例谈如何在数学化的过程中渗透数学建模——以“三角函数的概念”教学为例

李 平

（韶关市第一中学，广东 韶关 512005）

学习了章建跃、张艳娇和金克勤3位老师撰写的《数学建模活动的课程理解、教材设计与教学实施》一文，对新教材中关于数学建模活动的编写思路，数学建模活动的教材结构有了新的认识.文章中提出“要在数学化的过程中渗透数学建模”［1］，本文在结合新课程标准和研究内容解析的基础上给出了“三角函数的概念”一节的教学设计，并对教学设计的实施进行了反思.

1 内容解析

1.1 课标要求

《普通高中数学课程标准》（2017年版）中“内容要求”对三角函数概念的教学要求是：借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义［2］.并给出了教学应达到的目标及建议采取的教学手段，即从学生已知的、基于变量关系的函数定义入手，引导学生通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性.

1.2 教材分析

本文探讨的是人教A版高中数学必修第一册（2019）第五章第二节的内容［3］，主要内容是三角函数的概念.三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用.三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点.紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图像和性质.三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备.三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础.

三角函数定义的学习是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了其重要性.

1.3 核心素养及蕴含的数学思想方法

数学抽象.三角函数主要结合单位圆图形是从单位圆中心角弧度数与中心角的终边和单位圆交点的横坐标、纵坐标及纵坐标与横坐标的比值的对应关系中抽象出三角函数的概念，体现了数学抽象和数形结合的思想和方法.

逻辑推理.三角函数从研究特殊角与单位圆交点的坐标出发，通过归纳、类比发现相应的对应关系.体现了特殊到一般的思想方法.

数学建模.三角函数一课在书本一开始就明确了任务：单位圆圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.并提供了研究的路径：明确研究对象→对应关系的特点分析→定义.

直观想象.借助单位圆及直角坐标系观察点P的位置变化特点及运动规律，建立了形与数的联系，构建课堂要研究问题的直观模型，体现了数形结合的思想方法.

1.4 教学目标

（1）初步理解借助单位圆上点的坐标定义三角函数，理解任意角的三角函数的概念；

（2）在三角函数定义的过程中进一步认知函数的本质，体会数形结合思想方法的作用；

（3）经历三角函数概念的抽象过程，提升学生思维的严谨性，发展数学抽象素养.

1.5 教学重点与难点

教学重点是任意角的三角函数概念，其难点在于用单位圆上点的坐标定义三角函数.

2 教学设计

2.1 创设情景，导入新课

问题引入：在客观世界中存在大量循环往复、周而复始的周期现象，比如日出日落、钟摆运动等，匀速圆周运动是这类现象的代表，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？

如图1所示，圆O上的点P以A为起点做逆时针旋转，在把角的范围推广到任意角后，可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化.根据弧度制的定义，角α的大小与圆O的半径无关，能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况?

图1 点P的位置变化图

设计意图：开门见山引出研究内容、过程与研究方法，指明点P随着角度的变化而变化，明确构建函数模型的目标，让学生初步了解本节课学习的方向，为具体研究指明方向.

2.2 引导探究，形成新知

分析要解决这个问题需要什么工具？

首先，要建立函数模型，要利用直角坐标系.

其次，根据任意角的定义，需要借助单位圆.

如图2所示，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是（1，0），点P的坐标是（x，y）.把该问题抽象为一个点P从点A（1，0）开始在单位圆上的运动.

图2 点P在单位圆上的 运动

问题1：这个运动过程中的有哪些变量，判断它们之间是否具有函数关系.如果有，能否写出函数解析式？

（1）点P在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标x、纵坐标y，弧长l，旋转角度α；

（2）判断变量：x，y，l，α间的哪两个变量能否构成函数关系？

过点P作PM⊥x轴于M，根据勾股定理可知OM2+PM2=1，即x2+y2=1，显然变量x、y间的对应关系不符合函数定义.在弧度制学习中已经知道变量l，α之间的关系，并且变量x，y与α的关系和x，y与l的关系等价，所以只需研究变量x，y与α的关系.

问题2：若角α终边与单位圆交于点P，如何求点P的坐标？

追问1：当遇到一般性问题应该如何研究？

追问3：任意给定一个角α，点P的坐标唯一确定吗？

因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角α的大小有关，当角α确定时，点P的坐标是（x，y）也唯一确定.

追问4：在展示的运动变化的过程中，观察角α的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？

对任意一个实数α，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标x、y都是唯一确定的，有如下对应关系：任意角α（弧度）→唯一实数x；任意角α（弧度）→唯一实数y．

一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x，还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.

设计意图：以函数的对应关系为指向，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆的交点的横、纵坐标都是圆心角α（弧度）的函数，为引出三角函数的定义做好铺垫.

接着给出这些函数的定义：如图3所示，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sinα，即y=sinα； 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做cosα，即x=cosα； 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记做tanα，即=tanα（x≠0）.

图3 三角函数定义辅助图

问题3：正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？

实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y→正弦函数；

实数α（弧度）对应于点P的横坐标x→余弦函数；

当点P的横坐标为0时，角α的终边在y轴上，此时，所以=tanα无意义.

因此，对于确定的角α，的值也是唯一确定的，所以=tanα（x≠0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数，称为正切函数.实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y与横坐标x（x≠0）之比→正切函数.

追问1：任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义呢？

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

按照函数的定义与常用的符号，通常将它们记为：正弦函数y=sinx；余弦函数y=cosx；正切函数y=tanx.将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.

追问2：任意角三角函数的定义域分别是什么呢?

很明显，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即x∈R，对于正切函数而言，要求点P的横坐标x≠0，即角α的终边OP不能位于y轴上，那么正切函数的定义域为

追问3：这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?

任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.

追问4：“任意角的三角函数”与“锐角三角函数”这两个概念有什么异同?

设计意图：引导学生将任意角三角函数纳入到函数中，丰富学生对三角函数的认知，另外，注意任意角为轴线角的特殊情况，让学生更全面地认识任意角的三角函数，体现数学的严谨性.

2.3 理解概念，运用新知

例1求的正弦、余弦和正切值.

解如图4所示，在直角坐标系中，作，此时∠AOB的终边与单位圆的交点B的坐标为，所以

图4 例1辅助图

设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.

例2如图5所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r.

图5 例2辅助图

引导学生分析问题：

你能根据三角函数的定义作图表示sinα和cosα吗？

解设角α的终边与单位圆交于点P0（x0，y0），分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，如图6所示，则|PM|=|y|，|P0M0|=|y0|，|OM|=|x|，|OM0|=|x0|，△OMP≌△OM1P1.

图6 例2解题辅助图

设计意图：通过问题引导，使学生找到△OMP、OM1P1，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.

追问：例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格的数学语言叙述这个定义吗？

一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为那么

显然任意角α的三角函数值不会随点的位置的变化而变化.

2.4 应用新知，总结提升

任意角三角函数的概念是三角函数知识的基础，以后要学习的有关三角函数其他知识都建立在对三角函数的概念的理解与认识上，所以同学们一定要认真学习和体会所学的知识.

三角函数是如何定义的？除了学习单位圆定义，还有什么定义方法？

（1）单位圆定义法：建立直角坐标系，使角α的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为P，即可由点P坐标（x，y）得到三角函数定义.

正弦函数：y=sinx（x∈R）；余弦函数：y=cosx（x∈R）；正切函数：

（2）终边定义法：建立直角坐标系，对于任意角α，角α终边上的任意一点P的坐标为（x，y），它到原点O的距离为，那么

在研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？

在任意角的三角函数的概念建构的过程中，运用了转化与化归、数形结合、函数思想，这些思想方法在今后的学习中非常重要，一定要认真体会.

3 总结反思

对传统的概念授课教师比较注重知识性教学，经常将理论教学与实践教学分离，而利用数学建模的教学过程启发、引导学生经历建模的全过程，并让学生有实质性的思考，可以更加深刻地理解三角函数的定义形成的过程.正如章建跃老师所说：“加强数学与现实的联系是课改的一个基本理念，也是数学教材改革的一个基本方向”［1］.作为一线教师更应该注重转变教学方式、更新教学观念更好更快的适应课改要求，将学生核心素养的培养在课堂教学中落到实处.