辅助函数法和Cole-Hope变换法求STO方程的精确解

张 静

(南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023)

0 引言

非线性偏微分方程广泛应用于应用数学和物理学的各个分支，尤其在流体力学、高分子物理学、固体物理学等领域应用广泛.Sharma-Tasso-Olver(简称STO)方程最初由Sharma和Tasso在研究Burgers方程族时提出[1-2]，目前已有不少学者对其进行了深入研究.杨立娟等[3]利用推广的Hirota双线性方法研究了(1+1)维STO方程的新精确解，并进一步讨论其局域孤子结构.Dai等[4]使用了修正的简单方程法对STO方程精确解以及Hirota-SatsumaKdV系统进行阐述.Zhang等[5]着重分析了STO方程的对称约化及精确解.此外，学者们通过G′/G2展开法[6]、Auto-Bäcklund变换法[7]、exp-函数法[8-9]同样获得STO方程新的精确解.最近，杨健等[10]提出了辅助函数法，借助此方法获得了许多非线性偏微分方程的精确解.李伟[11]借助Cole-Hope变换获得了(2+1)维Burgers方程和Kdv方程的n-孤子解.

受以上研究启发，本文主要研究如下Sharma-Tasso-Olver(简称STO)方程

(1)

其中u=u(x，t)，α为任意常数.

接下来，借助辅助函数法和Cole-Hope变换法方法来构造STO方程的精确解.

1 辅助函数法

对于方程(1)，作行波变换，

u(x，t)=u(ξ)，ξ=kx-ct

(2)

其中k、c是非零常数.

将式(2)代入式(1)，有

-cu′+3αk2(u′)2+3αku2u′+3αk2uu″+αk3u‴=0

(3)

假设方程(3)有如下形式的精确解

(4)

其中ai为待定系数，而幂级数的最高次幂n可通过平衡常微分方程的非线性项和最高阶导数项来确定.

f(ξ)满足如下辅助常微分方程

f(ξ)′=f(ξ)2+λf(ξ)+μ

(5)

对辅助方程(5)的λ、μ分情况讨论，并求解该方程可以得到f(ξ)的7组不同精确解[10-12].

由方程(3)中的u2u′和u‴，得到n=1，则方程(1)的解可以表示为

u(ξ)=a0+a1f(ξ)

(6)

将式(5)和式(6)代入式(3)，合并f(ξ)的同次幂项系数，得到非线性代数方程组

(7)

求解式(7)得到两组解分别如下：

情形1:

(8)

其中a0、k为任意常数.

将式(8)代入式(6)中可得到STO方程的形式解

u(x，t)=a0-kf(ξ)

(9)

再将f(ξ)的7组不同精确解分别代入式(9)，可获得方程(1)的如下7组解:

①当λ=0，μ=0时，有

②当λ=0，μ>0时，有

③当λ=0，μ<0时，有

④当λ≠0，μ=0时，有

⑤当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ>0时，有

⑥当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ<0时，有

⑦当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ=0时，有

情形2:

(10)

其中k为任意常数.

将式(10)代入式(6)中可得到STO方程的形式解，

u(x，t)=-λk-2kf(ξ)

(11)

再将f(ξ)的7组不同精确解分别代入式(11)，同样可获得方程(1)的如下7组解:

①当λ=0，μ=0时，有

其中ξ=kx，k、C为任意常数.

②当λ=0，μ>0时，有

③当λ=0，μ<0时，有

其中ξ=kx+4αk3μt，k、C为任意常数.

④当λ≠0，μ=0时，有

其中ξ=kx-αk3λ2t，k、C为任意常数.

⑤当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ>0时，有

⑥当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ<0时，有

其中ξ=kx-(αk3λ2-4αk3μ)t，k、C为任意常数.

⑦当λ≠0，μ≠0，λ2-4μ=0时，有

其中ξ=kx，k、C为任意常数.

2 Cole-Hope变换法

设

u=k(lnf(x，t))x

(12)

其中k为待定常数.

本文只解决k=1时的情形，后续对于k的不同取值可以进一步研究.下面将式(12)代入方程(1)并化简可得

(fxt+αfxxxx)f-(fxft+αfxfxxx)=0

(13)

将式(13)两边同时除以f2，得

(14)

对式(14)积分，并令积分常数为零，得

ft+αfxxx=0

(15)

若f为式(15)的解，则通过式(12)即得到方程(1)的解.

设f(x，t)=px3+rt为式(15)的拟解，并代入式(15)得r=-6αp，所以式(15)有如下形式的解，

f(x，t)=p(x3-6αt)

(16)

这里p为任意常数.将式(16)代入式(12)，得

(17)

式(17)即为方程(1)的新的精确解.

对于式(13)，也可令

(18)

考虑其孤子解，可设

f=1+eθ，θ=p1x+r1t

(19)

将式(19)代入式(18)，得

(20)

其中p1为任意常数.

将式(19)和式(20)代入式(12)，可获得方程(1)的单孤子解为

在上面得到的两组解中，取系数为一些确定的值，可以得到具体的结构，利用mathematica画图,结果如图1和图2所示.

图1 α=1时的精确解 图2 α=1，p1=1时的单孤子解

3 结束语

本文通过行波变换、齐次平衡原理，运用辅助函数法求出了STO方程的7组行波解,利用Cole-Hope变换法对k=1的情况进行研究得到了方程新的精确解和单孤子解，后续对k的不同取值，有待进一步研究.两类方法也可用于求解其他具有类似性态的非线性偏微分方程.