利用弹簧振子在竖直方向做简谐振动实验 测量重力加速度

官邦贵，高海涛，左绪忠，郭明磊，董 杰

（安徽科技学院 电气与电子工程学院，安徽 蚌埠 233030）

测量重力加速度的新方法有很多种，文献［1］对传统平衡法进行改进提出了一种基于平衡法的新计算方法，文献［2］利用智能手机对单摆法进行实验创新设计使得单摆做简谐运动的周期更为精确，文献［3］提出了一种利用刚体转动惯量实验仪测量重力加速度的新方法，文献［4］利用智能手机中的压力传感器来测量重力加速度，文献［5］和文献［6］分别用干涉法和激光反射法测量当地的重力加速度.在众多的重力加速度的测量方法中，利用单摆或者弹簧振子做简谐振动的方法因其装置简易，原理简单，测量精度较高而被广泛应用.本文利用弹簧振子在竖直方向做简谐振动实验来测量本地的重力加速度，为了消除测量弹簧振子周期时人工计时误差较大的缺点，提高重力加速度的测量精度，实验中利用了智能手机中的光线传感器软件获得做简谐振动的弹簧振子下端小光源照射到光线传感器上的光照度实时变化的数据及光照度随时间的变化图像，根据该图像得到弹簧振子做简谐振动的周期.

1 实验原理

当弹簧振子在竖直方向做简谐振动时，弹簧振子的周期可用下列公式进行计算：

式中k为弹簧振子的弹性系数，m为弹簧振子的质量，m'为弹簧的质量，T为弹簧振子做简谐振动的周期.

由（1）式可得弹簧的弹性系数k与弹簧振子做简谐振动的周期T的关系为：

当弹簧振子悬挂于竖直方向放置的弹簧下方并且处于静止状态时，由胡克定律与牛顿第三定律可得：

式中k为弹簧振子的弹性系数，m为弹簧振子的质量，g为当地的重力加速度，△l为弹簧振子处于静止状态时的伸长量.由（2）式和（3）式可得重力加速度g与弹簧的伸长量△l、弹簧振子的质量m及弹簧振子做简谐振动的周期T的关系为：

从（4）式可以看出，要测当地的重力加速度g，并不需要知道弹簧的弹性系数k，只需要测出弹簧振子的质量m，弹簧的质量m'，弹簧振子处于静止状态时的伸长量△l，弹簧振子做简谐振动的周期T就可以计算出当地的重力加速度.在实验中，当弹簧振子的质量m发生改变时，弹簧振子处于静止状态时的伸长量△l也要发生改变，弹簧振子做简谐运动的周期T亦随之变化.实验中利用电子秤测出弹簧振子的质量m，弹簧的质量m'，利用固定在装置上的刻度尺测出弹簧振子处于静止状态时的伸长量△l，利用智能手机中的光线传感器软件获得做简谐振动的弹簧振子下端小光源照射到手机光线传感器上的光照度实时变化的数据及光照度随时间的变化图像，根据该图像得到弹簧振子做简谐振动的周期T.进而可以求出当地重力加速度.

2 实验装置

图1为实验装置结构示意图，在铁架台上沿竖直方向安装有刻度尺，弹簧的长度可以直接通过刻度尺读出来.在铁架台顶端挂上弹簧并在其下方挂上勾码，勾码的下方安装小光源，为了安装的方便，小光源可以做成扁平圆柱体，将发光体嵌入圆柱体下端表面内，发光体能够持续均匀发光，在发光体的正下方放置智能手机并且让发光体对准智能手机上的光线传感器，手机中的光线传感器可以采集光照度实时变化的数据并输出光照度随时间变化的图像，通过该图像可得到弹簧振子做简谐振动的周期T.

图1 实验装置结构示意图

3 实验步骤及内容

（1）弹簧振子的质量和弹簧的质量的测量

利用电子秤测出弹簧的质量m'、弹簧振子（包括勾码与小光源）的质量m.

（2）弹簧振子处于静止状态时伸长量的测量

将弹簧竖直放置，测出弹簧原长l，在弹簧下方挂悬挂弹簧振子，测出弹簧振子处于静止状态时弹簧的长度l'，则弹簧振子处于静止状态时伸长量为△l=l'-l.

（3）弹簧振子做简谐振动周期的测量

在手机上打开光线传感器软件，按下运行按钮；打开小光源，给弹簧20.0 mm的初始振幅，使弹簧在竖直方向做简谐运动，此时手机中的光线传感器可以采集光照度实时变化的数据并输出光照度随时间变化的关系曲线（如图2所示）.从采集的光照度实时变化数据中可以求得弹簧振子做简谐振动的周期T，也可以从输出光照度随时间变化的关系曲线中求得弹簧振子做简谐振动的周期T.

方法一：从采集的光照度实时变化数据中可以求得弹簧振子做简谐振动的周期T.

表1 采集的光照度实时变化数据（弹簧振子质量为m=210.18 g）

因为数据太多，此表省略了部分数据，弹簧振子振动稳定后找到一个光照度最大值所对应的时间（此次实验找到了光照度为218 lx时所对应的时间为1.680 020 312 s），依次向后找，找到第51个光照度最大值此次实验找到了光照度为201 lx时所对应的时间为30.720 012 52 s），可以得出其周期为：

方法二：从光照度随时间变化的关系曲线中求得弹簧振子做简谐振动的周期T.

图2（a）和（b）为弹簧振子做简谐振动时光照度随时间变化的关系曲线，图2（a）为从关系曲线上找到某一个光照度最大值及其所对应的时间（此次实验找到了光照度为255 lx时所对应的时间为2.039 982 8 s），为了较精确地找到光照度的最大值，需要将鼠标放在光照度最大值附近，左右移动鼠标光照度的数值和对应的时间都能实时显示出来，从而找到光照度的最大值和对应的时间，依次找到第51个光照度最大值，见图2（b），此次实验找到了光照度为229 lx时所对应的时间为31.079 975 s，可以得出其周期为：

图2 光照度随时间变化的关系曲线

本实验方法二相比方法一，除了初始振幅不一样外，其它参数均相同，得到的周期与方法一得到的周期也相同（所用结果为小数点后取四位的结果），因此用方法二得到的弹簧振子做简谐振动的周期是比较准确的.

4 实验数据处理

（1）表2为弹簧振子质量保持不变，改变弹簧振子初始振幅△x时测量的实验数据及其处理结果，实验中所用弹簧振子的质量为130.18 g （包括钩码和小光源的质量），利用光照度实时变化数据得到弹簧振子做简谐振动的周期.

表2 改变弹簧振子初始振幅△x时测量的实验数据及其处理结果（量程：10 N）

与蚌埠当地的重力加速度值g=9.795 4比较，求出相对误差为：

（2）表3为初始振幅△x时保持不变，改变弹簧振子质量时测量的实验数据及其处理结果，实验中初始振幅△x=20.0mm，利用光照度随时间的变化关系图像得到弹簧振子做简谐振动的周期.

表3 改变弹簧振子质量时测量的实验数据及其处理结果（量程：10 N）

与蚌埠当地的重力加速度值g=9.795 4比较，求出相对误差为：

5 实验结论

（1）弹簧振子做简谐振动时，其振动周期与弹簧振子的初始振幅无关.

（2）弹簧振子做简谐振动时，其周期与弹簧振子的质量有关，质量越大，振动周期越大.

（3）利用智能手机来测量弹簧振子做简谐振动的周期可以减小人工计时测量时误差较大的缺陷，提高重力加速度的测量精度.

（4）两组实验测得的重力加速度与蚌埠当地的重力加速度相比相差都不大，说明这种测量方法是比较精确的.