音级乘法技术原理中音组含数的循环排列方法

肖友明

四川文化艺术学院音乐舞蹈学院

从勋伯格的十二音序列到布列兹、巴比特的全面序列；从仅为避开调性因素的简易十二音矩阵到运用数学方法使其发展成巨大音高材料库的音级乘法技术体系，整个二十世纪用十二音序列写作的作曲家不胜枚举，虽然都是以十二音序列为写作方法，但对序列的处理却大相径庭，其整个发展过程是趋于复杂化和高度技术化的。

音级乘法技术是布列兹在20世纪50年代创作《无主之槌》这部作品首次使用到的作曲技术方法，它是作曲家在音高材料领域的突破和创新。这一技术理论是布列兹运用数学原理将序列的内部结构进行无限延伸处理的一种创作手法，它通过改变序列原型内部的结构，将它以不同的方式进行拆分和重组，由此而派生出新的音高素材，这是布列兹音级乘法技术理论的基本原理。

一、音级乘法技术的概念

音级乘法技术（Pitch-class Multiplication）是将一个序列原型（prototype sequence）划分成若干个音级组（frequency groups），而音级组的产生又是以序列原型中各音级之间的音程级（interval class）为依据，每一个音级组包含若干个音级，其中包含的音级个数称其为音组含数（tone number），再将这些音组含数进行循环排列，产生出多个排列形式，所有的排列形式中的音组两两相乘派生出更为丰富的音高素材的技术方法。

谱例1《无主之槌》的十二音序列原型（prototype sequence）

上例是作品《无主之槌》的十二音序列原型，在这个序列中两音之间所包含的音程级有1、2、3、4四种，这就构成了音组拆分的依据，它们一一对应拆分后音组中所包含的音级数量，我们将这种音组中包含的音级数量称为音组含数（tone number），记为（tn）。

二、音组含数循环排列的基本原理

我们将序列原型拆分后按照一个对称中心和对称数字的排列原则所产生的任意一种音组含数的排列形式称为原始序列（original sequence），记为（os）。那么，所谓音组含数的循环排列（cyclic order，记为co），是指将原始序列按照上述方法拆分后，为了得到更多的分组排列的形式，而将原始序列的音组含数进行循环排序，从而产生出更加丰富的排列方式，可以依次标记为：co1、co2…coN，读作：循环排列Ⅰ、循环排列Ⅱ…循环排列N。

三、序列[Sm（tn2），asd5]—af（tn1min）的循环排列

下面我们将Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1），即对称中心为Sm（tn2），对称数字为asd5的排列af（tn1）——tn1/tn2/tn2/tn3/tn4进行循环排列。

图表1 原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）的循环排列

图表中，第一行是原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）音组含数的排列情况，其后每一行都依次分别将原始序列中的音组含数作为每一行开始的第一个音组含数，即第二行是以原始序列的第二个音组含数tn2开始，第三行是以原始序列的第三个音组含数tn2开始，第四行第五行依此类推。而后是依次从第一个音组含数开始向后面进行循环，所以第二行就得从原始序列第二个音组含数tn2开始进行循环排列依次是tn2、tn2、tn3、tn4、tn1，第三行依次是tn2、tn3、tn4、tn1、tn2，第四行依次是tn3、tn4、tn1、tn2、tn2，第 五 行 依 次 是tn4、tn1、tn2、tn2、tn3。由此，由五个音组含数组成的原始序列就可以得到四个循环排列，那么我们可以假定，如果设原始序列音组含数的个数为n的话，那么循环排列的个数就应为（n-1）个。

上例中，第二行至五行就是原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）的循环排列，依次标记为：co1、co2、co3、co4。这种循环排列是依次将原始序列中的音组含数分别作为循环排列开头的一个音组含数再将其进行循环，它近似于将原始序列音组含数进行移位。同时我们还会观察到，第一行与第一列音组含数相同，第二行与第二列的音组含数也是相同的，同理，第三行与第三列，第四行与第四列，第五行与第五列的音组含数也分别是相同的，并且任意一个横列与任意一个纵列的音组含数相加都等于12。

下面我们将原始序列Ag[Sm（tn2），asd5]—af（tn1）产生出的循环排列进行整理依次是：第一循环排列（co1）的音组含数分别为（tn2/tn2/tn3/tn4/tn1），第二循环排列（co2）的音组含数分别为（tn2/tn3/tn4/tn1/tn2），第三循环排列（co3）的音组含数分别为（tn3/tn4/tn1/tn2/tn2），第四循环排列（co4）的音组含数分别为（tn4/tn1/tn2/tn2/tn3）。

四、序列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1）的循环排列

以下是将原始序列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1），即tn1/tn2/tn4/tn2/tn3按照以上排列原则进行的循环排列。

图表2 排列Ag[Sm（tn4），asd4]—af（tn1）的原始序列以及循环排列

Sm(tn2) tn co asd5音组含数（tn）o s tn1 tn2 tn4 tn2 tn3 co1 tn2 tn4 tn2 tn3 tn1 co2 tn4 tn2 tn3 tn1 tn2 co3 tn2 tn3 tn1 tn2 tn4 co4 tn3 tn1 tn2 tn4 tn2

如上图所示，每一个原始序列可以产生四种循环排列，那么，对称中心为Sm（tn2），对称数字为asd5的原始序列共有8个，加上原始序列本身，就产生了5×8=40种新的排列方式，再加上对称中心为Sm（tn4），对称数字为asd4的原始序列共有4个，就产生5×4=20种新的排列方式，由此得出这一个十二音序列的序列原型就产生60种不同的音组含数的排列方式。

五、结语

布列兹是20世纪西方音乐发展历程上一位非常重要的人物。作为先锋派作曲家最重要的代表之一，其音乐作品结合了严密的数学构思与自由的主观个性，甚至狂暴的情感表达，但他制订音乐规则时数学般的严格给了这些狂暴情感以必要的补偿，体现出思想的极其集中和技法运用上的极大自由。同时，他的作品在呈现韦伯恩式的高度组织化明晰织体的同时，又充分表现出德彪西式的精致敏锐的强烈色彩感，因此，他也被人们称为“德彪西式的韦伯恩”或“抽象的印象主义”。 作为一位作曲家，他在五十年的光阴里书写了音乐史的崭新篇章，并以代表作品《无主之槌》树立了自己的先锋地位。

布列兹热衷于现代音乐的创作和实验，是当代先锋派作曲家中的佼佼者。他笔下的音乐，能够使人感受到一种从文雅抒情扩展到狂暴席卷的情感历程，这种音乐绝不会让人们怀疑音乐的任何表现力和可能性。他的创作大胆而激进，狂热而不失秩序，他将理性思维与音乐表现完美地结合在一起。上世纪40年代末到50年代中期，是布列兹创作思想发生重大变化和艺术上逐渐成熟的时期，他从学生时代起就是“新维也纳乐派”的积极追随者，但他并不满足勋伯格传统十二音技法对音高的简易控制，他的理想则是建立一个更全面而合理地组织音响材料的结构体系。在这样的背景下，其运用数学原理将序列的内部结构进行无限延伸处理的一种技术方法——“音级乘法”就应运而生了。

音级乘法作曲技术理论作为布列兹音乐语言构成的重要手段，对于其作品风格的形成，起到不可估量的重要作用。在他上个世纪五、六十年代的部分作品中，不管是在旋律方面还是在和声方面，音级乘法技术都是用以组织音高秩序的主要手段。在音乐作品中具体的音高材料的使用方面，作曲家用自己十分独特而富有个性化的思维，通过对音高材料严密的逻辑组织，使这一理论体系极具个性和美感，在其创作中呈现出丰富的音响效果，且极富特异性。可以说，它所呈现出来的独具一格的特性和规律，是他富于高度个性化色彩的重要因素。

注释：

1.`Boulez on music today` Pierre Boulez, by Faber and Faber London,1971.