关注方程思想，重视建模应用

唐倩

【摘要】数学方程是小学数学教学中的重点内容，笔者在实际教学中发现，运用方程解决实际问题对学生来说有些困难.本文追本溯源，帮助学生逐步建立方程的模型，继而强化学生运用方程的意识，体会方程解决实际问题的优势，旨在帮助学生掌握用方程解决实际问题的能力，从而提高学生的解题能力.

【关键词】方程;方程思想;方程模型;方程意识

“简易方程”安排在苏教版五年级下册第一单元，方程作为在一种新的思想方法，是学生从算术思维到代数思维的一种过渡，学生需要打破已有多年的算术思维的模式，运用方程来解决实际问题，对学生数学素养的提高有着重大的意义.在实际教学过程中，在等式的基础上引入方程的概念，学生都能够脱口而出：“含有未知数的等式是方程.”學生也能利用等式的性质解决一些简易方程，但是在实际解决问题过程中，学生往往不会灵活选择方程来解决实际问题.

一、关注方法——方程思想的拾起

简易方程这一单元在解决实际问题过程中，出现了这样一类题，要求选择合适的方法解决下面的问题.

1.少先队员参加植树活动，五年级去了205人，四年级去的人数是五年级的1.2倍少12人，五年级去的人数比六年级的1.5倍少5人.

（1）四年级去了多少人？

（2）六年级去了多少人？

这道题的设计意图很明显，第一个问题利用算术方法方便解决，第二个问题利用方程更容易解决，但是在学生呈现的作业答案，两种方法使用非常随意，甚至出现方法对调的现象，让我困惑不解.

在一次测试中，我特意关注了这样的现象，解决实际问题中有这样一道题：李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米.如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？

看完题目后，相信老师心中已经有了判断，这是一道列方程解决相遇问题的典型习题，可是学生的正确率以及方法的选择让我很惊讶.我统计了我校五年级四个班161名学生的解答情况，结果如下.

结果显示，不同班级正确率稍有差异，但是从整体上看这道解决实际问题的正确率较为均衡，都不算高.方法选择上，十分明显的是选择算术方法的多于选择方程方法的.学生为什么会选择算术方法而不选择方程解答呢？我十分疑惑.课后随机询问了年级中的几名同学，他们几乎一致地告诉我，方程的解答过程太烦琐了，需要写“解”“设”，解方程也比较麻烦.还有一部分学生表示，当时没有想到解方程这种方法，就用算术方法做，结果做错了.

看来，想要让学生学会列方程解决实际问题，就要从根源抓起，让学生真正理解方程的内涵，让学生心中有方程，甚至喜欢上方程.

二、追本溯源——方程模型的建立

在学习方程之前，学生从来没有接触过方程，虽然之前教师没有提出方程的概念，但是学生实际上已经有了方程的意识.那么，方程到底从何而来呢？

（一）四则运算中渗透方程意识

一年级开始就有类似的题：（ ）+3=10，要填出括号里的数，实质上就是在求未知数.记得当时教学时会让学生思考，几加3等于10呢，这就是方程的观念.看来从一年级开始就有方程意识的渗透！之后的运算中像这样的练习更多了，比如△×△×△=8，△+□=11，△=（  ），□=（  ）.在这样一次次练习中，“方程”已悄然在孩子心中播下了一颗种子.

（二）用字母表示数铺垫方程概念

五年级上学期学习用字母表示数，这是一个独立单元，教师往往就教材而教，忽略了这部分内容与前后的联系，这一单元实际就是为了学习方程作铺垫的，让学生学会用含有字母的式子表示数以及数量关系，正确厘清数量之间的关系，并学会用含有未知数的表达式列方程解决实际问题.

（三）简易方程构建方程模型

《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.” 我觉得方程是建立未知与已知之间等量关系的模型.在这一单元教学过程中要循序渐进，让学生有效地参与学习和探索活动，让学生在自主探索和合作交流中逐步理解方程的含义和解法，经历列方程解决实际问题的过程，不断体会方程的特点和实际应用价值.在初步认识方程中，教师可利用天平这一工具进行演示，让学生能够直观地感受到数量之间的等量关系，体会方程的特点及含义，也是直观建立方程模型的过程.

对学生来说，从具体的、确定的数过渡到用字母表示未知的、可变的数，再由列算式解决实际问题到列方程解决实际问题，这是认识上的一次飞跃，更是思维的一个大转折.在概念学习的过程中教师提前向学生渗透方程建模的意识与方法，把握方程模型最核心的价值，有利于帮助学生突破列方程解决实际问题的难点.

三、指导过程——方程应用意识的植入

（一）提高学生解方程的能力

部分学生不愿意用列方程解决实际问题，就是因为他们解方程能力薄弱.在列方程解决实际问题过程中，有的只需要一步计算，而有的需要两步或者三步计算.在教学解方程的过程中，教师通常要求学生利用等式的性质来解方程，学生也初步掌握了x+a=b，x-a=b，ax=b和x÷a=b等一步计算方程的解法.对于一些特别的方程，例如a-x=b，a-bx=c，教师需要启发他们灵活运用已有经验以及等式的性质去解决，进一步理解方程的特点及解法，提高解方程的能力.

（二）突出方程方法的优势

在学生由算数方法向方程方法过渡时，教师在注重方程格式的同时，要突出运用方程解决实际问题的优越性.教师可以设计同样一道题目，用算数方法解起来很烦琐，而用方程解起来却轻而易举，让学生对数学方程的学习产生兴趣.

例如，学生错误率极高的这道练习：少先队员参加植树活动，五年级去了205人，四年级去的人数是五年级的1.2倍少12人，五年级去的人数比六年级的1.5倍少5人.

（1）四年级去了多少人？

（2）六年级去了多少人？

教师要引导学生找出题中的数量关系，四年级的人数等于五年级人数×1.2-12，由于五年级人数是已知的，因此直接列算式非常方便.六年级人数的数量关系是五年级人数=六年级人数×1.5-5.数量关系中已知的是五年级人数，六年级人数是未知的，为了顺应思维顺序，可以设六年级人数为x，这样自然而然地就可以列方程解决了.

我们还可以通过两种方法的對比，进一步让学生体会方程的优势.求六年级的人数的关系式是：五年级人数=六年级人数×1.5-5.运用方程解决是顺向思维，如果一定要运用算术方法解决，那我们就要逆向思维了，难度一下子提升了.条件“五年级去的人数比六年级的1.5倍少5人”，已经知道的是五年级的人数，那我们可以先算出六年级人数的1.5倍，也就是五年级的人数多5人，列式为205+5=210（人），也就是210人是六年级的1.5倍，六年级的人数为210÷1.5=140（人）.相信通过这样的对比练习，学生能够领悟到算术方法和方程之间的联系与区别，更能凸显出方程在这一类题型中的优势所在，也有利于以后解题方法的选择.

（三）依靠常见数量关系列方程

列方程解决实际问题最关键的就是厘清条件与问题之间的数量关系，按照顺向思维顺序，利用未知数，列出方程，并且解方程.因此把握数量关系是列方程解决问题的前提条件.题目千千万万，有一些最基本的数量关系是不变的，比如：涉及行程问题时，要能想到：速度×时间=路程，涉及购物问题时，要能想到：单价×数量=总价，还要想到数量之间的比较，数量之间的倍数关系等.其他一些较为复杂的数量关系实际上就是由这些基本的数量关系组合而成的.依靠常见的数量关系，能够帮助我们逐步探究出正确的等量关系，从而依据等量关系，列出正确的方程.

为了进一步突破找准数量关系这一难点，教师可以设计找等量关系的专项练习，帮助学生学会根据不同的具体情境发现其中的等量关系并列出方程，学会判断哪些等量关系能列出方程.

（四）练习中培养学生用方程解决问题的意识

为了巩固列方程解决实际问题这一新本领，强化学生运用方程模型的意识，教师在教学后安排适量的练习是非常有必要的.教师还要有针对性地设计一些稍复杂的问题，让学生在解决问题的过程中，体会方程的优越性，培养他们用方程解决问题的意识.

例如，在列方程解决问题练习中，可以设计这样的题目：某市实行阶梯水价，规定每户每月用水量在标准量以内部分的水价为3元/ 吨，超过的部分水价为5元/吨，李阿姨家上个月用水 13吨，交水费 49 元.该市每户每月用水的标准是多少吨？

解决问题先找数量关系，规定部分的水费+超过部分的水费=49元.这样的问题用算术方法解决比较复杂，而用方程解答则思路很顺畅，很容易理解等量关系，求出正确的结果.当然在解决问题过程中教师不需要每题都明确用方程解决，先让学生尝试自己解决，在解决中发现有困难可以适当点拨，解决后也可以对比算算术方法和方程，不能光比形式上，更重要的是让学生说说思维的过程.在这样自己解答，对比方法的过程中，学生能够清晰地感知到用方程解决问题的优势，并自觉地构建方程思想.

以上是笔者在教学用方程解决实际问题过程中的一些发现与思考.我知道方程教学也只是代数领域的一个垫脚石，能为今后学习更复杂的数学问题奠定基础.因此，在方程教学中，我们要引导学生感受方程思想，体会用方程解决问题的优越性，打破学生固有思维，渗透代数思想，提高学生解决实际问题的能力.

【参考文献】

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[2]孙政.小学数学教学中渗透方程思想的策略探微[J].教育观察（中下旬刊），2015（12）：109-110.

[3]陆娴静.小学生方程学习中的常见困惑与教学对策.小学数学教育2017（Z2）：9-10.