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角对称区域上二维不可压理想流体方程的稳态解

2021-07-12陈志豪邓大文

湖北大学学报(自然科学版) 2021年4期
关键词:稳态方程组定理

陈志豪,邓大文

(湘潭大学数学与计算科学学院, 湖南 湘潭 411105)

0 引言

本文中的角对称区域是指对应于极坐标中长方形区域的二维区域,包括全平面(r,θ)∈[0,∞)×[0,2π],半平面[0,∞)×[0,π],圆块0≤rR0等等. 本研究考虑两个二维理想流体方程组在角对称区域Ω上的稳态解,它们通常都是在直角坐标中给出. 第一个是二维不可压Euler方程组[1]

(1)

(2)

其中ur和uθ是速度场的径向和切向分量:u(r,θ,t)=ur(r,θ,t)er+uθ(r,θ,t)eθ,er=(cosθ,sinθ),eθ=(-sinθ,cosθ),ur,uθ,ω,ψ都是关于r,θ,t的标量函数.

又考虑半平面或平面上的无粘性无热传导性Boussinesq方程组[1]

(3)

(4)

其中,ω,ρ,ψ是关于r,θ,t的标量函数.

显式解一直是偏微分方程领域中的重要问题. 对不可压理想流体,经典工作都集中在二维和三维Euler方程的显式解,一些经典的结论和方法可参考Majda-Bertozzi[1]的专著. Shvydkoy[2]和Sun[3]等研究关于三维稳态齐次解与轴对称解的工作. 对Boussinesq方程组,Majda[4]收集了一些经典的显式解. 2014年,Chae-Constantin-Wu[5]在一个二维的锥上,在特殊条件下把Boussinesq方程组去耦为二维Euler方程和一条传输方程,从而得到一些温度梯度有快速增长的解. 文献[6]中利用二维Boussinesq方程和三维Euler方程的相似性找到一些三维Euler方程组的显式解. 文献[7]中推广了文献[5]中去耦的方法,在各种光滑区域上找到类似的解. 由于要满足边界条件,解的存在区域都是不规则的.

另外,显式解或可对解决领域中的开问题提供一些线索. 近年关于不可压理想流体的大问题是它们的全局正则性,即对三维Euler方程和二维,三维Boussinesq方程组,局部光滑解可否在有限时间失去正则性. 2019年,Elgindi[8],Elgindi-Ghoul-Masmoudi[9]在这个问题上取得了很大的进展. 2014年Luo-Hou[10](也参看文献[11])提出了一种在柱体上的Euler方程局部光滑解在有限时间爆破的情景,给出一个初值,它引发出的局部光滑解可能在有限时间爆破,并提供数值计算结果支持. 另一个相关的问题是二维Euler方程的涡量梯度的增长. 众所周知,它的极大模相对于时间最多只可有双指数增长. 2015年Kiselev-Sverak[12]证明这增长率可以在流场的双曲点附近达到. Zlatos[13]证明了达到这极大增长率的范围比文献[12]中的范围大,虽然仍然很小. 这现象能否在区域中大范围发生是广受关注的问题. 本研究试着找这些方程的初值问题(或一些特殊情况)的解的公式,希望它们能够提供探索以上两个问题的提示,或退一或多步在一些对称区域上找一些显式解. 笔者是从分离变量出发找到一些显式稳态解.

1 Euler方程的稳态解

以下引理收集了本文中需要的贝塞尔函数的性质.

引理令N*为正整数集合,ν∈(0,∞),k∈N*,x∈[0,∞).

a)ν-阶第一类贝塞尔函数(在正轴上的限制)是[14,p339]

(5)

整数阶第二类贝塞尔函数是[14,p357]

(6)

c) 令φ:[0,∞)→R是满足φ(0)≠0的一般光滑函数(在各式子中,甚至等号两边,φ可以不同). 则

(7)

(8)

(9)

e)由文献[14,p369],当x→∞,

f)Jν(x),Yk(x)有可数个正零点,若排成上升列,它们趋向+∞.

g) 对x≥0,x/2-J1(x)≥0,且x>0时严格大于0.

引理的证明由(5)-(6)式得(c)-(d). 由e)得f). 下证g).

令h(x)=x/2-J1(x),则h(0)=h′(0)=0.当x∈(0,5/2],J″1(x)是交错级数,从而小于它的首项,所以J″1(x)<0,h″(x)>0,h′(x)>0,h(x)>0.又知J1的最大值点是在(0,5/2]中[15],所以对x>0,h(x)>0,知(g)成立.

定理1令Ω为开圆盘B(0,L),L>0.对k,n∈N*,α∈R,

(10)

定理1的证明可把上述公式代入(2)式直接验证.本文中约定,(2)i是指(2)式中第i个方程,i=1,2,3.为了解释求得这些解的方法,我们做以下推理.

第一步,先在B(0,L)-{(0,0)}上解(2)式且要求ω,u有界. 从分离变量开始,观察(2)式的形式,试找以下形式的解:

ur(r,θ)=r-1F(r)kcos(kθ+α),k=1,2,3,…,α∈R,

其中F:[0,L]→R满足F(L)=0(使ur(L,θ)=0,从而在∂B(0,L)上u·n=0).则从(2)2得ψθ=-rur=-F(r)kcos(kθ+α),取ψ=-F(r)sin(kθ+α),从而uθ=ψr=-F′(r)sin(kθ+α).由(2)2得

ω(r,θ)=[-F″(r)-r-1F′(r)+r-2k2F(r)]sin(kθ+α)=Φk(r)sinΘk

(11)

其中Φk(r):=-F″(r)-r-1F′(r)+r-2k2F(r),Θk:=kθ+α,则

ωr(r,θ)=Φ′k(r)sinΘk,ωθ(r,θ)=Φk(r)kcosΘk.

由(2)1得

r-1F(r)kcosΘkΦ′k(r)sinΘk-r-1F′(r)sinΘkΦk(r)kcosΘk=0,

即F(r)Φ′k(r)-F′(r)Φk(r)=0,所以∂r[Φk(r)/F(r)]=0,得Φk(r)=dF(r),d∈R.

下面求F有界且使边界条件(2)3成立:

(12)

G″(s)+s-1G′(s)+(1-s-2k2)G(s)=0

(13)

(14)

则Fk,n(r)满足(12)2.把Fk,n(r)代入(11)式得(10)式.

以下证明ω,ui可C1地、ψ可以C2地拓展到(0,0),并在该点处满足(2)式.

第二步,我们断言对k,n∈N*,u可以连续地扩张到(0,0)为

(15)

因为该处没有极坐标,我们要用欧氏坐标讨论. 从

u(x1,x2)=u1(x1,x2)e1+u2(x1,x2)e2=ur(r,θ)er+uθ(r,θ)eθ

u1(r,θ)=r-1Fk,n(r)kcos(kθ+α)cosθ+F′k,n(r)sin(kθ+α)sinθ

(16)

u2(r,θ)=r-1Fk,n(r)kcos(kθ+α)sinθ-F′k,n(r)sin(kθ+α)cosθ

(17)

从(7)、(8)、(14)式得

(18)

(19)

=Ik+IIk.

ω(0,0)=0

(20)

则ω在(0,0)处连续. 我们断言,

(21)

证明如下.

左右导数相等,则ωx1(0,0)存在. 同理可证(21)式成立.

最后证ωx1(0,0),ωx2(0,0)在(0,0)连续. 当(x1,x2)≠(0,0),

从(7)、(8)式得

即ωx1(0,0),ωx2(0,0)在(0,0)处连续.

第六步,证明ψ可以C2地拓展到(0,0).只要证明ψ可连续地拓展到(0,0),ψx1(0,0)=u2(0,0),-ψx2(0,0)=u1(0,0),则可知在B(0,L)内,⊥ψ=u.再从已证的u∈C1(B(0,L)),则可得到ψ∈C2(B(0,L)).从(14)式与第一步第一段中的式子知由(7)式得若令ψ(0,0)=0,则ψ在该处也连续.再讨论ψ在(0,0)处的偏导.

由(7)式得,ψ在(0,0)处的右导数是

左导数是

类似地,可得-ψx2(0,0)=u1(0,0).定理得证.

积分得

从而

其中C是常数. 事实上,只从Jk,sin(kθ+α)在各区域的符号就可以描出图1中的轨迹.

图1 定理1中k=1,n=3,α=0时的情况. (a)和(b)分别显示ur,uθ的符号,(c)是质点轨迹,当中实线圆跟x1-轴的6个交点是流场的双曲点. 当k,n增大,双曲点在圆盘中可以任意稠密.

从图1可见在很多角对称区域,及它们的随意并,边界条件(2)3都被满足. 我们有以下定理.

(22)

对应的速度场是

注1) 圆环区域(r,θ)∈(a,b)×[0,2π]是a)中区域的特例情况,此时,θ0=2π,从而ν=N/2,N是正整数.当N是偶数,得如定理1中的整数阶贝塞尔函数. 当N是奇数时,JN/2有较简单的表达式(引理b)).

2) 锥(r,θ)∈(0,∞)×(γ,γ+θ0)(包括半平面)是b)在a=0时的特殊情况. 对任何d∈(0,∞),令

定理2的证明与定理1的证明相似,但对F要求F(a)=F(b)=0(使在r=a,b处ur≡0),且ν=Nπ/θ0一般不是整数,所以涉及非整数ν的贝塞尔函数

2 Boussinesq方程的稳态解

本节考虑半平面和全平面上Boussinesq方程(4)的稳态解. 在有界角对称区域上(例如圆盘),由引理g),不可能在有限圆盘上找到满足边界条件ur=0的解,所以只讨论这两种情况.

定理3令H为上半平面,(r,θ)∈(0,∞)×(0,π),(4)式在H上有解

i)

(23)

其中J1为贝塞尔函数,d>0,c∈R.对应的速度场和流函数是

ii)

其中a∈R.对应的速度场和流函数分别是

ur(r,θ)=ar2cosθ,uθ(r,θ)=-3ar2sinθ,ψ(r,θ)=-ar3sinθ.

定理3的证明可以把(23)式直接代入(4)式验证.本文中约定,(4)i表示(4)式中第i个方程,i=1,2,3. 为了解释得到该解的方法,我们做以下的推理. 从分离变量出发,通过观察(4)1的形式,我们找形如ur(r,θ)=r-1F(r)cosθ的解,F待定. 跟定理1 Euler方程的情况不一样,(4)1的右边有cosθ,sinθ出现,以致不能找到形如ur(r,θ)=r-1F(r)kcoskθ,k≥2,的解. 由(4)3得ψθ=-F(r)cosθ,取ψ=-F(r)sinθ,从而uθ=ψr=-F′(r)sinθ(这已保证uθ在∂H-{(0,0)}是0,(4)4在这里满足). 从(4)3ω=Φ(r)sinθ,其中Φ(r)=-F″(r)-r-1F′(r)+r-2F(r).因此ωr=Φ′(r)sinθ,ωθ=Φ(r)cosθ.(4)1的左方为[r-1F(r)cosθ]Φ′(r)sinθ-r-1[F′(r)sinθ]Φ(r)cosθ.

观察(4)1的形式,令ρ(r,θ)=g(r)sinθ,g待定. 则ρr=g′(r)sinθ,ρθ=g(r)cosθ.代入(4)2得Fg′-F′g=0,从而[g/F]′=0,g(r)=cF(r),c∈R.再代入(4)1得

[r-1F(r)cosθ]Φ′(r)sinθ+r-1[-F′(r)sinθ]Φ(r)cosθ=[g′(r)-r-1g(r)]sinθcosθ

(24)

即F(r)Φ′(r)-F′(r)Φ(r)=rg′(r)-g(r)=crF′(r)-cF(r).两边同乘以F-2得∂r[Φ(r)F-1(r)]=-c∂r[rF-1(r)],积分得F″(r)+r-1F′(r)+(d-r-2)F(r)=cr,c,d∈R

(25)

G″(s)+s-1G′(s)+(1-s-2)G(s)=csd-3/2

(26)

若d=0,(25)式退化为F″(r)+r-1F′(r)-r-2F(r)=cr,其通解为F(r)=ar3,a=c/8,a∈R.(4)式有解ω(r,θ)=-8arsinθ,ρ(r,θ)=8a2r3sinθ.

定理得证.

定理4在全平面R2上(4)式的解为

(27)

定理4的证明因为R2没有边界,所以(4)4是虚的.

第一步,类似于定理3的证明,得在R2{(0,0)}上的解

(28)

只需证明它们可以C1地、ψ可以C2地延拓到(0,0),在该处满足(4)式.

(29)

第三步,我们断言

(30)

可通过直接计算证明. 例如对ω,当x1>0,(x1,0)的极坐标是(r,θ)=(x1,0).由(28)式得ω在(0,0)处右导数是

而左导数是

第五步,下证ψ可以C2地拓展到(0,0).类似于定理1第六步证法,令ψ(0,0)=0,则ψ在该点连续.又直接证明ψx1(0,0)=u2(0,0),-ψx2(0,0)=u1(0,0),则在R2上,⊥ψ=u.又由u∈C1,得ψ∈C2.

定理得证.

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