数学文化在《等比数列》中的渗透性教学

金正静

【摘要】在《上海市中等职业学校数学课程标准》的基本理念中，充分肯定了数学的文化价值，特别是在“课程基本理念”中指出，数学课程要体现数学文化，中等职业学校数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展的趋势，数学科学与社会发展之间的相互作用，数学美学价值，数学家的敬业、创新精神等均体现了数学的文化价值.中职学生通过数学学习可受到数学文化的熏陶，有助于学生数学素养的提高.近年来，数学文化成为中职数学教育界关注的热点之一，数学文化已逐步从理念走进中职数学课堂.

【关键词】中职数学;数学文化;等比数列

引 言

所有的学问都是一种智慧，更是一种境界.数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分.南开大学顾沛教授在谈及数学文化的内涵时，从狭义和广义两个方面做了阐述.从狭义上说，数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展过程;从广义上说，除了狭义的内容外，数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分及数学与各种文化的关系.

上海市教委教研室中职数学教研员沈翔老师强调在数学学科中实施素质教育需要“渗透数学文化，善用技术手段”，特别提到渗透数学文化和善用技术手段是目前数学教学变革的两大重要抓手，希望广大中职数学教师在保持原有优点的基础上，加大对与课程相关的数学文化的关联与渗透，加强数学学科的技术手段以辅助教学.从数学文化的高度重新认识中职数学的育人功能并正确定位中职数学课程，倡导用数学文化滋养数学课堂，树立数学的文化形象，展现数学的文化魅力，必定会对中职数学教师的教学思路、数学课程的建设和教学方法的选择产生深远的影响.

华东师范大学张奠宙教授提议，我们数学教师在对数学文化有一个大体的认识之后，在数学教学课堂中围绕课堂核心知识开展一些基于数学文化的教学设计，培养学生的数学学习兴趣，让学生在学习数学的过程中受到一定的文化感染，产生文化共鸣，体验数学的文化品位和世俗的人情味.以下是笔者针对中职数学中“等比数列”一课就等比数列的概念、等比数列的通项公式、等比中项和等比数列求和这一知识链围绕数学文化的渗透性教学展开的一些思考和探索.

一、在数学名题中情境导入——等比数列的概念

知识课堂谓之器，文化课堂谓之道.数学文化博大精深，数学经典名题大都立意深远、构思精巧、内涵丰富.

1.教材引入呈现

上海教育出版社2015年中职数学教材第六章第3节“等比数列的概念”的第一段是这样引入的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是中国古代战国时期惠施的名言.其含意是：一尺长的棍子，第一天截取一半，以后每天截取余下的一半，永远也截不尽.

2.课堂授课处理

这一段引入包含着两个文化知识，一个是事物具有无限可分性，这是极限的思想;另一个是有限和无限的统一，有限之中有无限，这是辩证的思想.学生对此很感兴趣，教师顺势引导学生：如果把每日截取后所余的长度记录下来，可以得到数列12，14，18，116，132，…，学生不难观察得到这个数列从第二项起，每一项和前一项的比值都是12，由此引入等比数列的概念.这样的课堂引入，有利于学生学习主体性的发挥，让学生体会到古代数学家的思想方法，体会到数学的哲学真谛和文化属性.

这样的数学名题还有很多，古代数学著作 《九章算术》中有这样一个问题：“今有牛、马、羊食苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：‘我羊食半马.马主曰：‘我马食半牛.今欲衰偿之，问各出几何？”其大意为：“今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：‘我的羊所吃的禾苗只有马的一半.马主人说：‘我的马所吃的禾苗只有牛的一半.现打算按比例偿还，则他们各应偿还多少？”这其实就是一个等比数列的实际模型.在中外优秀传统文化中挖掘素材，通过数学经典名题引入等比数列课题，在经典名题营造的数学文化氛围中，让中职学生感受数学的思维方式，体验数学的理性精神.

二、在趣味数学中强化新知——等比数列的通项公式

如果对等比数列的文化素材挖掘止于此，那么只能停留在数学文化应用的较低层次，即仅在数学课堂上以数学史提高学生兴趣而已.只有将数学文化渗透到整个“等比数列”知识链的探究学习中，才能拓宽学生的视野，培养学生全方位的认知能力和思考能力，这才是数学文化应用的较高层次.

毕达哥拉斯树是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”.

毕达哥拉斯树以如下方式生长：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边為边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长;再将这两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去.设第n次生长得到的新小正方形的个数为an，如下表.

学生容易观察得到，新的小正方形个数an是上一次生长的小正方形个数的2倍.根据等比数列的概念，可以判断出{an}是首项a1=2，公比q=2的等比数列.教师这时可以设置问题：经过10次生长后，得到新的小正方形个数为几个？学生利用刚学的等比数列的通项公式an=a1qn-1（n≥2，n∈Z），很容易得到当n=10时，a10=1024.

看着视频中密密麻麻不断冒出的小正方形，同学们不禁感叹：“公比q=2就可以使等比数列的项增长得如此迅猛！形与数结合竟然有这么大的威力！”

有关等比数列的经典趣味数学还有《棋盘上的麦粒》.根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请您在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二个格子里放2粒，第三个格子里放4粒，第四个格子里放8粒，以此类推，直到最后第64格放满为止.”每个格子的麦粒数{an}构成首项a1=1，公比q=2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可以得到第64个格子里的麦粒数是a64=263，这是一个天文数字.

三、在经典艺术中继续探究——等比中项的概念

古希腊著名数学家普洛克拉斯曾盛赞过数学的美学价值，他认为数学的本质就是美，他曾发出这样的感叹：哪里有数学，哪里就有美的存在.的确，数学中包含着丰富的美，但是这种美是一种内隐的美.之所以说它是内隐的美，是因为这种美一般都蕴含于数学的知识内容或者数学的思想方法之中，学生无法直观感受到它.所以教师在日常数学教学中要充分挖掘教材中的美学因素，将这些美学因素充分展示给学生，加强以数学美育为主的非智力品质的熏陶，引导和启发学生去发现、感受和欣赏这种数学之美，感悟数学知识中蕴藏的文化内涵.

毕达哥拉斯的一句名言很有启发性：“凡是美的东西都有共同的特性，那就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致.” 黄金分割比具有严格的比例性、艺术性、和谐性，是公认的世上最能引起美感的比例.古往今来，黄金分割比在艺术创作中被大量应用，达·芬奇的名作《蒙娜丽莎的微笑》中有着大量的黄金分割比.我们当代人熟悉的苹果logo也采用了黃金分割比，用数学公式和标准几何图形来设计图标，能够赋予图标一种神圣的美感;黄金分割比也进入了2019年的全国高考数学卷.黄金分割比在建筑中也被广泛应用，如古今中外都有这方面的例子，一些伟大的建筑壮举中都可以找到黄金分割比的影子，如古希腊著名的建筑——帕特农神庙代表着古希腊建筑和雕刻艺术的最高水准，从神庙遗留下来的柱廊中，可以看出立面高与宽的比例为19∶31，接近“黄金分割比”;东方明珠电视塔是上海的标志性文化景观之一，它的第二个观光台基本上处在黄金分割点的位置.

在欣赏了用黄金分割比创作的诸多艺术和建筑作品后，教师引入黄金分割比的定义：如图4所示，点C把线段AB分成两个部分，若BCAC=ACAB，则称这个比值为黄金分割比.

从数列角度看，BC，AC，AB正好构成等比数列，AC称为BC，AB的等比中项，至此引入等比中项的概念就水到渠成了.

四、在诗歌意境中深入学习——等比数列的求和公式

数学和诗歌都是人类思想的产物，在某些意境上相通.张奠宙先生认为，“数学是人做出来的，数学的思考过程必然会打上人文的烙印，数学意境和人文意境之间，是彼此相互借鉴的”.数学文献中的诗歌告诉我们：历史上数学和人文不像我们今天所看到的那样彼此隔阂、相互独立.在数学文化日益受到数学教育工作者们重视的今天，重新审视这些诗歌，可以带给我们更多的感悟.

比如，我国明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》中有一首“宝塔装灯”诗：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增;共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”该诗的意思是：在一座七层的宝塔中，共装有381盏灯，从塔顶向下计数，每下面一层所装灯盏数都是上一层的2倍，问塔顶装有几盏灯？若将塔的顶层灯盏数记为首项a1，从顶层起依次向下数，每层灯盏数构成公比q=2的等比数列，利用等比数列求和公式Sn=a1（qn-1）q-1（q≠1），就可以获得塔顶的灯盏数.

再如，我国《孙子算经》中也有记载：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色.问：各几何？共几何？题目中堤、木、枝、巢、雏、毛、色的数目构成首项a1=9，公比q=9的等比数列，利用等比数列通项公式可以回答“各几何”的问题，利用等比数列求和公式可以回答“共几何”的问题.古代还有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”（注：《孟子》共34685字，“一倍多”指一倍）由此诗知该君第二日读的字数为多少，设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为a（1-23）1-2=7a=34685，解得a=4955，则2a=9910，即该君第二日读的字数为9910.

以上这些诗巧妙地将等比数列隐含于其中，可见诗人的数学知识是何等渊博.在中职数学教学中将这些数学诗歌恰当地有机融入课堂，可以让学生在充分感受诗歌中的数学美，感悟数学文化，增进数学学习记忆，同时增强学习内容的趣味性.

五、在现实热点中巩固升华——等比数列的实际应用

拐点是数学名词，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点.早在2020年2月初，钟南山院士就曾预测，拐点将出现在2月中旬或下旬，后面的事实证明，拐点如期而至.钟南山院士团队是通过什么进行准确预测的呢？那必定是高度拟合的数学模型，用等比数列模型进行大致模拟.

如果把每个感染病毒的患者平均传染的人数设为q（每个病人的传染力，相当于传染系数），每日新增确诊数构成数列{an}，则{an}可以近似看成以q为公比的等比数列.若首项（第一天确诊数）a1=1，公比q=2，由等比数列通项公式可知，每日新增确诊数an=a1qn-1=2n-1，每日新增确诊病例呈指数级增加，由等比数列求和公式，累计确诊数Sn=a1（1-qn）1-q=2n-1.

若每日新增确诊病例增到20000例时，通过医护人员的努力和全国人民的居家隔离，每个病人的传染力q降为0.5，每日新增确诊数an=a1qn-1=20000×12n-1，则每日新增确诊病例渐渐减少并最终趋于零.在累计确诊病例总数达到50000例之后，累计确诊数为Sn=50000+a1（1-qn）1-q=50000+400001-12n，累计确诊病例总数将最终趋于50000.

实际上，由于受各种因素影响，每个病人的传染力q一直处于连续动态的变化中.q每减少的一点，背后都是国家和抗疫前线医护人员的巨大付出，而拐点，就是q=1的那天.

结 语

数学的教学内容有两条主线，一条是知识主线，另一条是文化主线.知识主线是显性的，文化主线是隐性的，散落于知识的各个部分，隐藏于数学知识的背后，需要我们教师不断去发现、挖掘、体会，从知识中将其提炼出来.知识需要衔接，文化需要传承，以题论题的教学方式在很大程度上只会增加中职学生的挫败感.以知识为载体，让文化渗透其中的中职数学课堂，可以让中职学生在掌握数学科学价值的同时，感悟到数学的思想、方法、精神及数学的美学价值，数学科学与社会发展之间的相互作用，并能够自觉或不自觉地运用数学知识解决实际问题，以提高学生的数学素养，让数学更具感染力.

由于数学文化内涵的丰富性，所有符合数学文化理念的案例一般都具有多元化的视角.秉承“文化关联”的原则，在保留核心数学知识的同时，中职数学教师有责任向学生展示数学文化的各个侧面，培养学生的数学学习兴趣，实现数学的人文关怀，让学生在社会文化的大背景下去看待和理解数学，让他们领略数学的美，经历数学的严谨，学会敬业和求真.

【参考文献】

[1]张奠宙，木振武等.数学文化呈现的若干教学案例[J].中学数学教学参考，2008（7）.

[2]白露.例谈数学文化在中学数学教学中的渗透[J].数学教学通讯，2017（27）.

[3]黄之.数学素养观下的中学数学教学[J].中国数学教育：高中版，2019（6）.

[4]吴琪.用数学文化浸润高中数学课堂[J].教育纵横，2018（23）.