基于最小二乘法的永磁同步电机最大转矩电流比控制

黄济文，王淑红，许连丙，刘 旭，任俊杰，张根嘉

(1.太原理工大学 电气与动力工程学院，太原 030024；2.国网大同供电公司，大同 037006；3.中煤科工集团太原研究院，太原 030006)

0 引 言

内置式永磁同步电机(以下简称IPMSM)以其功率密度高、效率高等特点广泛应用于电动汽车、航空航天等高精度控制领域[1]。IPMSM控制中，最大转矩电流比(以下简称MTPA)控制策略应用最广。常用的MTPA控制方法可分为两大类：不依赖电机参数的MTPA计算方法和基于电机模型的MTPA计算方法。

第一类方法主要通过相关算法在线搜索出MTPA运行点。文献[2]将二阶Newton-Raphson 搜索法与三维表结合，在线估算出MTPA点，该方法可获得较好的控制效果，但构建表格较为繁杂，不适用于大批量生产。文献[3]将扰动信号注入到电流矢量角中，根据电流反馈在线调节电流矢量角，实现MTPA点的实时跟踪。但扰动步长较难选择，难以兼顾系统的动态响应和稳态性能。为此，文献[4]利用PI控制器跟踪零稳态误差，解决稳态时电流矢量角度振荡问题，并提出自适应法步长选择改善系统动稳态性能。

第二类方法利用电机基本电磁关系直接计算MTPA运行点。文献[5]提出基于常参数曲线拟合的MTPA控制策略，控制方法简单易实现，但电机在运行中实际的MTPA运行点会随着电机参数的改变而变化，使得该算法仅在取点范围内精确，无法做到全工况下精准计算MTPA运行点。为减小参数变化引起的MTPA运行点计算偏差，需要对电机的d，q轴电感参数精确辨识。文献[6-7]利用离线辨识方法获得d，q轴电感值关于电流的关系式，但忽略了交叉饱和效应的影响。文献[8]采用了冻结磁导率法配合有限元法计算出电感参数并用离线实验方法验证辨识结果的精度，但并未进行在线辨识验证。文献[9-10]提出了基于高频电压信号注入的电感在线辨识方法，拥有较好的辨识效果，但对控制系统硬件要求较高。目前，较多国内外学者将各类智能算法应用于参数辨识领域，常用的算法有自适应算法[11]，神经网络算法[12-13]、遗传算法[14]、粒子群算法[15]等。这类方法都能获得较好的参数辨识精度，但由于智能算法在实际辨识过程中的收敛性、稳定性以及复杂性等因素，导致其在实际运用中难以快速得出精确的辨识结果。文献[16]提出利用最小二乘法来进行参数辨识，但其辨识模型基于稳态方程搭建，无法计算电机在动态过程中的电感参数，忽略了电机起动过程中电流变化对电感参数的影响。

针对以上问题，本文利用电压瞬态方程构建辨识模型，并提出一种带遗忘因子的最小二乘辨识方法实时辨识电机参数；将辨识得到的电感参数及时应用于迭代计算d，q轴电流给定值，使电机工作于实际MTPA曲线。该方法易于实现且精度高，提高了电机的动态性能及带载能力。

1 永磁同步电机数学模型

IPMSM在d，q坐标系下的电压数学模型：

(1)

输出的电磁转矩：

Te=1.5p[ψfiq+(Ld-Lq)idiq]

(2)

式中:id，iq为电机d，q轴电流；ud，uq为d，q轴电压；Ld，Lq为电机d，q轴电感；p为电机极对数；ψf为转子永磁体磁链；Rs为电机定子电阻；ωe为电机转子电角速度。

2 基于迭代的MTPA控制策略

分析式(2)可知，由于d，q轴电感不相等，电机电磁转矩中包含磁阻转矩。MTPA控制策略利用该磁阻转矩，计算d，q轴最佳电流分配，使得定子电流最小。换言之，求解MTPA控制策略工作点的问题可转化为关于转矩电流的极值求解问题。本文用迭代法解决此问题。采用恒幅值变换，在d，q坐标系下，电流关系式：

(3)

为了在电流圆限制条件下求解转矩极值，建立拉格朗日辅助函数：

(4)

由式(4)对Id，Iq，λ分别求偏导，并消去λ可得以下方程组：

(5)

式中：A=1.5pψf，B=1.5p(Ld-Lq)。式(5)的非线性偏导矩阵：

(6)

现假设上式中I=[Id,Iq]T的迭代初值，即I(0)=[Id0,Iq0]T使矩阵非奇异，由牛顿法可得上式解的迭代表达式：

(7)

3 基于最小二乘法的参数辨识

MTPA控制的精确程度决定于参数的准确程度。在实际工况中，电机参数会随着运行状态的改变而改变。因此，要提高电机控制精度，必须在线辨识电机参数。

3.1 最小二乘法辨识原理

为了提高电机动态过程中电感参数的辨识精度，本文在电压瞬态方程基础上推导出最小二乘递推公式，在线辨识电感参数。

最小二乘法的递推公式如下：

(8)

式中:y(k)为系统输出;φT(k)为中间量，θ(k)为待辨识参数，P(k)为协方差矩阵，K(k)为增益矩阵。将电压瞬态方程式(1)离散化并取其输出:

(9)

则该系统的最小二乘表达式：

(10)

将式(10)代入式(8)并引入遗忘因子λ，其递推最小二乘法的递推公式改写：

(11)

3.2 基于高斯调制的最小二乘法辨识

利用最小二乘法辨识电感参数时需要用到的测量数据较多。数据采样中的噪声信号会影响参数辨识的精度。本文采用高斯调制函数对采样到的信号在辨识之前做调制处理。

高斯调制函数的数学表达式：

(12)

式中:T0为a的八倍量。上式中的可控变量仅有a，将式(9)调制后输出：

(13)

式中:y1φ(k)，y2φ(k)分别为y1(k)，y2(k)调制后的值。则新的最小二乘法表达式：

(14)

将式(14)以上小节的方法进行处理，得到新的迭代方程式如下：

(15)

4 仿真分析

为了验证本文的最小二乘辨识方法及基于迭代的MTPA算法的可行性，根据如图1所示的控制系统结构框图，在Simulink中搭建仿真模型进行仿真验证，其中电机参数如表1所示。

图1 MTPA控制系统结构框图

表1 永磁同步电机参数

图2、图3分别为d，q轴电感仿真波形，图中虚线均为电感真实值，实线均为电感的辨识值。在电机运行中，0时d，q轴电感值分别为0.108 H，0.237 H；1 s时阶跃为0.08 H，0.16 H；2 s时阶跃为0.108 H，0.237 H。从图2、图3中可知，在电感给定值两次阶跃改变时，d轴电感辨识值收敛用时均小于0.005 s，稳态误差小于0.2%；q轴电感辨识值收敛用时小于0.003 s，稳态误差小于0.1%。仿真表明，本文建立在电机瞬态方程上的最小二乘法对电感的辨识收敛速度快，精度高。

图2 d轴电感仿真波形

图3 q轴电感仿真波形

仿真中电机带7 N·m起动至额定转速1 500 r/min，1 s时突加负载至15 N·m，2 s时突减负载至7 N·m，且模拟电机实际运行中电感值随电流的变化趋势。改变电机模型的电感值，在此条件下对比分析基于参数辨识的迭代MTPA算法与基于常参数曲线拟合MTPA算法(使用半载时电感参数进行拟合)的控制效果，仿真结果如图4、图5所示。

图4 不同MTPA算法控制下电机转速波形

图5 不同MTPA算法控制下电流矢量波形

图4、图5中，虚线均表示基于常参数曲线拟合MTPA控制下的电机电气量，实线均表示基于参数辨识MTPA控制下的电机电气量。由图4可知，在负载相同的条件下，若以5 r/min为允许误差，计算转速上升以及扰动回复时间，则基于参数辨识MTPA控制下电机起动时超调小15%，且在突加负载时，转速回复速度快40%；突减负载时，转速回复速度快30%。这证明了本文的算法与常参数曲线拟合MTPA算法相比，拥有更好的调速性能和带载能力。由于基于曲线拟合MTPA算法使用的是半载时的电感参数，因此在图5中半载时两种MTPA算法控制下的电流矢量差别不大；在突加负载至15 N·m稳态后，基于参数辨识MTPA算法控制下电流矢量小0.15 A，证明了本算法对MTPA运行点的计算更精确。

5 实验结果与分析

搭建如图6所示的基于dSPACE的2.2 kW永磁同步电机实验平台，以验证本电感辨识方法的准确性及控制策略的控制性能。

图6 永磁同步电机实验平台

分别在转速为300 r/min、600 r/min、900 r/min、1 200 r/min、1 500 r/min时通过调节负载，使电机分别工作于空载、半载、满载，并在线辨识出d，q轴电感，辨识结果如表2～表4所示。为了验证本辨识结果准确性，利用ANSYS对目标电机仿真计算这三种负载状态下d，q轴电感值，如表5所示。

表2 空载时各转速下d,q轴电感辨识结果

表3 半载时各转速下d，q轴电感辨识结果

表4 满载时各转速下d，q轴电感辨识结果

表5 空载、半载、满载时ANSYS仿真结果

从实验结果可知，电机d，q轴电感随着电流的增大而减小，符合理论值。对比相同负载不同转速下电感值可知，电感值随着转速的增大而增大，d轴电感增幅小于5%，q轴电感增幅小于6%，波动幅度几乎可以忽略，且辨识值与ANSYS仿真值相差不大，小于4%。

因此，本文在转速为900 r/min时通过调节负载，使电机d，q轴电流的变化范围分别为0至-3 A、0至5 A，在此条件下在线辨识出d，q轴电感随电流变化情况，拟合得到Ld=(id，iq)，Lq=(id，iq)的三维曲面，如图7、图8所示。

图7 永磁同步电机d轴电感波形

图8 永磁同步电机q轴电感波形

把经过调制后的采样信号作为Ld=(id，iq)，Lq=(id，iq)的输入，计算出电机实时电感值，并将其用于MTPA点的迭代，计算出实时的电流给定值，用于电机控制运行。为了与基于常参数曲线拟合的MTPA算法控制效果进行对比分析，实验中保持其它控制参数不变的情况下，电机均在初始时刻带7 N·m负载起动，3.2 s时突加负载至15 N·m，6 s时突减负载至8 N·m，实验结果如图9～图13所示。

图9 调制前d，q轴电感辨识波形

图9、图10为对采样信号进行高斯调制前、后的电感辨识波形对比图，图11、图12分别为同一负载下分别使用基于参数辨识MTPA算法与基于常参数曲线拟合MTPA控制下的转速、定子矢量波形，图13为基于参数辨识MTPA控制下电机转矩和d，q轴电流波形图。

图10 调制后d，q轴电感辨识波形

由图13可知，当负载突变时，本文的算法可快速辨识出实时电感值变化，并参与迭代计算出新的d，q轴电流给定值，完成输出电磁转矩对负载转矩的跟踪。对比图9与图10可知，高斯调制函数可以显著滤去控制系统中因采样所引入的噪声信号，且在时间上无明显延迟，提高了电感辨识精度。由图11、图12可知，在电机动态过程中，两种MTPA算法控制下均以最大允许电流控制电机调速，但基于参数辨识MTPA算法控制下电机超调更小，起动时间快0.1 s，在突加负载时，转速降落小50%，突减负载时，转速抬升小65%，拥有更好的电机调速与带载性能。而在稳态过程中，在负载同为15 N·m的情况下，基于参数辨识MTPA算法控制下电机定子电流矢量更小，小0.1 A。由此可见，基于参数实时辨识下迭代计算出的MTPA点更接近于实际的MTPA运行点。侧面证明了建立在瞬态电压方程上的参数辨识算法拥有较好的辨识精度。

图11 不同MTPA算法控制下转速波形

图12 不同MTPA算法控制下定子电流矢量波形

图13 参数辨识MTPA控制下转矩、电流波形

6 结 语

本文的基于永磁同步电机瞬态电压方程的最小二乘辨识方法比传统的基于稳态方程的参数辨识算法拥有更好的动态性能。根据辨识出的电感迭代计算出最大转矩电流比工作点，实时修正永磁同步电机d，q轴给定电流值，提高了MTPA运行点的计算精度。仿真和实验结果均证明了参数辨识的准确性、先进性，以及采用基于此辨识方法迭代计算出的MTPA点比采用固定电感参数曲线拟合所计算出的MTPA点更精确，本控制策略拥有更好的带载能力及动态特性。