数学建模思想融入课堂教学的策略和路径研究

赵彦勇，叶绪国

（1.南京审计大学，江苏南京 211815；2.凯里学院，贵州 凯里 556011）

全国大学生数学建模竞赛是具有广泛社会认可度的基础性学科竞赛之一，这项竞赛是面向全国高校大学生组织的规模最大的竞赛之一.许多高校为了参加此项比赛并取得优异成绩，在二年级或者三年级开设数学实验或者建模课程，让学生在学习、竞赛的同时，能够科学合理地运用数学建模知识解决实际问题.这也让教育工作者意识到高校数学课程改革的必要性，思考如何在数学课程中融入建模思想和方法，体现素质教育宗旨，顺应时代的需求，培养具有灵活的数学思维、创新精神、较强的动手能力以及灵活运用数学建模思想解决实际应用问题的高素质人才.

1 数学建模的重要性和融入课堂教学的意义

数学建模是人们通过数学思维活动对抽象的“客观存在的现实世界”用具体的数学公式、数学语言或数学符号来表示，通常这种表示形式需要准确描述其重要且有用的特征.简而言之，数学建模的核心是人们认识客观世界、揭示客观规律的过程，体现了人们认识和改造世界的能力.数学模型是人们对客观世界中存在的问题，通过数学思维和方法对部分现实世界作出的具体的、简化的数学结构，它是人们对于客观世界认识的结果，体现了事物内在的规律和特性.数学模型是由数学公式或符号组成的，它是能表达实际问题的主要特性的近似描述，是数学建模过程中的产物.

数学建模的基本思想和方法是用数学的语言和方法描述客观现象，表示其内在规律和基本特征.首先将有待解决的问题转化为计算数学问题，构建具体模型，解决数学模型中体现的数学问题；然后，对所建立的数学模型，通过逻辑推理、计算或者分析，求出问题的解；最后，在原有的数学模型的基础上，根据实际情况通过再抽象、再认识，或者采用结论返回实践检验等方法修改模型，逐渐完善.

数学建模思想融入数学课堂教学有重要的意义，具体体现在以下三个方面：

1.1 激发学生对数学的求知欲

目前大学数学教学较少地讲解数学概念产生的过程和形成的原因.从数学知识的发展和形成的过程来看，传统的数学基础课程的发展过程中含有丰富的数学建模素材.许多概念本身就对应着某些实际原型，是从客观实际的数量关系中抽象出来的数学模型.事实上，学生往往认为具有实际应用痕迹的数学更具有吸引力，更能激发学生的求知欲.因此，如果在高校数学课堂中，教师通过讲解一些数学实际的知识背景、数学建模的思想方法和过程，让学生了解数学家是如何从现实世界中发现数学问题，如何构造具体的数学模型，并通过对模型的分析和计算来解决实际问题的，这更能激发学生的学习兴趣.因此教师应从问题出发，引导学生构建模型，让学生带着问题去探索和学习数学知识.学生在思考和探索的过程中，体会到了数学的魅力，慢慢认识到数学应用的广泛性和实用性，意识到自己在解决实际问题的过程中所拥有的数学知识和技能还远远不够，从而对数学知识产生了强烈的求知欲望，这样就能有效地提高学习效率.

1.2 增强学生数学应用能力的培养

高校数学基础课程具有抽象程度高、内容多、课时少的特点，任课教师通常采用“概念—定理—证明—例题—习题”这种传统的教学方式.这种教学方式虽然培养和增强了学生的空间想象能力、数学思维能力和运算能力，却忽视了学生数学应用能力和技能的培养.学生往往不了解数学概念和定理的由来，不知道学了数学有什么实际用途.部分学生是为了学分或是成绩而学数学，导致学生处于被动接受知识的状态，缺乏学习兴趣，对数学望而生畏.将数学建模思想方法融入数学基础课程，也就是从现实世界中发现和提炼数学问题，用数学语言或者数学模型描述实际问题，用数学工具给出解答，可以在一定程度上增强学生数学应用能力的培养，弥补传统数学教学在能力培养方面的不足.

1.3 促进教师知识和能力的更新

对于数学基础课程的教学，教师往往比较重视理论的证明和运算，较少涉及数学应用和计算机技术能力的培养.学生获取的专业知识在结构上往往显得单一，应用性不强.近年来，随着计算机技术进入数学应用领域，学习数学应用软件已迫在眉睫.例如Matlab等都是常用的数学软件，这些数学软件也是数学建模经常用到的数学工具，如果将软件教学融入数学课堂，可以促进学生对数学建模的思想和方法的理解，对全面素质教育和培养创新性复合人才具有重要的意义.这就需要任课教师不断更新自己的专业知识，学习现代科学技术，提高自己的业务水平和科研能力.

2 建模思想融入课堂教学的实施策略

在新时代高素质人才需求的背景下，提高大学生的动手能力和创新意识是大势所趋.如何将数学建模思想循序渐进地融入课堂教学，需要我们从转变教学观点、转变教学模式、重构学习评价体系和完善建模思想内容这几个方面入手.

2.1 转变教学观点

高校教师想把数学建模思想无缝对接地融入课堂教学，关键是要转变教学观点.要充分认识到它与传统的教学过程并不矛盾，能给课堂教学带来新元素和新气息.在日常教学活动中，要把传统教学方法和建模思想有机结合起来.数学的应用需要基础，缺乏基础的应用没有保障，把建模思想融入到课堂教学中，没有削弱数学基础课的地位，它与单纯地上数学建模课也不同，它的目的依旧是按照教学大纲和教学目标讲授核心概念内容，建模思想的融入只是起配角作用，要使用朴实、简明、扼要的背景和案例，起到“润物无声”的效果.

2.2 转变教学模式

财经类高校中数学的教学目标与其他类型的高校有所不同，财经类高校的教学目标实用性要更强，并且注重数学知识在经济金融等领域的应用，因此，财经类院校教师在教学活动中需引入经济金融案例，注重培养学生解决问题的能力和技能.数学课程还是其他学科的理论基础，因此要着重提高学生的数学逻辑思维能力.随着人工智能时代的到来，传统的数学课堂教学方式已经不能满足现代教学的要求，融入建模思想是现代数学课堂教学的必然趋势.以南京审计大学为例，在第二学年会开展数学建模课程学习，学生首先要掌握基本的数学方法和原理，把它们合理地用于解决遇到的经济金融问题.组织模式最好是小组合作，每组3-5位学生，教师给出具体案例或实际问题，学生在组长引领下自主选择模型学习和探讨，分组汇报，再由教师进行总结，这样能有效提升学生的自主创新和团队协作能力.

2.3 重构学习评价体系

一般的学习评价体系是以学生的综合考试测评作为主要参考指标，事实上，这种评价方式并不能综合地评价学生的学习和动手能力，并且也不能达到促进学生主动学习、提高数学思维和动手能力的效果.因此，教师在将数学建模思想融入基础教学课堂的过程中，需要重新建立教师对学生的学习评价体系.评价指标可以分为学生在数学建模过程中的互相配合和动手能力、建立数学模型的创新性和实用性、数学综合考试测评等多方面内容.例如，在班级内成立评价和监督委员会，在学习过程中对学生提出疑问，给出建议，互相交流并督促学生完成学习任务.在任课教师讲授过教材内容后，对学生建立的数学模型的创新性和实用性给出评价和意见，学生根据教师的指导做出相应的修正和完善.这样，学生在这种互相讨论、配合、主动动手不断修正的过程中学习和理解了所学知识，并循序渐进地提高了综合能力.因此，重构学习评价体系的最终目的是提高学生的综合素质.

2.4 完善建模思想内容

高校教师为了将建模思想充分融入数学基础课程的学习中，就需要完善数学建模的思想内容.首先，教师要先让学生充分了解高校数学的具体学习内容，如教师在讲授导数的定义及其作用、函数的最大值和最小值等内容时，应重点强调这些数学知识对于本专业的基础应用价值；然后，教师从现实生活中引入一个具有强烈数学建模思想的数学问题，如在计算导数求解最值时，教师先让学生了解最值的意义，进而发现通过导数求解最值的学习可以处理成本与利润之间的关系；最后，要让学生在整个学习过程中形成良好的应用意识，为学生的数学建模打下良好的学习基础.这种教学方式不仅能提高学生自主解决实际问题的能力，而且可以提高数学课程的教学质量.

3 建模思想融入课堂教学的路径探索

大多数人认为数学是由一堆难懂的公式和抽象的证明组成的，并没有太多的实际用处，学好了证明和计算便学好了数学，但事实并非如此，数学最基本的特性就是广泛的应用性，学习数学基础知识就是为了实现数学的应用价值.传统数学课堂中，教师更多关注理论知识教学，并没有充分拓展数学的应用性.那么，数学到底是怎样用来解决实际问题呢？数学的公式和符号怎么解决现实问题呢？首先，我们要将现实问题用数学语言和方法进行描述，体现出实际现象的主要特性，将现实问题转化为数学问题.再利用已有知识解决数学问题，达到解决实际问题的目的.这个问题转化的过程就是数学建模.因此，从数学一开始产生就是在不断进行数学建模.教师要从数学知识形成过程中引入数学建模思想，让学生从源头上重新认识数学定理和概念，打破学生对数学公式、定理等枯燥无味的固有认识，加深学生对数学定理的理解.同时，学生在数学建模的过程中，自己动手，借助计算机，尝试数学应用，在毕业以后也能够更好地适应社会的需求.我们尝试从以下两个例子来讲解如何在课堂教学中融入数学建模的思想方法.

3.1 从数学知识形成过程中引入数学建模思想

例1矩阵定义的讲解及其加（乘）法运算.

在传统的讲解过程中，学生较难理解矩阵的运算法则：对于两个矩阵A和B，矩阵A加B时，为何A和B的行数与列数要分别对应相等；矩阵A乘B时，A的列数与B的行数为何要一样；若AB=C，Cij为何是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和；为何交换律不适应于矩阵乘法.为了解答学生的这些疑问，我们采用以下实例为背景进行讲解.

设学校高二有一班、二班、三班、四班、五班、六班6个班级参加数学竞赛和英语竞赛，每项竞赛的前五名得分并有现金奖励.前五名得分分别记10，8，6，4，2 分，对应得奖金100，80，60，40，20元.已知各班级的数学竞赛和英语竞赛的成绩记录如表1和表2.

表1 数学竞赛成绩

表2 英语竞赛成绩

首先，根据上表导出矩阵的定义.如果用矩阵A1和A2分别表示数学竞赛和英语竞赛的成绩.用矩阵B表示对应的奖金.则有：

各班级数学竞赛和英语竞赛的排名和成绩用A来表示，即A=A1+A2，因此可知矩阵加法是两个行数和列数都相等的矩阵，把对应元素相加得到新矩阵.英语竞赛后各班级的得分与奖金用C1来表示，且C1=A1B.通过上例可到矩阵乘法定义.显然，矩阵相乘必须要求A的列数和B的行数相等.同时，观察到C的元素Cij等于A的第i行元素与B的第j列元素对应相乘之和.不难发现，B的列数与A的行数不相等，因此它们的元素不能对应相乘，也就是说矩阵B不能与A相乘，因此，交换律并不适应于矩阵乘法.再根据数学竞赛和英语竞赛后各队的得分与奖金表示：A1B+A2B=(A1+A2)B，可直观地得出矩阵乘法满足加法的分配律，由此再回到课本上引导学生从理论上证明矩阵加（乘）法的法则及其运算律，从而使学生更加理性的认识和深刻的理解矩阵运算法则的必然性和合理性.

3.2 在解决实际问题中引入数学建模

数学建模是利用已有知识对现实问题构造数学模型，经过分析、计算和迭代等方法处理后得到定量的结果，为人们对实际问题作分析、预报、决策和控制提供理论依据.在解决实际问题中引入数学建模，灵活运用各种数学知识去描述和解决实际问题，不但加强了学生数学知识的学习，而且培养了学生应用已学到的数学知识和方法进行综合分析和应用的能力.

例2“吸烟有害健康”公益宣传活动要在电台、网络、报纸上刊登宣传，目的是让更多的人了解吸烟的危害，减少抽烟，表3是宣传活动的调查结果.

表3 “吸烟有害健康”公益宣传活动调查结果

现在，我们希望总的播放费用不超过1000（千元），并且要求：至少要有300万男性受到“吸烟有害健康”公益宣传活动的影响；电台的播放费用不超过600（千元）；电台播放白天至少播出4次，晚上至少播出3次；通过网络、报纸宣传需要重复6-9次.

解：令x1，x2，x3，x4分别表示电台白天、电台晚上、网络和报纸公益宣传活动的次数.由于总的播放费用不超过1000（千元）的约束条件，所以：40x1+60x2+20x3+15x4≤1000；受宣传活动影响的男性人数的约束条件为：200x1+400x2+300x3+100x4≥30000；电台的播放费用和宣传次数的约束条件为：40x1+60x2≤600，x1≥4，x2≥3；网络、报纸的宣传次数的约束条件为：6 ≤x3≤9，6 ≤x4≤9；受“吸烟有害健康”公益宣传活动影响的人数：Z=500x1+1000x2+400x3+300x4；故完整的线性规划如下：maxZ=500x1+1000x2+400x3+300x4，

通过Matlab软件便可求解上述线性规划模型.

4 总结

随着人工智能时代的到来，社会对具有较强动手能力和灵活运用知识解决现实问题的高素质人才的需求越来越多，数学建模适应时代的需求，能很好地培养学生的动手能力和逻辑思维能力.在课堂教学中融入数学建模思想可以激发学生的求知欲、提高学生的数学应用能力、促进教师知识和能力的更新.在计算机技术的飞速发展和广泛应用的新形势下，专任教师应该在课堂中转变教学观点、转变教学模式、重构学习评价体系、完善建模思想内容，通过从数学知识形成过程中引入数学建模思想以及在解决实际问题中引入数学建模更好地培养适应社会需要的数学人才.