H-(p,r)-η不变凸多目标规划及其最优性条件

牛 欢，高晓艳

(西安科技大学 理学院，陕西 西安 710600)

0 引言

多目标规划是数学规划的一个分支，多目标最优化思想最早是在1896年由法国经济学家V.Pareto提出来的。多目标规划在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域有着广泛应用。凸函数是现代数学中最广泛使用的概念之一，鉴于其在数学规划理论与应用上的重要性，有许多研究都致力于推广这些概念以扩大其应用范围。文献[1-3]研究了弧式连通函数和(p,r)-不变凸函数，这是本文的重要思想来源。文献[4-9]研究了各种广义不变凸函数以及各类广义凸性假设下的若干解的最优性条件。文献[10-15]研究了各类凸函数的对偶型。文献[16-18]研究了一些解决多目标规划的其他方法。文献[19-20]给出了多目标规划的两种实际应用。在此前提下，本文研究了一类新的不变凸函数，期望对更多实际问题提供理论支持。

本文是在前人对凸函数的推广基础上，利用弧式连通的梯度和(p,r)-不变凸函数，提出了一类新的凸函数概念，即H-(p,r)-η不变凸函数，以及相关一系列函数。在H-(p,r)-η不变广义凸性假设下，利用数学分析及反证法等方法，证明了多目标规划的解是弱有效解的若干最优性充分条件。

1 预备知识及函数定义

类似地，可以定义x1

记I=(1,1,…,1)T∈Rn。

定义1[2]设集合X⊂Rn，如果对于每对点x1,x2∈X，都存在一个定义在单位区间[0,1]⊂R上的，取值为X中向量的连续函数Hx1,x2(·)，满足：

Hx1,x2(0)=x1，Hx1,x2(1)=x2。

称X为弧式连通集，简记为AC，将Hx1,x2(·)称为连结x1,x2的弧。

定义2[1]设集合X⊂Rn，如果对于每对点x1,x2∈X，存在不恒为零的向量函数α(x1,x2):X×X→X，使得定义在区间[0，1]上的连续向量函数Hx1,x2(·)，满足:

Hx1,x2(λ)=x1+λα(x1,x2)，λ∈[0,1]，

仍在X中，称X为广义弧式连通集，简记为GAC，称Hx1,x2(·)为由x1生成的弧。

易见在GAC中，必有Hx1,x2(0)=x1，选取α(x1,x2)=x2-x1，必有Hx1,x2(1)=x2，由此可知，AC必是GAC。

定义3[1]假定X⊂Rn是一个GAC，f是X上的实值函数，如果对于每对点x1,x2∈X，f满足关系式

f(Hx1,x2(θ))≤(1-θ)f(x1)+θf(x2)， 0≤θ≤1，

称f是X上的广义弧式连通函数，简记为GCN。

定义4[1]f(x)是定义在弧式连通集X⊂Rn上的实值函数，对任意的x1∈X,x2∈X，存在可微弧Hx1,x2，f在t=0关于Hx1,x2的右导数f+(Hx1,x2(0))存在，即：

f[Hx1,x2(t)]=f(x1)+tf+(Hx1,x2(0))+θδ(t)。

定义5[3]设f:M→R是非空开集X⊆Rn上可微函数，p,r是任意实数，η:M×M→Rn是一个向量函数，u∈X，如果函数f对所有x∈M都满足：

则称f是在M上u处关于η的(p,r)-不变凸函数。

在弧式连通凸函数以及(p,r)-η不变凸函数基础上，本文定义如下广义凸函数。

定义6 设X∈Rn是一个广义弧连通集，f是X上的实值函数，p,r为任意实数，u∈X，如果函数f对所有x∈X，存在向量函数φ：X×X→Rn和η:X×X→Rn，使得：

成立，则称f在u点处是关于η的H-(p,r)-η不变凸函数。若函数f在X中的每一点u都是关于η的H-(p,r)-η不变凸函数，则称f在X上是H-(p,r)-η不变凸函数。

定义7 设X∈Rn是一个广义弧连通集，f是X上的实值函数，p,r为任意实数，u∈X，如果函数f对所有x∈X，存在向量函数φ：X×X→Rn和η:X×X→Rn，使得：

成立，则称f在u点处是关于η的H-(p,r)-η拟凸函数。若函数f在X中的每一点u都是关于η的H-(p,r)-η拟凸函数，则称f在X上是H-(p,r)-η拟凸函数。

定义8 设X∈Rn是一个广义弧连通集，f是X上的实值函数，p,r为任意实数，u∈X，如果函数f对所有x∈X，存在向量函数φ：X×X→Rn和η：X×X→Rn，使得：

成立，则称f在u点处是关于η的H-(p,r)-η伪凸函数。若函数f在X中的每一点u都是关于η的H-(p,r)-η伪凸函数，则称f在X上是H-(p,r)-η伪凸函数。

严格H-(p,r)-η不变凸函数、严格H-(p,r)-η拟凸函数和严格H-(p,r)-η伪凸函数的定义可类似给出。

以上给出的新函数定义，扩大了广义凸函数的种类，也拓展了凸函数能解决的实际问题的范围。

2 最优性充分条件

考虑如下多目标规划问题的若干Kuhn-Tucker最优性充分条件：

(1)

记X0={x∈X⊂Rn|g(x)=(g1(x),g2(x),…,gm(x))T≤0,}。

定义9 设x0∈X0，如果不存在x∈X0，使得f(x)≤f(x0)(或f(x)

定理1 假设x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果满足下列条件：

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…,k)是关于向量函数η的H-(p,r)-η不变凸函数，μjgj(j=1,2,…,m)是关于向量函数η的H-(p,r)-η不变凸函数。

则x0是(VP)的弱有效解。

证明反证。假设x0不是(VP)的弱有效解，由定义知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

(2)

(3)

对fi(x)-fi(x0)<0,μjgj(x)≤0，有：

(4)

(5)

所以

(6)

(7)

(8)

(9)

与式(8)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，证毕。

定理2 假设x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果满足下列条件

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…,k)是关于向量函数η的H-(p,r)-η伪凸函数，μjgj(j=1,2,…,m)是关于向量函数η的H-(p,r)-η拟凸函数。

则x0是(VP)的弱有效解。

证明反证。假设x0不是(VP)的弱有效解，由定义知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

由fi(x)-fi(x0)<0,i=1,2,…,k和μjgj(x0)=0，得：

由定理2中条件(ii)得，对(VP)的可行解x(x0∈X0)，有：

(10)

(11)

(12)

(13)

与式(12)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，证毕。

定理3 假设x0是(VP)的可行解(即x0∈X0)，如果满足下列条件

(b)μjgj(x0)=0。

(ii)fi(i=1,2,…，k)是关于向量函数η的H-(p,r)-η拟凸函数，μjgj(j=1,2,…,m)是关于向量函数η的H-(p,r)-η伪凸函数。

则x0是(VP)的弱有效解。

证明反证。假设x0不是(VP)的弱有效解，由定义知，存在(VP)的可行解x，使f(x)

由fi(x)-fi(x0)<0,i=1,2,…,k和μjgj(x0)=0，得：

由定理3中条件(ii)得，对(VP)的可行解x(x≠x0)，有

(14)

(15)

(16)

(17)

与式(16)矛盾。

所以x0是(VP)的弱有效解，证毕。

3 结束语

(1)本文在弧式连通凸函数和(p,r)-不变凸函数的基础上，定义了一类新的广义凸函数—H-(p,r)-η不变凸函数，以及伪凸、拟凸、严格伪凸、严格拟凸等一系列函数。

(2)基于新函数的广义不变凸假设，研究了一类多目标规划问题的解，建立并证明了多目标规划问题的可行解是弱有效解的若干最优性充分条件。

后续将对这类新函数的对偶规划进行研究，证明若干对偶性定理。本文的研究，扩大了广义凸函数的种类，丰富了现有的理论成果。