待定系数法求一次函数解析式

郭小蔚

摘   要：从数的角度、形的角度、实际问题等三个方面引导初学者对求一次函数解析式问题进行分析，引导初学者学会用待定系法求解一次函数的解析式，为后续学习打下良好基础.

关键词：待定系数法;解析式;条件

利用待定系数法求一次函数的解析式，需要明确函数的模型，设出函数解析式，根据条件确定一次函数解析式中未知的系数，从而确定解析式.用待定系数法求一次函数的解析式一般有如下步骤：（1）找：在题目条件中寻找两组对应的函数值与自变量;（2）设：函数解析式为y=kx+b，k，b 为待定系数;（3）代：分别把两组对应自变量与函数值代入y=kx+b生成一个二元一次方程组;（4）解：解方程组求出k，b 的值;（5）回归：把解出的k，b的值回归到y=kx+b中，写出所求的一次函数解析式.

下面从三个方面对题目进行分析，引导初学者快速有效地学会用待定系法求解一次函数的解析式，为后续学习反比例函数、二次函数的打下良好的基础.

1  题目从“数”的角度展示条件

一次函数y=kx+b，（k≠0）中有两个待定系数，一个是一次项x的系数k，一个是常数项b，所以初学者在用待定系数法求一次函数解析式时要会从题目中寻找出所需的两个数据条件，列出一个以k，b为未知数的二元一次方程组，解这个二元一次方程组后就能具体写出一次函数的解析式.具体有以下四种。

1.1  开门见山型

【例题1】已知：一次函数y=kx+b，当x=-2，y=-1; 当x=3，y=-3;求一次函数的解析式.

这是最简单的待定系数法的应用，关键是一个“代”字.代的时候要注意代对字母，同时要注意不要张冠李戴.

解：∵一次函数为：y=kx+b（k≠0），

由已知条件x=-2时，y=-1，得：-1=-2k+b.

由已知条件x=3时，y=-3， 得：-3=3k+b.

两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程组

-1=-2k+b

-3=3k+b  ，解得 k=-

b=-

.

所以，一次函数解析式为y=-x-.

1.2  条件是以点坐标的形式展现

【例题2】已知：一次函数的图象过点（2，-1），（3，-3）求一次函数的解析式.

与第一种开门见山型相比，条件以点坐标的形式展现的多了一步，要求初学者会把横坐标转化为相应的x，把纵坐标转化为相应的y.

根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为：y=kx+b（k≠0），目标转化为求字母k，b的值.

由已知条件x=2时，y=-1，得：-1=2k+b.

由已知条件x=3时，y=-3， 得：-3=3k+b.

两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程

-1=2k+b

-3=3k+b， 解得k=-2

b=3  .

所以，一次函数解析式为y=-2x+3.

1.3  条件是以不等式的形式展现

【例题3】已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，-2≤y≤4，则kb的值是多少？

对于初学者来说，这是一种隐藏极深的待定系数法求解析式，初學者往往不是束手无策，就是不知道还要分类讨论.

1.由已知条件x=0时，y=-2，得：-2=0k+b.

由已知条件x=2时，y=4， 得：4=2k+b.

-2=b

4=2k+b，   解得k=-3

b=-2.

此时kb=-6.

2.由已知条件x=0时，y=4，得：4=0k+b.

由已知条件x=2时，y=-2， 得：-2=2k+b.

4=b

-2=2k+b，  解得k=-3

b=4 .

此时kb=-12 .

综上， kb的值为-6或-12.

1.4  数字以半遮面型的形式展现

【例题4】已知一次函数图象平行于直线y=-x-17且过点（2，-1），求此一次函数的解析式.

解：设这个一次函数为：y=kx+b（k≠0），

∵一次函数图象平行于直线y=-x-17，

∴k=-.

由已知条件x=-2时，y=-1，得：-1=-2×（-）+ b，

解得：b=- .

所以，一次函数解析式为y=-x-.

2  题目从“形”的角度展示条件

一次函数的图象是一条直线，因为过两点有且只有一条直线，所以初学者要学会从题目给的条件中找出两个能确定直线位置的点.正比例函数的图象是一条过原点的直线，所以只需一个异于原点的点就可以确定这条直线.

2.1  条件以图象形式直接展示一次函数与坐标轴的交点

【例题5】 已知一次函数的图象如下图1，求它的关系式.

分析： 从“形” 的角度来看，图象与坐标轴交于两点，经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点.从“数”的角度来看，坐标（2，0），（0，-3）满足解析式.

解： 设所求的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.直线经过点（2，0），（0，-3），把这两点坐标代入解析式，得

0=-2k+b

-3=b     ，   解得k=

b=-3 .

所以所求的一次函数的关系式是y=x-2.

2.2  图象半遮面型

【例题6】如图2，一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象相交于点B，求这个一次函数的解析式.

分析：本题中，一个点A的坐标是已知的，横坐标是0，纵坐标是2，另一个点B的纵坐标是为1已知的，但横坐标不知道，须从正比例函数y=-x获得.

解：把y=1代入正比例函数y=-x得x=-1.

设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），

直线经过点（0，2），（ -1，1，），把这两点坐标代入解析式，得2=b

1=-k+b，   解得k=1

b=2.

所以所求的一次函数的关系式是y=x+2.

3  题目以实际问题为背景展示条件

题目以实际问题为背景展示条件，这就需要初学者认真读题，从题目中提炼寻找出所需的两个条件.

【例题7】如图3，妈妈买了很多个形状大小完全一样的花盆想种多肉，丫丫把其中的5个花盆叠成两摞，请根据图中所给信息，求出花盆的高度高度y（cm ）与花盆个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写自变量取值范围 ）.

分析：本题是从实际问题中提炼寻找所需的两个条件.设所求的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.

条件一：当x=2时，y=11.5，得：11.5=2k+b.

条件二：当x=3时，y=17，得：17=3k+b.

11.5=2k+b

17=3k+b  ，   解得k=

b=

.

所以所求的一次函數的关系式是y=x+.

【例题8】蔬菜种植大户老张引进某种滴灌技术，要用如图所示方法粘合若干段水管，图4为水管的主视图，相邻两根水管重叠部分宽为2 cm，（1）求6根水管粘合后的长度;（2）设x根水管粘合后的总长度为y cm ，求y与x之间的函数关系式，并求出当x=30时， y的值.

分析：本题也是典型的从实际问题中寻找条件的，

条件一：当x=1时，y=35;

条件二：当x=2时，y=68，条件三：当x=3时，y=101…，设所求的一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0）.选取最简单的条件一与条件二代入得：

35=k+b

68=2k+b   解得k=33

b=2  .

所以所求的一次函数的关系式是y=33x+2.

当x=6时，y=200.当x=30时，y=992.

初学者力求能从以上三个方面分析题目，寻找出所需的两个条件，学会用待定系数法求一次函数解析式的基本思路，以解决相关问题.