深度研读教材策略之二：再现数学知识的形成过程(1)

张强 马腾飞

【导读】

“鸡兔同笼”在各版本教材中出现在了不同的年级：2006年人教版数学教材中，该内容出现在六年级上册，侧重让学生学会利用方程解稍复杂的实际问题。2009年浙教版教材中，该内容出现在三年级下册，侧重让学生利用画图的方法解决问题。2013年教育部审定版教材中，该内容出现在四年级下册，侧重培养学生利用假设法这一重要数学思想方法解决实际问题。

本案例中，来自昆明市盘龙区拓东第一小学的张强老师，在周佳泉老师的悉心指导下，大胆尝试用假设法指导学生自主探究，力求完整演绎学生发现“鸡兔同笼”问题数学本质的过程。没有方程的“加持”，学生能顺利“通关”吗？让我们拭目以待：

【案例】

课堂实录：

一、开门见山，引出课题

1.先出示鸡和兔的图片。

师：鸡有几只脚？兔有几只脚？

2.再出示课本第104页例1，请学生读题，说一说题目的意思。

师：这道问题和以前我们学过的问题有什么不一样的地方。

……

二、化繁为简，主动探究

（一）降低起點，初步感知

师：鸡兔同笼，有8个头，有26只脚。鸡和兔各有几只？

（师带领学生梳理数学信息和问题并板书）

师：猜一猜有几只鸡，几只兔？

（短暂的宁静之后……）

生1：我猜可能有1只鸡和7只兔。

……

师：大家猜测的这些情况，都是把两种动物的头数猜对了。但是脚的只数对不对呢？该怎么验证？

……

师：我们可以用表格记录出大家猜测的情况，再计算出脚的总只数，判断一下对不对。（出示下表，学生填写并判断）。

师：现在找到正确结果了吗？

生（齐）：找到了，是3只鸡，5只兔。

（二）观察变化，感受趋势

师：请仔细看大家填写的表格：从左往右看，有什么变化规律？

生1：鸡的只数变多，兔的只数变少，脚的只数在逐渐减少。

师：为什么脚的总数在减少呢？

生2：因为兔减少了，鸡增多了。

生3：兔“换成”鸡以后，脚的总数“损失”了。

师：说得真好！那么从右往左看呢？

……

师：是的，总数一定的时候，鸡增加了兔就减少，鸡减少了兔就增加。在鸡兔“互换”的过程中，把鸡换成兔脚的只数就会增加，把兔子换成鸡脚的只数就会减少。

（三）深入研究，理解规律

师：如果我们一来就采取“对半”猜的方法，假设是有4只鸡和4只兔子。脚的总只数和题目有什么矛盾呢？

生1：脚的总只数少了2只。

师：这时我们应该增加什么？减少什么？

……

师：增加一只兔应该增加4只脚才对呀！怎么只增加了两只脚呢？

生2：因为你这里进来了1只兔，增加了4只脚，可是又出去了1只鸡，又减少了2只脚，就相当于只增加了2只脚。

……

师：我们发现：把一只鸡换成一只兔，脚的只数就增加2只;反过来，当我们把一只兔换成一只鸡的时候，脚的总只数就会减少2只。当我们的猜测与实际不符合的时候，就可以根据脚的多少来判断是哪种动物猜多了（或是猜少了），应该怎么调整。

（师带领学生继续观察其他各列情况，找到调整方法）

……

（四）简化思路，建立模型

师：能不能一来就假设全部是鸡呢？

生1：不可以。因为题目中说了既有鸡又有兔，这样假设是不对的。

生2：也可以的，根据假设来判断脚的只数不对，再调整。

师（问生1）：你同意他的说法吗？

生1（想了想）：同意。

师：按照第二位同学的说法，我们假设全部是鸡，脚的总数肯定会怎么样？

……

师：我们可以用画图的方法来解决。

（师示范简笔画，学生模仿）

我们可以用这样的方式就表示了8只鸡，现在一共有几只脚了？

生（齐）：16只。

师：与真实的脚数相比，还差几只？

生（齐）：还差10只。

师：那就需要“变”出几只兔子来？

……

师：是这样吗？我们来画画试试。

（师示范画第一只鸡“变”兔，学生模仿并完成）

师：谁来说说刚才的思路？

生：……

师：能用算式表示吗？

（边回顾思考过程，边用算式表示）

师：假设全部是兔子可以吗？

生（齐）：可以！（师带领学生一起解答）

方法一：假设全是鸡

脚：8×2=16（只）

矛盾  总脚数相差：26-16=10（只）

鸡与兔脚数差：4-2=2（只）

调整  鸡换成兔：10÷2=5（只）

鸡还剩：8-5=3（只）

验证：3×2+5×4=26（只）

解决问题   答：鸡有3只，兔有5只。

方法二：假设全是兔

脚：8×4=32（只）

矛盾  总脚数相差：32-26=6（只）

鸡与兔脚数差：4-2=2（只）

调整  兔换成鸡：6÷2=3（只）

兔还剩：8-3=5（只）

验证：4×5+2×3=26（只）

解决问题   答：鸡有3只，兔有5只。

三、巩固拓展，灵活运用

师：在现实生活中，会有人真的把兔子和鸡关在同一个笼子里边吗？

生（齐）：不会！

师：是的，“鸡兔同笼”问题其实是研究两个互相影响的数量的变化问题。

其实在我们的生活中，这样的问题还真不少呢。（课件出示题目）

“好又来”早点铺的大碗米线每碗10元，小碗米线每碗8元。星期六早上才10分钟的时间，就卖出了20碗米线，收入176元。其中有几碗大碗米线和几碗小碗米线？

（学生独立完成，然后组织订正）

四、整体回顾，提炼升华

今天，我们通过“大胆假设——发现矛盾——调整假设——解决问题”四个步骤，成功地解决了“鸡兔同笼”问题。

【思考】

本节课，是昆明市盘龙区周佳泉小学数学名师工作室的全体成员，在周老师指导下进行深度研读教材、集体备课形成的集体智慧结晶，最后由盘龙区拓东第一小学的张强老师执教演绎。

这节课最显著的特点是让学生经历了知识形成的完整过程，在充分感知的基础上逐步抽象、归纳，建立数学模型。“大胆假设—发现矛盾—调整假设—解决问题”的思维形成过程连贯、完整，具体表现在以下四个方面：

1.从不知所措到若有所悟。“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名著《孙子算经》中的经典问题，它以“鸡兔同笼”事件为载体，研究互相影响的两个变量之间的关系。对于小学生来说，第一次面对两个不确定的数量（并且互相影响），要在同一个问题里求出两个未知量，思维难度是极大的。所以当老师提问“你猜会有几只鸡？几只兔？”的时候，全班出现了短暂的“宁静”。当第一个学生的发言打破沉默之后，学生们纷纷回过神来——一共有8个头，说明鸡和兔的总数量是8，假设一部分是鸡，另一部分就是兔——这不就是一年级学的“8的分与合”吗？到这里，学生迈出了通向成功的第一步。

2.从有限穷举到发现规律。只是猜对了头数还不行，脚的只数也要凑足。在教师提供表格的帮助下，学生通过计算验证自己的猜想。虽然几分钟过后，大部分学生都能猜出正确的答案，但是这种有限穷举的方法其思维水平是较低的。怎样引导孩子从低阶思维向高阶思维发展？这是本节课教师所要面对的一大难题。在教师的引导下，学生观察表格中的数字变化发现了三个重要规律：一是兔和鸡的只数此消彼长——因为总数不变，鸡的只数增加了，兔的只数必然就减少，反之亦然;二是兔数量增加的时候，脚的总只数增加，兔数量减少的时候，脚的总只数就减少;三是把鸡换成兔子，每换一次就增加2只脚，反之则每次减少2只脚。发现了这三个重要规律，就为后面“发现矛盾—调整假设”的战略实施提供了坚实的思想基础。

3.从表面现象到内部本质。如果用代数思维来表达本课中“鸡兔同笼”问题的本质，其问题结构可以如下图所示：

设其中一个量为x，另一个量就为（8-x），代入上式就能列一元一次方程解答;设其中一个量为x，另一个量为y，根据题意，就能列二元一次方程组解答。但是四年级的学生还没有接触过方程，显然只能依靠算术思维来解决这个问题。这时候“极端”假设就应运而生，浮出水面——我们能否假设全部是鸡呢？明知假设不对，仍然“姑且信之”，随后果然“发现矛盾”，必然“调整假设”，最终“解决问题”。这四步走下来，可谓是大刀阔斧、酣畅淋漓。四年级的学生何尝经历过这样的阵仗？但是依托画图、“复盘”、算式表达等形式，大部分学生在思维水平上得到了质的飞跃——原来看似不确定的复杂问题，可以先大胆假设，然后根据矛盾进行调整就能解决问题。这就是这节课的数学模型，也是这节课的核心价值所在。

4.从经典趣题到生活实际。小学生的思维特点是以具体形象思维为主。因此，大部分的数学问题都应该以小学生所熟悉的生活事件作为载体来呈现。“鸡兔同笼”问题也不例外，它是以“鸡和兔关在同一个笼子里”这样形象生动的比喻，来承载两个变量互相影响的數量关系，绝非某些艺术家讽刺的“只有发神经的人才会把鸡和兔关在一个笼子里”。既然“鸡兔同笼”只是一个问题载体，那么这类问题在生活中必然有它的原型。本案例中，张强老师用学生熟知的“大碗米线”和“小碗米线”的价钱问题，让学生把“鸡兔同笼”的问题框架回归现实，让学生深切地体会到“鸡兔同笼”问题是真实存在于现实生活中的。用所学数学知识解决现实生活问题，凸显数学的工具性与实用价值，这也是新课标所倡导的课改方向。

学生的数学思维发展是一个从具体到抽象、从简单到复杂、从现象到本质的渐变过程。面对以思维训练为主的教学内容，我们只有让学生经历思维发展的完整过程，亦即知识形成的完整过程，才能让学生的思维发展步步落实，最终攀上顶峰。