《有序数对》的教学思考

广东韶关学院数学与统计学院 (512005) 官运和

初中的一些教研活动或教学技能比赛中，经常会选择《有序数对》这一内容，公开发表有关《有序数对》教学设计的论文也不少，足以说明《有序数对》具有丰富素材.在初中数学教学《有序数对》的过程中，经常出现一些现象：把握学生的认知基础不到位，把握教材不够全面，知识理解不透，设定教学目标不准确，揭示数学思想方法不理想，讲解“有序”的有效性出现偏差，过度练习时有发生，等等.

一、教学案例

从七年级下学期《有序数对》的实际课堂教学与一些公开发表的论文介绍的关于《有序数对》的教学设计来看，不少老师是这样设计或者类似这样设计：

环节一：激趣引新.(1)小林的座位在第一列，你能找到他的座位吗？(2)小林的座位在第三行，你能找到他的座位吗？(3)小林的座位在第一列、第三行，你能找到他的座位吗？(4)你认为需要几个数据能确定一个位置？

如图1，同学A的座位在第一列、第三行，他的座位记为数对(1,3)，即规定列数写在前，行数写在后，请用数对表示同学B、C、D、E的位置.

图1

环节二：探究新知.请座位是(4,3)的同学举手，结果有二个同学举手，为什么？因为没有说前面的4是行数还是列数.从而强调有序数对是有序的二个数.得到定义：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b).

环节三：知识巩固.(1)如图2，实验楼的位置用有序数对(1,5)表示，请用有序数对表示花坛和其它建筑物的位置；(2)如图3，鱼的位置用有序数对(2,1)表示，请用有序数对表示其它动物的位置；(3)如图4，B的位置是(2,1)，请表示五角星的五个端点的位置；(4)如图5，士的位置用有序数对(4,1)表示，请用有序数对表示其它棋子的位置；(5)只有一层的电影院里，若将5排2号记作(5，2)，则4排3号可以表示为( )；(6，7)表示的含义为( ).

图2

图3

图4

图5

环节四：有奖游戏.规定列数在前，行数在后，同时显示二个同学的座位号，看谁先站起来.

环节五：合作提升.如图6，小华从A走到B的一条最短路线是：

图6

A(2,5)→(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→B(5,3).分组讨论，写出小华从A走到B最短的其它路线.总共有几条？

环节六：课堂总结.学习了数形结合的思想方法.

二、案例分析

以上教学设计有以下几个方面值得思考：

1.学生的原有认知

小学已学过“用数对确定位置”，在具体情境中，学生能够在方格纸上用数对(正整数对)表示位置，知道数对与方格纸上点的对应关系.上述教学设计中的知识巩固环节的教学内容基本上就是小学数学教材上《位置》的内容，另外，小学数学教材上的《位置与方向》是用距离和角度表示位置，是高中极坐标的基础.初中的《有序数对》属于提高篇，学习有序数对是从小学中的整数对拓展到实数对，是从用数对确定位置拓展到有序数对确定更多意义上的量.教学这一内容的时候不可低估学生的认知基础和认知能力.

2.有序数对的理解

3.教学目标的设定

本节是直角坐标系的第一小节，是学习平面直角坐标系的基础，为建立直角坐标系服务，但不能仅仅停留在为建立直角坐标系服务，有序数对表示平面上点的位置与直角坐标系中用坐标表示点的位置，是一般与特殊的关系，因此这里要突出一般性.由上面的知识的理解的分析也知道有序数对的一般性意义十分广泛，是培养学生创新能力的很好素材.教学实践中有的教师始终离不开“行与列”、“直角”，就连菱形的网格都不用，固定在长方形网格，甚至是正方形网格.

4.数学思想方法的揭示

大家都明白数学教学要突出数学思想方法的学习，但在实际教学中往往是在课堂总结的时候，归纳出什么什么数学思想方法，而不是让学生在学习过程中体验这种数学思想方法.在有序数对教学的实际课堂中，有的老师在课堂总结中提到数形结合的数学思想方法，但课堂教学中根本就没体现出来，学生体验不到由数到形，也体验不到由形到数，只是看到老师给出的“数形结合”的文字.其实这节课对“一一对应”、“数形结合”、“分类讨论”、“特殊与一般”都可以有很好的体验和揭示.

5.“有序”的教学

大家都知道有序数对的“有序”是教学重点，但教学实践中讲解“有序”的有效性往往出现偏差.在观察到的课堂中与文[1]有相似的教学设计：请坐在(3，4)位置上的同学举手示意，结果有两个人举手，因为没有明确规定是先数行还是先数列，从而强调出“有序”.从表面上看好像没什么问题，先数行后数列不同于先数列后数行，说明有序，但要是这样讲解的话，给学生的感觉是“有序即此(3，4)非彼(3，4)”，明显不合有序数对的本意，其实，先数行还是先数列是问题中的规定，而我们往往是在某规定下再来讨论数学问题，有序数对的“有序”的实质是(3，4)≠(4，3)，我们要离开3、4的几行几列具体含义而抽象出数学概念“有序数对”，因此，讲解有序很简单，规定先数列后数行，(3，4)与(4，3)位置上的同学不同.另外，如果列是用数Ⅰ，Ⅱ，…，行是用数1，2，…来表示，这样(Ⅱ,3)与(3,Ⅱ)就可以表示同一个位置，这样的(Ⅱ,3)是数对，但不是有序数对.

6.同型练习题题量的把握

为了加强对有序数对概念的理解，强化变式训练，是应该的，但同型练习题题量要有一个度，前面介绍的教学设计中的练习，同一题中找4—7个位置的数对，第1—4道题虽然情景有些变，但情境没有变，都是“垂直”、“找位置或位置的有序数对”；文[2]在练习巩固、深化提高环节中，若(1，3)表示第一列第三排，要求在网格图中用彩笔把(5，2)、(4，3)、(3，4)、(2，5)、(2，6)、(3，7)、(4，7)、(5，6)、(6，7)、(7，7)、(8，6)、(8，5)、(7，4)、(6，3)共十四个位置的圆形涂上颜色，题量是不是有点多呢，是不是可以省出时间去学习或思考别的问题.

7.上述图6这道题的教学

求图6中小华从A走到B的最短路线这道题是一道好题，是培养学生能力的好题，是这一课时能够呈现精彩的地方，但是在教学实际中几乎没有看到精彩，也许是前面花时间太多的原因，到这儿没多少时间了，只能草草收场.作者观察到有两种表现：第一、学生(或小组)先练习，然后学生(代表)报告结果，在同学们的共同努力下一般是能够找到答案的，老师给予表扬.第二、教师讲解，讲解分类去找的方法，指出长方形关于对角线对称，因此只要在对角线一边去找最短路线.对于分类讨论方法，分类标准的制定与方法的实施不是一个简单的教学问题，需要长期的具体的教学与指导，学生才能掌握.对这题的教学单是学生练习，给出答案是不够的，教师应该讲解分类去找的方法，做到不重复，不遗漏；对于表现二，不能说长方形关于对角线对称，轴对称是数学的精确概念，与生活中的俗语有区别，长方形关于对角线是不对称的，只是关于中心对称.

数学教学的备课，基础问题是备两头，即备学生、备教材.备学生要掌握学生的认知基础，备教材要吃透教材.教学有法，需认真掌握.