应尽量向固定端靠近，才能达到预期频率调整的目的，例如在本算例中要将簧片调整到236.9 Hz 振动频率，理想边界条件时点簧在簧片14.9 mm，而弹性边界时为13.1 mm和6.2 mm。

图7 不同边界条件下点簧簧片的基频Fig.7 The fundamental frequency of metallic reed with mass under different boundary conditions

3.4 不同斜率簧片振动特性及点簧的影响

簧片近似为瘦长楔形，不同斜率的簧片点簧后的影响也不相同。在这里通过算例进一步了解不同斜率簧片对点簧后固有振动的特点。算例模型同3.1 节，改变式(4)中的斜率γ，计算得到不同斜率下的点簧簧片的基频，如图8所示。由图8可知，斜率变大，即簧片削尖后固有频率有所提高，但是固有频率随点簧位置变化的曲线趋势基本相同，由此可见，即便是在不同斜率簧片上点簧，通过改变点簧位置调整频率的规律是基本一致的，也就是说虽然形状斜率不同但是调整点簧位置改变频率的规律基本不变，即3.2节中的规律仍然是适用的。