高中数学中的概率模型

杨玉灿

【摘要】数学模型是将学生面对的实际问题抽象化，并建立相应方式的解题模式，该模式对于解决实际问题提供了便利.概率模型是概率知识的重要组成部分，在高中数学教学中有着重要的地位;概率模型是新课标要求高中学生必须掌握的模型之一，也是高考数学的必考内容.掌握古典概率模型、几何概率模型以及其他模型为学习概率知识打下了良好基础.下面通过一些例题系统地比较分析高中数学中的三种概率模型.

【关键词】数学模型;高中数学;概率模型

一、古典概率模型

古典概型的随机试验，包含了若干个基本事件，这些基本事件都具有两大基本特性：第一，任何两个基本事件一定互斥;第二，排除不可能事件外，任何事件都是由基本事件所组成的.通常情况下，辨别某一个概率事件是否为古典概型，要看它有无下述两点特性：第一，该项实验中全部可能存在的基本事件数量是有限的;第二，所有基本事件存在的概率均相同.凡符合上述两点特性者均为古典概型，其数学公式为：P（A）=mn，其中m为事件A包含的基本事件个数，n为整个随机试验包含的基本事件的个数.基本事件的有限性和等可能性是正确判断随机试验的类型为古典概型的依据，也是解决此类问题的关键.处理古典概型的方法一般分为两种：图表法和列举法.

（一）CASE1用图表法求古典概型的概率

例1现存在两个玩具，其形状均为正四面体，每个玩具的四面分别写有1、2、3、4.现进行投掷玩具试验，以X代表第一个玩具抛落在地的贴地面数字，以Y代表另一个玩具贴地面的数字，两者用（X，Y）的形式表示.

①要求罗列上述试验基本事件;②计算“两玩具贴地面数字之和大于3”的事件概率;③计算“两玩具贴地面数字相等”的事件概率.

解①这个试验的基本事件列表如下：

从表中可以看出，该随机试验共包含了16个基本事件.

②由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字之和大于3”包含有13个基本事件，∴P=1316.

③由①中图表可知，事件“两玩具贴地面的数字相等”包含有4个基本事件，∴P=416=14.

（二）CASE2用列举法求古典概型的概率

例2现有8名志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语， B1、B2、B3通晓俄语， C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语、韩语的志愿者各一名，组成一个小组.①求A1被选中的概率;②求B1和C1不全被选中的概率.

解①从8人中选出通晓日、俄、韩语的志愿者各一名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件.用M表示“A1恰被选中”这一事件.则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}共6个基本事件.∴P（M）=618=13.

②用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示为“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，即事件N包含了3个基本事件，∴P（N）=318=16，∴P（N）=1-16=56.

二、几何概率模型

几何概型定义：假使每个事件发生的概率都只同该事件所表示区域的长度、面积或体积成比，此类概率模式即为几何概型.计算公式如下：

P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.通过以上定义和计算公式，我们可以得出几何概型的三种基本题型.

（一）CASE1求与长度有关的几何概型的概率

图1例3如图A、B两盏路灯之间的长度是30米，因住户反应两灯之间距离过远，光线太暗，现需要在A，B中间再安两盏灯C、D，求A、C两灯和B、D两灯之间距离都大于或等于10米的概率.

解记事件E为“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，30×13=10米.

∴P（E）=1030=13.

（二）CASE2求与面积有关的几何概型的概率

图2例4现有一长方形ABCD，长和宽分别为2、1，AB中点设为O，在长方形内随机取一点，求该点与O点距离超过1的概率.

解记事件E为“取点到O的距离大于1”，其对立事件E为“取点到O点距离小于1”.

因为长方形的面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在长方形ABCD内部为半圆的面积等于π2.

∴P（E）=π22=π4，P（E）=1-π4.故取点到O点距离大于1的概率为1-π4.

（三）CASE3求与体积有关的几何概型的概率

例5已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱錐内任取一点P，使得VP-ABC<12VS-ABC的概率是多少？

图3解要使VP-ABC<12VS-ABC，只需使三棱锥P-ABC的高小于三棱锥S-ABC的高的一半.设A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则所求概率即为棱台A1B1C1-ABC的体积与三棱锥S-ABC的体积之比.其中O1为正三棱锥的高SO的中点，△A1B1C1是过O1平行于底面的截面.

VS-ABC=13×12×4×4×32×3=43，

VA1B1C1-ABC=VS-ABC-VS-A1B1C1=43- 13×（12×2×2×32）×32=732.

∴PVP-ABC<12VS-ABC=732÷43=78.

三、抽取“小球”试验模型

抽取“小球”试验模型可以分为两种基本类型，即抽取“小球”放回试验和抽取“小球”不放回试验.抽取“小球”放回试验模型称为几何分布;抽取“小球”不放回试验模型称为超几何分布.

（一）CASE1求服从几何分布的概率

什么叫几何分布呢？几何分布是常用的一个离散型分布，几何分布的概率公式为： P（X=k）=（1-p）k-1p， 随着k增大呈等比级数变化，等比级数又称几何级数.

例6现有一批货品，包含合格品10枚、次品3枚，每次从这批货品中随机抽取一枚，且假设所有产品被抽取的概率均相等，分别算出下述两种情况中抽出合格品为止的抽取次数为X的分布列.

①所有抽取出的产品均不放回;

②每次抽取的产品均需放回该批次货品才能继续进行抽取.

分析①因抽取货品后均不放回，可知每次抽取相互影响; ②因抽取后均需放回才可进行下一次抽取，可知每次抽取相互独立，该情况隶属于几何分布.

解①根据题意知，随机变量X可取值为：1，2，3，4.

当X=1时，即第一次取出的产品为合格品，故P（X=1）=1013;

当X=2时，即第二次取出的产品为合格品，第一次取到的产品为次品，故P（X=2）=313×1012=526;

类似地P（X=3）=313×212×1011=5143; P（X=4）=313×212×111×1010=1286.所以X的分布列为：

②因为每次取出的产品都放回再抽取，所以这类试验符合几何分布的特征，

随机变量X的取值为1，2，3，…，n，随机变量X服从几何分布.

当X=1时，即第一次取到了合格品，∴P（X=1）=1013;

当X=2时，即第一次取到次品，第二次取到了合格品，∴P（X=2）=313×1013;

当X=3时，即第一次、第二次取到次品，第三次取到了合格品，∴P（X=3）=313×313×1013=3132×1013;

类似地，当X=n时，即前n-1次取到的均为次品，第n次取到合格品，故P（X=n）=313n-1×1013.

所以随机变量X的分布列为：

313n-1×1013

点评（1）几何分布是放回抽样问题，这也是几何分布的特征，其分布列概率可以代入公式P（X=h）=（1-p）k-1p;（2）此类试验都可以看作是抽取“小球”的试验模型，难点在于确定随机变量X取值的个数.

（二）CASE2求服从超几何分布的概率

什么叫超几何分布呢？如果在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品， 则事件{X=k}发生的概率为： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN，k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，N}且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.我们把这样的分布称为超几何分布.由于这个级数CkMCn-kN-MCnN和几何级数类似，被称为超几何级数，因此得名.

例7从装有3个红球2个白球的袋子中随机取出2个球，设其中有X个红球，求随机变量X的分布列.

解本题的随机变量X服从超几何分布，其概率的计算公式： P（X=k）=Ck3C2-k2C25，代入公式得P（X=0）=0.1， P（X=1）=0.6， P（X=2）=0.3.故X的分布列为：

点评（1）超几何分布隶属于不放回抽样，这也是其最为显著的特点，其分布列概率公式如下： P（X=k）=CkMCn-kN-MCnN;（2）此类问题都可以转化为例7抽取“小球”的试验模型，隨机变量X为取到“红球”的个数，超几何分布的本质上也是古典概型.

总结：通过讨论以上三种基本概率模型，我们总结出概率模型的一些通性以及解题的一些通法.这为我们今后遇到此类问题时提供一些帮助，使我们在分析问题和处理问题时少走一些弯路，帮助我们准确而快速地找到解题的思路和方法.