二维三角晶格垂直于平面的振动模式研究

金丽珍,王行乐,上官晓霞,吴显丽,陈 昊,毛勇华,谢建平

(1.湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000；2.湖州学院 理工学院，浙江 湖州 313000； 3.维正知识产权科技有限公司，浙江 台州 318000)

晶格振动是固体物理学重要的教学内容之一[1].晶格振动的研究始于晶体热学性质的研究.但晶格振动的理论已不限于解释晶体的热性质，目前它已成为研究固体宏观性质和微观变化过程的重要理论基础.

近年来，低维纳米材料，特别是单原子的二维原子晶体材料的研究非常热门[2-7]，涵盖了绝缘体、半导体、半金属、金属和超导体，是目前凝聚态物理和材料科学领域的研究热点之一.由于受到量子限域效应的影响，二维晶体材料呈现出与三维材料迥然不同的独特性质，在光电器件、能源及催化等诸多领域展示出了巨大的应用前景.

二维晶体材料的诸多性质与晶格振动密切相关.当前二维晶格平面内的振动研究较多[8-14]，但二维晶格垂直于平面的振动研究较少.本文以二维正三角晶格为研究对象，讨论其垂直于平面的晶格振动，利用简谐振动模型，在最近邻近似(第一近邻)下讨论晶格振动的动力学模型、运动方程和方程的解，计算推导倒空间中第一布里渊区内3个特殊方向上的色散关系，并利用Matlab软件作出二维色散关系曲线.

1 二维三角格点晶格振动

1.1 动力学模型

图1 二维正三角晶格的周期性结构及其原胞和基矢Fig.1 The periodic structure of two-dimensional regular triangular lattice with its primitive cells and basis vectors

二维三角晶格中原子配位数为6，即每个原子有6个最近邻原子，以原子(l,m)为例，最近邻原子位置和序号如图2所示.设相邻原子间恢复力系数均为β，原子限制在垂直于平面的方向运动，用μlm表示第l列、第m行的原子(l,m)在垂直方向上偏离平衡位置的位移，如图3所示.

图2 二维三角晶格6个最近邻原子位置及序号Fig.2 Position and sequence number of the six nearest neighbor atoms in the triangular lattice

1.2 运动方程

原子限制在垂直于平面的方向运动，以第m行为例，如图2和图3所示，当原子垂直于平面振动时，原子(l,m)在垂直方向将受到左右第一近邻原子(l-1,m)和原子(l+1,m)的作用力.

图3 第m行原子垂直振动时偏离平衡位置示意图Fig.3 Schematic diagram of atomic vertical vibration deviation from equilibrium position in line m

在简谐近似下，类似一维单原子链晶格振动情况[1]，左右第一近邻原子(l-1,m)和原子(l+1,m)对其作用力f1、f2分别为：

(1)

同理，其它两个方向近邻原子的作用力f3、f4和f5、f6可分别记为：

(2)

(3)

原子(l,m)所受合力为：

(4)

根据牛顿运动学定理，并考虑作用力f1和f2、f3和f4、f5和f6的方向相反，可得原子(l,m)的运动方程为：

(5)

每个原子对应一个方程，若二维三角晶格有n个原子，则有n个类似的方程.方程(5)表示n个联立的线性齐次方程组.

1.3 试探解的形式

由图1可知，原子(l,m)距离原点的位移为：

(6)

根据波动方程的特解，并类比一维单原子[1]链和二维正方晶格[12]振动的格波特解，可得该二维三角晶格运动方程的特解形式为:

(7)

将式(6)代入试探解(7)，得：

(8)

式(8)表示一个简谐振动，代表全部原子都以同一频率ω、同一振幅A集体运动的一种模式，晶格中所有原子振动的位移表达式均可通过式(8)给出.

1.4 色散关系

将方程解式(8)带入运动方程式(5)，化简可得二维三角晶格垂直于平面振动时的色散关系函数：

(9)

其中，ωT为三角晶格振动频率.式(9)与原子序号(l,m)无关，表明n个联立的方程都归结为式(9).只要振动频率与波矢满足上述关系，式(8)就表示联立方程式(5)的解.

2 结果分析与讨论

2.1 色散关系曲线

(10)

由式(10)计算可得倒格原胞基矢大小相等，夹角为120°.由倒格基矢构造倒格空间，倒格空间中原胞及第一布里渊区如图4所示，Γ、M、K点为第一布里渊区内的3个高对称点.

图4 二维三角晶格倒空间(a)和第一布里渊区(b)Fig.4 The reciprocal space (a) and its first Brillouin zone (b) of two-dimensional triangular lattice

2.1.1 ΓM方向色散关系

在第一布里渊区内，设kx沿着ΓM方向，当波矢沿着ΓM方向取值时，有k=kx，ky=0，得色散关系：

(11)

2.1.2 ΓK方向色散关系

(12)

2.1.3 MK方向色散关系

(13)

第一布里渊区3个对称方向的色散关系曲线如图5所示.二维三角晶格原胞内只包含一个原子，若限制晶格严格垂直于平面振动，自由度为1，只有一支格波(色散关系)，且为声学波.

图5 第一布里渊区3个对称方向的色散关系曲线Fig.5 Dispersion curves of three symmetrical directions in the first Brillouin zone

2.1.4 二维色散关系

当波矢k任意取值时，根据色散关系式(9)并利用Matlab软件作图，得到几个周期内的色散关系图(图6(a))，以及第一布里渊区内的二维色散关系图(图6(b)).

图6 色散关系图Fig.6 Dispersion relation

2.2 与二维六角晶格对比

以二维三角晶格振动模型为基础，进行二维六角晶格振动模型的搭建及运动模式求解.考虑一个二维六角晶格模型，如图7所示，晶格由全同原子组成，设每个原子质量为m，原子间的距离为a，恢复力系数为β.

图7 二维六角晶格结构(a)及原子第一近邻原子位置(b)Fig.7 The two dimensional hexagonal lattice structure (a) and the position of the first nearest neighbor atoms (b)

考虑到不同原子所处的环境不同，可将二维六角晶格中的原子分为A原子和B原子两类.考虑第一近邻相互作用，任意原子的振动都将受到第一近邻原子的3个原子的相互作用力，如图7(b)所示，分别对应A原子和B原子.以A原子为例，简谐近似下的合力为：

FA=β(μL-1,M-μL,M)+β(μL,M+1-μL,M)+β(μL+1,M-1-μL,M).

(14)

运动方程为：

(15)

类比二维三角晶格最近邻振动的格波试探解，可得该二维六角晶格模型晶格的A原子和B原子在振动时的运动方程具有相同形式的试探解：

(16)

将各解带入振动方程，并约去公因式，可得二维六角晶格中A原子和B原子垂直于平面振动的相同的色散关系函数(简并)：

(17)

其中，ωH为六角晶格振动频率.式(17)与原子序号(L,M)无关，表明n个联立的方程都归结为式(17).只要振动频率与波矢满足关系式(17)，式(16)就表示联立方程(15)的解.

3 结 论