RV减速器主轴承拟静力学模型简化分析方法

陈瑛琳，史文华，陈江义，秦东晨，袁峰

(郑州大学 机械与动力工程学院，郑州 450001)

为满足RV减速器外形尺寸小，承受扭矩大的工作需求，其主轴承往往采用薄壁、多球结构[1]。球数增多会导致轴承受力和变形计算量大幅增加，求解速度慢。如何快速计算和分析RV减速器主轴承的受力和变形是一个亟待解决的问题。

常用的轴承设计方法为数值分析法[2]，其中的拟静力学方法适用于高速、重载场合，计算速度快，是目前应用广泛的方法之一[3-6]，该方法以赫兹理论[7]为基础，考虑离心力、陀螺力矩作用，采用沟道控制假设，可分析球和沟道在点、线接触下的载荷分布和接触变形[8]。文献[9-10]的实践证明该方法在内、外圈接触角差异较大时具有良好的数值稳定性和较高的计算精度。

拟静力学法中求解非线性方程组多采用牛顿-拉弗森算法，求解简单但对初值敏感，且方程组的数量随球数增加而成倍增加，求解速度也相应变慢。针对该问题，文献[11]在算法中引入迭代步长松弛因子，并采用二分法对松弛因子的取值进行优化，同时通过矩阵变换简化了雅克比矩阵求解过程，从而缩减了迭代时间；文献[12]对迭代公式进行改进和修正，降低了因初值偏差给收敛性带来的影响;文献[13]建立迭代约束条件，使迭代能在合理范围内进行;文献[14]提出减少非线性方程数量和迭代变量约束的方法，提高了方程组求解的效率。然而，对于RV减速器主轴承，未知数和方程组数量较多，即使采用优化算法，也难以快速得出结果[15]。文献[16]提出可将滚子轴承沿受载方向视为对称，非承载区滚子受力情况视为相同，减少了方程数量，使未知参数减少近一半，从而快速计算；但在大扭矩作用下，RV减速器轴承载荷分布复杂，在三维空间内并不沿载荷方向对称分布，该方法理论上不再适用。

鉴于上述原因，在建立RV减速器主轴承(角接触球轴承)拟静力学模型的基础上，针对球数较多导致非线性方程组数量成倍增加，求解难度增大的问题，提出一种复杂工况下的简化分析方法，并从计算速度和分析精度两方面与原方法进行对比。

1 RV减速器主轴承拟静力学模型

为便于表述，省略部分球，角接触球轴承球的角位置关系如图1所示，以轴承中心为原点，轴向中心线为z轴，建立坐标系Oxyz。球之间的夹角Δψ=2π/Z(Z为球数)，设定第1个球的位置角为γ，则第j个球的位置角ψj=2π(j-1)/Z+γ。

图1 球角位置示意图Fig.1 Diagram of ball angle position

在力Fx，Fy，Fz和力矩Mx，My作用下，轴承发生非线性偏移，原有几何接触关系也发生改变。假定轴承外圈固定，则第j个球的中心和内外圈沟曲率中心的位置关系如图2所示。若内圈沟道相对外圈沟道分别沿x，y，z轴方向产生偏移δx，δy，δz，绕x，y轴中心线方向产生角度偏转θx，θy，则在位置角ψj处内外圈沟曲率中心的轴向距离A1j和径向距离A2j可表示为

图2 载荷作用前后第j个球中心和内外圈沟曲率中心的位置关系Fig.2 Position relationship between j-th ball center and curvature center of inner and outer groove before and after loading

(1)

Gi=Dpw/2+(fiDw-Dw/2)cosα0,

式中：A为受载前轴承内外圈沟道中心的距离；α0为轴承初始接触角；Gi为内沟道转动半径；Dpw为球组节圆直径；Dw为球直径；fi为内沟曲率半径系数。

为简化计算，引入变量X1j，X2j，分别表示受载后球中心到外沟曲率中心之间的轴向和径向距离。根据勾股定理可得

(A1j-X1j)2+(A2j-X2j)2-[(fi-0.5)Dw+δij]2=0,

(2)

式中：fe为外沟曲率半径系数；δij，δej分别为受载后内、外圈沟道的法向变形。

用A1j，A2j，X1j，X2j分别表示受载后轴承内、外圈的实际接触角αij，αej,即

(3)

为减少计算量，提高迭代速度，联立(2)，(3)式，将δij，δej，X1j，X2j用αij和αej表示，可使未知数减半，其转换公式为

(4)

对垂直于轴承轴线并通过第j个球中心的平面进行分析，球受到内外圈沟道接触载荷Qij和Qej、离心力Fcj、陀螺力矩Mgj和摩擦力作用(图3)。若非共面的摩擦力很小，可以假设陀螺力矩Mgj完全被球与外圈沟道接触区的摩擦力所阻止，取陀螺力矩作用控制系数λij=0，λej=2，若条件不满足，则取λij=1，λej=1。

图3 第j个球所受载荷Fig.3 Load on j-th ball

由赫兹接触理论可知任意位置角ψj处球的法向载荷与法向变形的关系为

(5)

式中：Qij，Qej分别为内、外圈与球的法向接触载荷；Kij，Kej分别为内、外圈沟道位移-载荷系数。

单个球所受离心力Fcj为

(6)

式中：m为单个球质量；ωmj为球公转角速度。

陀螺力矩Mgj可表示为

Mgj=JωmjωRjsinβj，

(7)

式中：J为球转动惯量；ωRj为球自转角速度；βj为球姿态角。

由图3球受载情况可知单个球在竖直方向和水平方向的受力平衡，平衡方程为

(8)

根据轴承整体所受力和力矩的平衡关系，可得轴承平衡方程组为

。(9)

2 简化分析方法

传统拟静力学方法通过(8)，(9)式迭代求解，在此基础上，针对RV主轴承的多球特性，设计了1套RV减速器主轴承拟静力学模型简化分析方法，计算流程(图4)为：

图4 RV减速器主轴承拟静力学分析流程Fig.4 Analysis process of quasi-static model of main bearing for RV reducer

1)假定轴承处于静止状态，采用静力学方法求解轴承在静载荷下的内外圈沟道接触角、位移和变形等参数。以静力学计算结果为基础，求解轴承运转时各零件的速度、陀螺力矩、离心力等参数。

2)假定轴承位移参数δx，δy，δz，θx，θy不变，且第1个球的位置角γ为0，以静力学算法求解的位移和角度作为初值，对 (8)式进行迭代，求得轴承内、外圈动态接触角αij和αej。

3)将接触角代入(9)式进行迭代，求得新的轴承位移、法向变形以及所受载荷等参数。判断新位移参数δx，δy，δz，θx，θy是否达到平衡，若是则输出结果，若否则更改第1个球的位置角γ，重新计算参数，不断重复直至位移参数满足精度要求。

该流程中迭代算法以牛顿-拉弗森算法为基础，增加迭代步长松弛因子，保证每次迭代都使方程的绝对值减小，避免迭代跳出范围，造成不收敛。同时，对角度迭代中的变量进行判断和修正，避免出现死循环。

该算法中方程组数量为2Z+5，RV主轴承球数较多，则方程组求解易出现迭代缓慢，难以达到精度等问题，有必要对其进行简化。因为球排列密集时，相邻球受力相似，接触角相近，假设相邻k个球接触状态一致，在计算中将其作为完全相同的零件进行处理，进而成倍减少方程组数量。

若原球数Z可被k整除，则简化后的球数N=Z/k，第j个球的位置角ψ′j=2π(j-1)k/Z+γ，则(9)式中x方向受力平衡方程可转换为

(10)

若Z不能被整除，且余数为h，则球数N=[Z/k]+1，(10)式可转换为

(11)

同理可对其他几个力和力矩平衡方程式进行简化，替代(9)式进行计算。

3 实例分析

以某减速器用主轴承H76/182RV角接触球轴承为例分析，其主要结构参数见表1。

表1 H76/182RV角接触球轴承主要结构参数Tab.1 Main structural parameters of H76/182RV angular contact ball bearing

轴承转速n取40 r/min，施加径向载荷Fy=4 000 N，轴向载荷Fz=13 720 N，力矩载荷My=2 450 N·m，按k个球进行分组，分别取k=1，2，3，4(k=1表示没有简化的情形)。采用上述简化模型计算轴承第1个球与内圈的法向载荷以及接触角，其结果如图5和图6所示。由图5可知：当k为2，3，4时，球所受内圈的法向载荷与未简化时的法向载荷有相同的分布趋势；k取2时，计算结果与未简化模型结果几乎一致，k值增大，求解结果与未简化模型结果差异增大，但误差仍能满足基本的工程需求。由图6可知:简化前后内圈接触角曲线分布几乎相同。由此可知简化模型是合理的。

图5 简化与原算法计算所得第1个球与内圈的法向载荷Fig.5 Normal load of first ball and inner ring calculated by simplified and original method

为进一步检验算法是否在不同工况下都适用，根据RV减速器所能承受的最大载荷和转速，分别取轴承转速n为20～200 r/min，轴向载荷Fz为1 372mN，径向载荷Fy为500mN，力矩载荷My为245mN·m(m为工况载荷系数，m=1，2，…，10)。取k为1，2，3，4，记录不同工况下程序实际计算时间，结果见表2。并以内外圈沟道在x方向的相对位移δx为参数，计算在不同工况下简化算法与原算法的相对误差，结果如图7和图8所示。

表2 不同工况下简化算法的计算时间Tab.2 Calculation time of simplified method under different operating conditionss

图7 转速为40 r/min时不同载荷下内外圈沟道相对位移δx的相对误差Fig.7 Relative error of relative displacement δx of inner and outer raceway under different loads at rotational speed of 40 r/min

图8 Fy=5 000 N，Fz=13 720 N，My=2 450 N·m时不同转速下内外圈沟道相对位移δx的相对误差Fig.8 Relative error of relative displacement δx of inner and outer raceway under load of Fy=5 000 N,Fz=13 720 N,My=2 450 N·m and different rotational speeds

由表2可知：采用简化分析方法能够有效地提升计算效率，减少计算时间。由图7、图8可知，不同转速和载荷工况下简化算法与原算法的相对误差都在3%以内。故可认为载荷和转速对于简化分析方法的求解精度影响不大，简化算法在任意载荷和转速工况下都具有适用性。

4 结束语

建立了RV减速器主轴承拟静力学分析模型，并针对其多球特性导致的数值分析计算量大，求解缓慢的问题，提出了一种简化分析方法，该方法假设相邻k个球所受的接触载荷及接触角相同，可以简化为1个零件进行计算。并以某减速器主轴承H76/182RV角接触球轴承为例，对该方法进行验证，结果表明简化方法能有效提高计算效率。当k=2，3，4时，简化分析方法误差都小于3%，可以满足工程需要。该简化方法的计算精度受载荷和转速影响较小，误差在较小范围内波动，可以认为该简化分析方法适用于不同的载荷和转速工况。提出的方法不仅可以用于RV减速器主轴承的拟静力学分析，还适用于球数较多的其他角接触球轴承。