数学有味道：为儿童创建实验数学的探索与实践

罗永军 正高级教师，浙江省级优秀教师暨师德楷模，浙江省省教科研先进个人，杭州市中青年学科带头人，教育部义务教育阶段学生数学质量监测工具研发团队的核心成员。

近年来独立撰写专著2本，与人合著9本，参与编写浙教版数学教科书等。积极进行数学教学研究，所写的数学教学论文获全国一等奖，另获省市级以上一等奖14次，發表数学教学文章60余篇，发明数学学具专利3项，地市以上讲座、开课近百场，多节研究课被录入国家课程资源库。曾先后参加“开放题—数学教学的新模式”等全国重点课题;主持负责多项浙江省重点课题，获浙江省政府颁发的教学成果二等奖1次和省市级以上科研（教学成果）一等奖11次。

【摘 要】数学有两个侧面，一方面是系统性的演绎科学，另一方面是实验性的归纳科学。作为实验的数学在智能时代其重要性在不断增加，并正在形成一门新的数学分支：实验数学。本研究讨论了实验数学的源流、定义，以及实验数学教学的主要特征和实践形态：模块化数学实验、课题型数学实验、组件式数学实验。同时，对实验数学做了学习价值、学习设计和学习评价的展望。

【关键词】实验数学 归纳法 数学实验

一、数学的两个侧面

数学这门学科往往给人以抽象、艰深、高冷的印象，让人难以亲近。实际上数学有两个侧面：一方面是欧几里得式的严谨科学，充满着数字和符号，是一门系统性的演绎科学;另一方面，在数学的创造中，充满着假设、猜想、操作、尝试、验证等过程，是一门实验性的归纳科学。数学的这两个特点，可以分别描述为严谨的数学和实验的数学。在严谨的数学中，演绎推理是其主要的方法论，公理化和形式化证明是主要活动;而在实验的数学中，归纳推理是其主要的方法论，观察、操作、归纳是主要的活动。在数学的发展和传承中，严谨的数学占主要地位，通过公理化和演绎法快速地建起了一座座辉煌的数学大厦。

可是随着数学的发展，人们逐渐发现演绎法的局限，特别是对数学公理的深度依赖。数学公理是不证自明的直观命题，不用怀疑也不能怀疑。但是，如果怀疑一下呢？比如：20世纪德国数学家黎曼认为公理只是假设。他在1851年发表了《论奠定几何学基础之假设》，开篇就对欧氏几何公理发出疑问，进而提出了自己对几何学的另一些假设，结果开创了几何学的一片新天地，这些假设已经成为现代几何的重要组成部分。同样对欧氏几何第五公设的疑问，罗巴切夫斯基等人沿另一条路发展出了双曲几何。不仅如此，哥德尔发现在任何一个公理系统中，总有一些既不能证明也不能证伪的命题（哥德尔不完备定理），这更是动摇了数学大厦的根基。除了数学公理，演绎法所用到的推理规则也被质疑，如直觉主义的奠基者、代表人物克劳威尔对逻辑原理可靠性的怀疑。近期，对量子力学的数学基础深入研究，使更多的数学家加入了对排中律（反证法的逻辑基础）的质疑。种种危机不断浮现，让严谨的数学产生了丝丝裂缝。那么，原本不被看好的归纳法呢？

二、实验数学在智能时代

归纳法是对个例逐个进行判断，具有能够检验充足事实的优点，但也存在着命题数量大、演算复杂度高、人力难以企及等缺点，所以常常用作简单命题的判断。但是，随着计算机技术的快速崛起，人类进入了智能时代，计算机技术和人工智能的高性能使得大数据处理变得更加容易，因而归纳法原本的局限不再是瓶颈。一个典型的例子是四色定理的证明，定理自1852年提出后一直以来无法用经典的演绎推理来证明。进入20世纪后，数学家们请来计算机对命题中的每一子类逐一检验（约100亿个判断），归纳出相应结果，从而证得。这给数学的发展一个启示：归纳法在人工智能的强力加持下，能够完成以前不可能完成的任务，如预测气象变化、判断经济走势，当然也包括对数学定理的证明。

1992年美国《Experimental Mathematics》学术杂志的创刊是个标志性事件，“标志着实验数学已经成为一门相对独立的数学分支，并已从演绎数学这个主干中分离出来”。在国内，也有学者提出用“实验数学对欧几里得范式的挑战”“实验数学是空前的数学革命”，认为实验数学是数学学科的新分支，是数学发展的重要方向，应该加大实验数学的研究力度。

实验数学兴起时间不长，对于什么是“实验数学”，目前尚未有统一的定义。比较公认的描述是，实验数学是这样一个数学分支：它通过对猜想和非形式化的信念的实验探索， 以及对此过程中所获信息的仔细分析，最终对数学界提出的各种洞察到的事物加以组织、分析和传播 。简单地说，就是用实验的方法归纳出数学规律的数学新分支。

三、作为教学的实验数学

实验数学作为一门学科，国内从20世纪90年代开始在北京航空航天大学、清华大学、北京大学、中国科技大学等重点大学开设，课程名称分别是“数学实验”“实验数学导引”等，研究内容包括几何变换、天体运动、数论、运筹学、迭代与混沌、密码、概率、经济分析、几何定理的计算机证明等。这些课程内容以其与传统的数学教学不同的特点在数学教育中引起广泛的兴趣和支持，并获得高校专家和师生的普遍好评。目前国内已有数百所学校开设了实验数学课，课程的对象不仅是理工科专业，而且包括了经济管理甚至文科等专业。

在义务教育学段，由华中师范大学姜乐仁教授主编的六年制小学试用课本《实验数学》， 于1989年经国家教委中小学教材审定委员会审定，正式确定为实验课本。不过，“实验”在这套教材中的意思类同于“尝试”，强调在学习中要让学生先想一想、议一议，鼓励学生尝试解决问题。

综上所述，我们认为，作为教学任务的实验数学，不只是“尝试”，更主要是以观察操作和分析归纳为主要方法论的教学，以区别于其他数学教学。实验数学教学就实验内容、实验工具和实验深度来讲，大学、中小学不一样，但从方法论来讲是一脉相承的。首先从数学方法来看，实验数学不是从定义、概念和规则出发来发现新知，而是从观察、操作和分析来归纳出数学事实和相应规律。其次，从数学学习的角度来看，实验数学不用“背”“记”“算”，不是传统的一张纸和一支笔的学习方式，而是要对事物或现象进行观察，发现问题，做出猜想，然后设计实验，在亲手操作中思考与调整，学会分析实验过程和结果，归纳出内蕴其中的数学事实和数学规律，再把结论回馈到实验中加以验证或调整的过程。因此，实验数学的教学是实验归纳方法论的教学。

这套方法论在小学数学教学中实际上已经有所应用，如在“三角形的内角和”的教学中，学生得到“三角形的内角和是180°”这个结论并不是从平行线的相关性质和定理推导出来的，而是通过先分类枚举三角形，观察内角，猜想规律，然后通过量一量、算一算、剪一剪、拼一拼、画一画等操作活动来分析验证，最后归纳出结论。在小学阶段，像这样通过观察与操作，然后分析归纳出数学规律的学习方式屡见不鲜，如平面图形的周长和面积、立体图形的体积、加法和乘法的运算定律等。

值得指出的是，作为小学教学的实验数学，不仅要体现方法论特点，还要符合学生的认知特点。因此，实验材料要和大学生主要使用计算机不同，我们认为小学生要以实物操作为主，间或用计算机模拟实验，不含思想实验、不含单纯的纸笔演算实验。

四、实验数学和数学实验

实验数学是以实验操作和分析归纳的方法来发现和认识数学的，因此其基本的内容和学习方式就是做数学实验。我们在实践中把数学实验分为三类，简称“1+2+X”。其中：“1”是指每周1课时固定的“模块化数学实验”，放在学校拓展课程中;“2”是指以学期为单位每学期开展2～3个“课题型数学实验”;“X”是指在常规数学课中，为突破难点或深入理解重点而嵌入的数学小实验，是一种“组件式数学实验”。

（一）“1”：专门设计的“模块化数学实验”

1.课程时间及模块规划

我们从校本课程中每周安排1课时进行实验数学的专项学习。为均衡规划实验内容，我们依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，分别设置了“数感与量感”模块、“模式与关系”模块、“图形与想象”模块、“拓扑与变换”模块和“统计与概率”模块，一共是5个模块。不过，这五个方面的内容也不完全对应数学课标的知识领域，比如“模式与关系”既可以是数与代数领域的，也可以是几何领域的。

为便于教学，我们陆续出版了《数学动动手：小学生爱玩的数学实验》1～12册，每册10个活动内容，每个活动时间是40～60分钟，助力实验数学拓展课。以第4册为例，10个内容如下 ：

对于各模块的内容安排，我们采用螺旋式进行编排，以“模式与关系”为例，在一至六年级中分别编排如下：

在编排时，我们注意整体规划。横向层面每一册都包含5个模块;纵向层面对每个模块在整个小学阶段有计划地分层编排。如在“模式与关系”模块中，我们进一步把它细分成代数思维、关系推理、模式发现这三个子类。纵向编排时低年级和高年级有不同的内容侧重，并随着年级的升高逐渐增加“模式发现”子类的内容。类似地，在其他各个模块中，我们也都设有二级子类，内容源于数学课标，同时也做一些适当的拓展，如系列拓扑关系實验、系列随机关系实验、系列分形几何实验等当代数学中较有影响的实验内容。

2.内容特点及设计编排

在具体设计“数学动动手”中的每一个实验时，我们不但会考虑内容既要符合实验数学的特点，还要衔接儿童的认知特点。我们把儿童与生俱来的好奇心作为出发点和驱动力伴随整个实验过程。以上表中的“透视骰子”实验为例，从“我好奇”开始（如图1）：

X先生声称自己拥有“透视眼”，他的眼睛就像X光一样，能够看穿隐藏的东西。比如，把5个骰子随意叠在一起，中间重叠面上的数字是看不到的，不过X先生只看了一眼，就说：“哈，有9个数字被盖住了，不过我都看到了，我还能把这些数字加起来，它们的总和是33。”

X先生好厉害哟，他确实只是看了一眼。X先生真的具有透视眼吗？

紧随着是“我猜想”，好奇引发猜想：X先生可能真有透视的特异功能;也可能他只是掌握了骰子上数字的排列规律。那么，“骰子上的数字排列有规律吗”？带着好奇，“我实验”：学生观察骰子、叠加骰子、记录和分析点子数、假设和验证、尝试归纳骰子求和算法，最终破解谜题。随后是“我回顾”：对实验过程与结果进行回顾，包括实验安全、实验中的困难、实验的收获等，同时鼓励学生产生联想，举一反三，触类旁通，提出新问题。类似地，在“数学动动手”中的每一个数学实验都包含“我XX”这7个栏目（图2）。每个实验都从一个令人好奇的现象或问题出发开始探究，到最后的实验回顾提出新问题，形成了一个回路。这样设计的目的，一方面是给好奇心正反馈，以促进学生提出新的好奇性问题，从而鼓励和增强学生的好奇心;另一方面相当于给出了一个实验操作流程，把实验数学的方法论特征和学习方式、教学结构都统整起来，三合一，方便教学。

（二）“2”：每学期2次“课题型数学实验”

拓展课由教师主导，而每学期2～3次的小课题则由学生以团队项目制的形式自主研究。小课题的来源可以由学生提出，也可以采用教师所推荐的。过程管理采用“流程图+Poster分享”方式，完成时间一般为1个月左右。

以“超级七巧板”项目为例，学生经历了从认识七巧板、制作七巧板、拼组七巧板到创新七巧板的整个过程：

（1）七巧板的认识和制作。目标：认识图形。

（2）七巧板拼摆图案或根据图形轮廓拼组七巧板。目标：理解图形关系。

（3）画故事，把七巧板融入成语故事、我爱秋天等主题活动。目标：发展空间想象力。

（4）用巨型七巧板拼图形。最小等腰直角三角形直角边是1米，七巧板拼合后正方形的边长是2.8米。目标：发展空间推理能力。

（5）制作超级七巧板。研究七巧板各图形的特点，讨论优点和局限，改进形状，制作新版七巧板。目标：发展空间推理能力和空间想象力。

（6）用超级七巧板拼组生活中的图案和数学中的基本图形。在图形的拼组中进一步比较经典七巧板与自己创造的七巧板的优缺点。目标：理解图形关系，发展空间观念。

我们把这样的小课题称为“实境探究”，强调实验数学要面向真实问题，应对真实挑战，在真实环境中真实地解决问题。在实境探究前学生团队需要和教师（可以邀请校内外其他成人）一起评论项目设计，包括：课题、材料准备、预期、活动步骤等。其中活动步骤按“5E”流程实施，即吸引（Engage）、探究（Explore）、解释（Explain）、迁移（Elaborate）、评价（Evaluate）。上面的“超级七巧板”课题活动第1～2项包含在“吸引”“探究”“解释”活动流程内，第3～6项属于“迁移”系列活动。“评价”则以分享展示为主渗透在每一项具体过程中。在实践中，我们还鼓励学生混龄组队研究，让学生能相互支持，激发数学灵感。

（三）“X”：嵌入日常教学的“组件式数学实验”

在日常教学中，适时嵌入一些直观有趣的小实验，对于解决教学难点加深重点理解往往能起到事半功倍的效果。这些小实验花费的时间不长，一般在10分钟左右。可以是教师演示实验或者学生分组实验。如在“角的认识”中有一个学困点：角的大小比较（如图3），比较∠1和∠2。小学数学教材，对角的描述是“由一点引出的两条射线组成的图形叫作角”。这说明角的两条边是射线，角的大小与边的长短无关。但是学生在理解角的时候，受视觉和面积概念的影响，以为角的大小是指角的两边夹角的区域大小（如图中的涂色部分），因此往往会认为∠2大。如何帮助学生突破认知障碍呢？在教学中，我们做了一个小实验（如图4）：在角的一边上放一块积木。怎样操作，积木会滚下来？学生会说：转动一边，积木就滚下来了;或者把积木放远一点，积木也会滚下来。

讨论后，师生操作验证。对于第一种设想，转动一边，积木果然滚下来了。对于第二种设想，在实验中把积木往上移，放开手，积木并没有滚下来。学生很惊讶，要求延长角的一边，把积木再放远一点。可是，实验显示，就算把积木放在最上边，积木也没有滚下来。此时，教师引导学生观察与思考：和第一个小实验相比，什么变了？什么没变？

在交流中，学生发现：在第一个小实验中，转动角的一边后，倾斜度变了，角变大了，积木滚下来了。在第二个实验中，积木只是沿着角的一边往远处放，角的两边倾斜度并没有改变，积木是不会滚下来的，所以这3个角相等。也就是说，要改变角的大小，可以转动角的边，让倾斜度改变，改变角的边长是不会改变倾斜度的，角的大小不变。

在这个小实验中，学生通过动手操作，观察思考，把“斜度”和“角度”联系进来，体会到“角”的本质是反映了一条直线相对另一条直线的倾斜度，从而对角的概念获得直观而深刻的领悟。

像这样的小实验机动灵活，嵌入在教学内容中，融合了知识点，在操作中得感悟，突破认知提升了数学理解水平。类似地，我们对每册教材进行盘点，为学习难点、关键点设计了一些小实验，以第8册为例，除了上面的“滾木块（比较角）”，我们还设计了：低温测量（认识负数）、穿越纸板（观察物体）、分数片（分数加减）、摆数板数条数块（认识小数）等组件式数学实验。

五、实验数学的展望

我们从2007年开始在小学高年级尝试开设校本课程，2014年起在浙江省功勋教师张天孝的鼓励下，在“一课研究”创始人朱乐平老师的指导下，在小学各年段进行实验数学教学，均获得了令人欣喜的好评。同时，我们在杭州、上海、重庆、成都、深圳、青岛等20多个地市面向全国做了多次展示分享活动，也在教育部卓越校长领航工程研讨会上作专门的展示与交流，均收到较好反响。随着实践的深入，我们认为有更多的教学领域值得探索。

1.如何促进心智成长

随着机器智能的迅速发展和深度应用，知识的更新速度在加快，特别是那些事实清楚、规则明确的显性知识，就算是步骤极其复杂的领域，如围棋、气象、数学证明等，机器都能深度学习，给出优于人类学习的结果。在智能社会，学知识是机器的特长，人与机器去争机器的特长意义不大。如果学习的重心逐渐从掌握知识转移到促进心智发展，那么实验数学能不能在促进学生心智成长方面有所作为？知识可以传授，心智只能靠经历磨炼才能成长。实验数学本质是一种数学探索，是一种数学经历，学生在做实验的同时如何磨炼心智，如接受失败、承担责任、乐于合作、善于反思、长时努力、传递快乐等值得我们去探究。

2.如何提升课程体验

在智能社会，学习方式和学习途径将极大丰富。特别是近期因疫情而“被迫”离校学习的经历，人们发现远程学习方便且有效。对于复学，只见家长欢呼雀跃，不见孩子归心似箭，不少学生更是乐不思“校”。显而易见，学生对于在家学习的体验超过了学校学习。不难理解，如果以纸笔学习为主的课堂是学习数学的主要场景，那么在家学习岂不是更惬意？那么，在改变数学学习体验方式方面，实验数学能不能有所作为？如在数学课中，至少在新授课中，实现“课课有实验，人人能动手”，让学生能亲手操作以获得“数学好玩”的快乐体验;实验内容有趣有味让学生能在不断尝试后获得“原来是这样啊”的顿悟体验;实验结果能让学生获得“数学真美”“数学真妙”的美妙体验。通过良好的活动体验让学生感受到数学有趣味、数学有美味、数学有滋味，从而亲近和信任数学。

3.如何变革学习评价

随着教学改革的深入，对于学业质量监测的内容和范围也在变化。对于双基目标，我们已经有了包括纸笔测试在内的多元评价方法。那么，对于“基本活动经验”和“基本思想方法”的评价，实验数学有没有可能提供一些有价值的样例？比如实验操作题，不同于科学实验题，不是为了检测实验步骤是否规范，实验方法是否符合规定要求，而是通过实验操作解决一个数学问题，从“行为—思维”中考查学生的数学思维和实践能力，如求异思维、审辩思维、空间想象、逻辑推理、动手能力，甚至好奇心、探究欲等。