分类讨论思想在高中数学解题中的应用

吴爱民

【摘要】随着新课程改革工作的不断推进，高中数学教学也开始进入到全面调整阶段，原本的教学理念无法满足当前数学学科的教学需求，需要引入更加先进的教学思想.分类讨论思想是高中数学解题主要运用的思想之一，其不仅能够以分类方式将原本复杂的问题梳理开，也能让学生的逻辑思维能力得到锻炼.本文就分类讨论思想在高中数学解题中的应用展开研究，首先明确分类讨论思想的应用价值，然后对其进行标准划分，最后阐述具体的应用过程.

【关键词】分类讨论思想;高中数学;解题

引言

高中阶段的数学知识抽象且复杂，充分展现出数学学科的系统性和科学性，新课标要求学生具备扎实的数学基础知识，并掌握多种数学能力.而学生如果在学习数学知识时没有学习新的解题思想，那么必然会在学习过程中感到解题困难，甚至会出现理解偏差的情况.为提升学生的数学综合能力，教师需要锻炼学生的解题思维，将分类讨论思想引入数学解题过程当中，使学生灵活运用数学解题方法，快速解决数学问题，并提升解题准确率.

一、分类讨论思想在高中数学解题中的应用价值

分类讨论思想是对特定题型出现的不同情况，分不同的条件讨论，从而得到结论的一种思想，即当该题目无法在唯一情况下讨论时，就应根据某种标准对该题目进行人为的划分，然后分别对各部分进行解答，最后综合解题过程得到答案.例如，函数、数列、几何等的题目，只从某一方面思考不能得到完整答案，这就要求学生根据题目进行分类论证.这实质上是逻辑分类的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学战略，体现了学生对数学问题的理解和解决能力.在解题过程中，我们仅须抓住主要的问题因素，然后再确定变化的条件范围和问题发展的方向，就能根据不同情况进行分类，运用不同的解题技巧分类讨论.在运用分类理念的过程中，学生树立了分类的意识，明确了如何进行分类研究，并对分类结果进行整合分析.运用分类思维解高中数学问题，可以不断地提高学生们的逻辑思考能力.高中阶段的数学知识内容较抽象，因此解题的难度会增大，但只要学生在解题时能够利用分类思想，把握数学问题的发展方向，就可以提高解题的效率，提高答案正确率.

二、分类讨论思想的划分标准

分类讨论思想在高中数学解题中的应用不断增多，为我们更加快速而准确的解答数学习题创造了良好的条件.因此我们需要对分类思想类型进行准确详细划分，这样才能更好地应用分类讨论思想.首先，按照数学的概念知识进行科学合理的划分，很多知识内容都是按照分类思想定义的.其次，按照运算法则、定理、公式等进行划分.最后，按照图形位置进行合理划分.在图形习题的解题中，应用分类讨论思想比较多，比如函数图像和立体几何等.

三、分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用

（一）分类讨论思想在高中函数解题中的应用

函数问题一直都是高考当中的重要考查點，不管是在选择题部分还是填空题部分都有和函数相关的题目.但函数本身知识概念繁杂，且抽象逻辑性也比较强，很多学生刚接触函数知识的时候就感觉恐惧，导致对课堂上学习到的函数知识理解并不透彻，在后续解答函数题目的时候也会耗费大量时间.长期处于这种学习状态下，学生会逐渐丧失学习函数知识的自信心，即便是耗费大量的时间和精力记忆了函数的知识概念，但在解函数题的时候依然无法从容运用知识点，在无法掌握解题技巧的情况下，总是混淆函数的各类概念.学生学习函数知识，不仅要区分函数的基本形式，也需要在掌握函数概念的情况下区分不同类别的函数题目.教师在教学过程中要渗透分类讨论思想，并引导学生形成该种解题思想，使学生在遭遇函数问题的时候，能够想到采用分类讨论思想解答问题.从而，学生的数学解题思维更加丰富，更具备数学学科的特性.分类讨论思想能够帮助学生在学习过程中提升解题效率，改善学习心态，并在考试当中获取更好的成绩.为此，本文讨论具体的函数案例，将分类讨论思想运用到函数当中，体现分类讨论思想对解函数题的作用.

例如，如果a是实数，函数f（x）=x2+x-a+1，x∈R，根据上述函数条件，求函数f（x）的最小值.

应用分类讨论思想，我们可以完成该题目求解，遵循下述解析步骤：当x

（二）分类讨论思想在高中概率解题中的应用

函数知识是学生在高中时期需要重点学习的知识内容，除此之外，概率知识也是高中数学的重点内容，更是人们日常生活中会经常接触的知识内容.概率主要是指随机现象规律，属于独立的学科，但也纳入数学学科当中.概率能够促使人们秉承客观思想认识世界，形成客观思维，并在解决问题的时候采用科学的解题思路.高中阶段我们所学习的概率知识主要是了解随机现象和概率的意义，明确概率所具备的基本性质，并且在形成简单概率模型的情况下，探究概率条件下的随机现象，为统计学研究奠定了坚实理论基础.在学习概率知识以后，学生能够利用随机模拟方法对简单随机事件进行概率计算.将分类讨论思想运用到概率问题解答过程的主要目的是加深学生对概率性质的理解，让学生了解随机事件发生所具备的不确定性与频率所具备的稳定性之间的联系和差别.如此，学生才能够真正意义上掌握概率的含义.在此之前，学生虽然感觉概率知识比较好学，但真正理解起来却有些困难.而教师在教学过程中过于重视向学生灌输知识，忽视了思想引导，导致学生虽然能够记忆概率的知识概念，但无法灵活运用概率知识进行问题解答.学生需要教师根据分类讨论思想进行引导，先从概率问题的本质着手，分析问题的概率类型，在明确已知条件以后，对概率题目中涉及的个数进行编号处理，并将编号按照特定的顺序排列起来.此时学生可以根据自身所整理的数据进行可能性数值假设，最终得出概率的具体数值结论.

例如，教师为了夯实学生在概率的知识基础，根据学生的学习水平和学习状态，展示如下练习题：在区间[-3，3]，选取随机数值x，并且要保证x+1-x-2≥1这个不等式成立，求概率.学生解答该问题的时候，并不知道该从哪个方面入手.在没有掌握解题技巧的情况下，学生消耗大量时间厘清各类数值.但教师引导学生采用分类讨论思想思考问题，让学生按照如下思路进行解答：如果x<-1，则可以得出不等式-x-1+x-2≥1，此时不等式无解.如果-1≤x≤2，则可以得到不等式x+1+x-2≥1，此时可以得到1≤x≤2.如果x>2，则可以得出不等式为x+1-x+2≥1，不等式恒成立.综上，我们可以明确x+1-x-2≥1的解集是[1，+∞）.通过上述过程，即得出要求解的概率，学生不仅捋顺相关问题的解题思路，也在解题过程中也能锻炼自身的思维能力.

（三）分类讨论思想在高中数列解题中的应用

数列是高中数学的基本内容，处于知识交汇点的位置，与许多知识有着紧密的联系，不仅能帮助我们深度复习方程的问题，还能回顾许多重要数学问题，如一次函数、二次函数的问题，等比性质等.数列在高中数学中占有非常重要的位置，数列问题可以锻炼学生对数学问题的思考能力、分类能力和歸纳能力，对以后数学的学习起到良好的促进作用.例如，在认识数列的过程中，教师将分类讨论思想融入教学中，学生就可以动态地认识数列.在学习等差数列、求和最大值学习时，教师都可将分类讨论思想融入其中，从而可以提高学生解题的效率，提高答案正确性.

结语

综合上述分析，我们能够明确在高中数学教学过程中需要梳理众多知识难点，学生不能以死记硬背的方式学习知识，而是需要灵活运用知识的技巧，采用分类讨论的方式将原本复杂烦琐的题目转化为简单的解题过程.例如数列、函数等比较难以理解的抽象知识点，运用分类讨论思想均能够得到细化分解.教师带领学生采用更加简便的方式来解决数学问题，能够促使学生灵活运用数学知识内容和方法技巧解答数学问题，从而提升学生的数学学习的兴趣.

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