波纹度波数对深沟球轴承振动特性的影响

余光伟，方党生，蔡翔宇，周璐

(上海大学 机电工程与自动化学院，上海 200444)

球轴承结构简单，但其振动是一个复杂的问题。按激励源，球轴承振动可分为结构振动、内部激励以及外部扰动3类。结构振动主要由轴承自身结构引起，内部激励主要由轴承零件表面局部式缺陷、分布式缺陷等引起，外部扰动主要由轴承载荷、转速等工况条件引起[1-2]。国内外对球轴承振动激励的研究主要包括结构参数(球数、径向游隙、沟曲率半径系数等)、制造误差(波纹度、圆度、尺寸误差、表面缺陷等)和工况(载荷、转速、润滑条件等)3个方面。轴承制造商往往通过控制制造误差改善轴承动态特性，波纹度对轴承振动的影响尤为显著，是振动的主要激励因素。因此，以6201深沟球轴承为例，建立符合实际工程应用的轴承动力学模型和波纹度模型，分析波纹度对深沟球轴承动态特性的影响。

1 深沟球轴承动力学模型

1.1 接触特性

球与内、外圈沟道之间为点接触，基于线性回归的最小二乘法对赫兹接触理论进行简化，得到椭圆积分E，F，椭圆参数k的近似表达式为[3-5]

(1)

(2)

(3)

式中：∑ρi，∑ρe分别为内、外圈与球在接触点的曲率和。

主曲率有正负之分，凸面为正，凹面为负，曲率和可表示为

(4)

(5)

式中：Di，De分别为内、外圈沟底直径；Ri，Re分别为内、外圈沟道半径。

载荷与变形的关系为

Q=Knδ1.5,

(6)

式中：Kn为载荷-变形系数；δ为变形量；E′为等效弹性模量；E1，E2分别为球、套圈材料的弹性模量；ν1,ν2分别为球、套圈材料的泊松比。

由(1)—(6)式可得轴承内、外圈载荷-变形系数Ki和Ke，球与轴承内、外圈总的载荷-变形系数可表示为

(7)

1.2 动力学简化模型

假设轴承内圈固定，外圈旋转，测量球轴承振动值实际是测量轴承外圈振动，假设球均匀分布在内、外圈沟道之间且做纯滚动，不考虑球质量，将球视为弹簧和阻尼单元[6]，球轴承可以简化为如图1所示的振动系统。基于牛顿第二定律，在轴向力Fa作用下，外圈三自由度振动微分方程为

图1 球轴承的简化振动系统Fig.1 Simplified vibration system of ball bearing

(8)

式中：m为外圈质量；c为阻尼系数；x,y,z分别为外圈在坐标轴方向上的位移；Fx，Fy，Fz分别为作用在外圈上的弹簧力，即球与内、外圈的赫兹接触力之和。

作用在外圈上的弹簧力可表示为

(9)

hx=(Re-Ri)cosθj+x，

hy=(Re-Ri)cosθj+y，

hz=ze-zi+z，

ze=z0+Bdsinα，

zi=z0-Bdsinα，

式中：j代表第j个球；Z为球数；φ，ψ，χ分别为钢球位移向量与x，y，z轴方向的夹角；z0为球心相对坐标原点的初始位置；ωc为保持架角速度；t为时间；Bd为内外圈沟道中心距；α为初始接触角。

内外圈沟道中心距为

Bd=Ri+Re-Dw+Gr,

(10)

式中：Dw为球直径；Gr为径向游隙。

在外圈移动后，内外圈沟道中心距为

(11)

考虑内、外圈波纹度，第j个球的弹性变形量(外圈振动前后内外圈沟道中心距的差值)可表示为

(12)

式中：∏i，∏e分别为内、外圈波纹度值。

2 波纹度模型

影响轴承振动特性的因素很多，其中球波纹度、套圈波纹度是重要影响因素[7]。相对于沟道加工精度，球加工精度很高，G3级球的表面粗糙度Ra值已达0.01 μm。在此主要分析套圈波纹度对轴承振动特性的影响。

当套圈沟道表面不存在波纹度时，沟道表面为光滑曲面，球与沟道之间接触面的半径为恒定值。当沟道表面存在波纹度时，光滑曲面变为波纹曲面，球与沟道之间的接触变形和接触刚度发生变化，从而引起接触力变化[8]。

考虑球与内、外圈沟道之间存在间隙，轴承内、外圈波纹度可表示为[9]

(13)

Li(e)=ri(e)αi(e)mj,

λi(e)=πDi(e)/Ni(e)w,

式中：∏0为波纹度初始幅值；∏p为波纹度最大幅值；D为套圈直径；Nw为波纹度波数；αmj为第j个球与沟道的接触角。

对于外圈，

(14)

对于内圈,

(15)

式中：ωi为内圈角速度。

3 模型验证

以6201深沟球轴承为研究对象，其主要结构参数见表1，联立(1)—(15)式，采用四阶龙格-库塔算法求解三自由度振动微分方程。设定求解时间步长Δt=1×10-5s，转速为1 500 r/min,m=0.015 kg，Fa=70 N，Gr=4 μm，c=200 N·s·m-1[10]。

表1 6201深沟球轴承主要结构参数Tab.1 Main structural parameters of 6201 deep groove ball bearing

3.1 振动频率

通过上述模型仿真计算可得轴承外圈y方向的振动位移频谱图，由图2可知:外圈y方向位移频谱图在66 Hz处出现明显峰值，其他频率成分均为66 Hz的倍频成分。由于径向力的作用，在球轴承载荷区内，钢球奇偶交替变换，造成轴承外圈以外圈通过频率(BPFO)振动，即为球通过外圈沟道上一点的频率[8-9]。

图2 外圈在y方向的振动位移频谱图Fig.2 Spectrum of vibration displacement of outer ring in y direction

理论计算[5]可得,球通过外圈沟道上一点的频率为65.12 Hz，与仿真结果基本一致，验证了模型的正确性。

3.2 振动加速度

通过仿真计算可得外圈y方向上振动加速度(图3)，振动加速度值均方根ai为0.16 m/s2，轴承振动加速度级可表示为

图3 外圈在y方向上的振动加速度Fig.3 Vibration acceleration of outer ring in y direction

(16)

式中：a0为振动标准参考值，一般取9.81×10-3m/s2。

通过(16)式可得轴承振动加速度级的仿真计算结果为24.19 dB。

取6套6201深沟球轴承，采用S092-3C轴承振动(加速度)测量仪测量轴承振动加速度，测量原理如图4所示。测量仪驱动转速为500～2 000 r/min，峰值测量范围为0～86 dB，有效值测量范围0～60 dB，采用16位数据采集卡。

图4 轴承振动加速度测量原理示意图Fig.4 Schematic diagram of measuring device for bearing vibration acceleration

参考GB/T 32333—2015《滚动轴承 振动(加速度)测量方法及技术条件》的规定，每套轴承正反两面各随机选取等距3个点测量[11]，测得3点通频值取平均值，结果见表2。

表2 6201深沟球轴承振动加速度级测量结果Tab.2 Measurement results of vibration acceleration level of 6201 deep groove ball bearing

仿真结果与测量值误差为6.0%，误差在允许范围内，进一步说明了模型的正确性。

4 波纹度波数对深沟球轴承振动特性的影响分析

取轴承内圈波纹度初始幅值为0.01 μm，最大幅值为0.20 μm，外圈波纹度初始幅值为0.01 μm，最大幅值为0.30 μm，分析内外圈波纹度波数对轴承加速度峰峰值(最大值与最小值的差值)和有效值(RMS)的影响。

4.1 内圈

内圈波纹度波数为6，7，14，17，30，35，56，59时,轴承y方向的振动加速度随内圈波纹度波数的变化如图5所示，内圈波纹度波数为奇数时比偶数时的振动响应更明显。轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随内圈波纹度波数的变化如图6所示，轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随内圈波纹度波数增大而增大，且波纹度波数为球数整数倍时，变化曲线会出现局部峰值。

图5 轴承y方向振动加速度随内圈波纹度波数的变化曲线Fig.5 Variation curve of vibration acceleration of bearing in y direction with waviness wave number of inner ring

图6 轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随内圈波纹度波数的变化曲线Fig.6 Variation curve of vibration acceleration peak-to-peak value and RMS of bearing in y direction with waviness wave number of inner ring

4.2 外圈

外圈波纹度波数为6，7，14，17，30，35，56，59时,轴承y方向振动加速度随外圈波纹度波数的变化如图7所示,外圈波纹度波数为奇数时比偶数时的振动响应更明显。

图7 轴承y方向振动加速度随外圈波纹度波数的变化曲线Fig.7 Variation curve of vibration acceleration of bearing in y direction with waviness wave number of outer ring

轴承y方向振动加速度响应的峰峰值和RMS随外圈波纹度波数的变化如图8所示,轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随外圈波纹度波数增大而增大，且波纹度波数为球数整数倍时，变化曲线会出现局部峰值。对比图6可以看出，轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随外圈波纹度波数变化略大于随内圈波纹度波数的变化。

图8 轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随外圈波纹度波数的变化曲线Fig.8 Variation curve of vibration acceleration peak-to-peak value and RMS of bearing in y direction with waviness wave number of outer ring

5 结论

建立了三自由度轴承动力学模型和波纹度模型，以6201深沟球轴承为研究对象，验证了模型的正确性，并分析了内、外圈波纹度波数对深沟球轴承振动特性的影响，得出结论：

1)内、外圈波纹度波数为奇数时均比偶数时轴承的振动响应更明显。

2)轴承振动加速度的峰峰值和RMS随内外圈波纹度波数增大而增大，波纹度波数为球数整数倍时，峰峰值和RMS随波纹度波数的变化曲线会出现局部峰值。

3)轴承y方向振动加速度的峰峰值和RMS随外圈波纹度波数变化略大于随内圈波纹度波数的变化。