逆向选择条件下带甄别期的最优保险设计

胡振华 孙巧

摘   要：为了改善信息不对称对保险市场交易效率的影响，分投保人为两种及两种以上风险类型建立了带甄别期的保险契约模型，指出可以利用投保人在甄别期的风险发生情况来推断投保人的风险类型。带甄别期的保险契约是指：自保险合同生效之日起的一段时间内（甄别期），如果投保人发生风险，保险公司将给予一定的赔偿，甄别期过后，如果投保人再次发生风险，保险公司将不再给予任何赔偿;如果投保人在甄别期未发生风险，而在甄别期之后的剩余保险期发生风险，保险公司仍然给予与上述情况相同的赔偿。证明指出效用最优时带甄别期的保险契约不比R-S传统部分保险契约差，并给出了前者是后者严格帕累托改进的充分条件。此外，对于两种以上风险类型情形，证明了满足对次低风险投保人的激励相容约束是满足对其余高风险投保人激励相容约束的一个充分不必要条件，并给出了相应的充分条件，进一步指出该充分条件的集合恰是带甄别期的保险契约能够产生分离均衡的一个充分条件。最后，以一个算例说明确实存在效用最优时带甄别期的保险契约是R-S传统部分保险契约的严格帕累托改进情形。

关键词：信息不对称;逆向选择;最优保险设计;甄别期;帕累托改进

中图分类号：F840  文献标识码：A  文章编号：1674-2265（2021）05-0044-09

DOI：10.19647/j.cnki.37-1462/f.2021.05.007

一、引言

事前非对称信息的存在常常引发降低市场交易效率的逆向选择问题，所谓逆向选择，是指由交易双方事前非对称信息所导致的市场中“劣质品驱逐优质品”的资源配置扭曲现象。首先提出逆向选择问题的是Akerlof（1970）[1]，他通过对旧车市场的研究中指出：“在旧车市场中，卖家比买家更了解旧车的质量，而买家通常无法做到对旧车质量的准确认识，而只了解同类旧车的平均质量，因此，理智的买家只愿意按照旧车的平均质量提供报价，此时质量高于同类平均质量的旧车因买价太低而无法成交，高质量的旧车被迫退出市场，预期到这一点，买家所愿意支付的价格随着旧车平均质量的不断下降而进一步减少，如此循环下去，相对高质量的旧车将不断退出市场，市场趋于萎缩，只有极少数低质量的旧车得以成交，帕累托最优交易量无法实现”。保险市场也存在类似的现象。在保险市场中，不同投保人的风险程度各不相同，通常投保人清楚知道自己的风险类型，而保险公司只能通过相应的技术手段掌握保险市场中投保人的平均风险程度，并以此为依据确定平均保险费率。根据等价交换的原则，显然平均保险费率高于低风险投保人应当支付的保险费率，而低于高风险投保人应当支付的保险费率，相当于低风险投保人补贴了高风险投保人的部分风险，风险之差越大逆向选择越有可能发生。当低风险投保人投保较不投保是一个劣策略时，其被迫退出保险市场，此时保险公司不得不进一步提高保险费率，而这又将阻碍了次低风险投保人购买保险，保险公司面临的赔付风险再次加大，保险费率再次提高。如此循环下去，市场均衡时只有较高风险类型的投保人购买保险，较低风险类型的投保人将陆续退出市场，即出现高风险投保人驱逐低风险投保人的逆向选择现象，严重影响保险市场的资源配置效率，使保险交易水平无法达到对称信息时的帕累托最优交易水平。

保险市场逆向选择问题最经典的研究出自Rothschild和Stiglitz（1976）[2]，他们构建了保险市场纯逆向选择的标准模型，即R-S基本保险模型，对保险市场逆向选择问题的研究作出了突出贡献，证明了在纯逆向选择的保险市场中，如果均衡存在，则一定是分离均衡，即高风险投保人获得完全保险，而低风险投保人只能被部分保险。随后，不少学者对R-S基本模型作了扩展研究。首先是对“均衡契约可能不存在”的研究。Wilson（1977）[3]在重新定义R-S基本模型的均衡之后指出保险市场始终存在着混同均衡;Spence（1978）[4]在Wilson的基础上增加了保险公司可提供保险菜单合约的假设后，得到了存在交叉补贴的均衡契约。其次是对“均衡契约能否达到帕累托最优”的研究。尽管Wilson（1977）[3]和Spence（1978）[4]解决了均衡契约可能不存在的问题，但它们都指出在非对称信息条件下低风险投保人只能被部分保险，帕累托最优均衡始终无法实现，其他研究中也得到相同结论（Cooper和Hayes，1987;Wambach，2000;Villeneuve，2003）[5-7]。再次是对“均衡契约帕累托效率改进”的研究。由于均衡契约在非对称信息条件下无法达到帕累托最优，故而有学者将目光转到帕累托效率的改进研究中，他们分别将低赔期、免赔期、试用期、免赔额和保证金等信息甄别工具引入R-S基本模型，提高了对投保人风险类型的甄别效率，使均衡契约的帕累托效率得以改进（Ma等，2015;Eeckhoudt等，1988;Spreeuw，2005;Spreeuw和Karlsson，2009）[8-11]，还有一些学者将R-S单期静态模型扩展为多期动态模型，主张通过前一期的风险发生情况调整下一期的保费和赔付，也能起到对投保人风险类型的甄别作用，这其中最为经典的研究当属Janssen和Karamychey（2010）[12]的多期重复交易的保险契约设计：将R-S基本模型所描述的保险交易重复多次，并根据前面各期的风险发生情况调整本期的保费和赔付，研究发现高风险投保人仍然能够得到完全保险，而低风险投保人尽管仍然是部分保险，但多期动态均衡的效用严格大于单期静态均衡的效用，说明多期保险契约较单期而言是一个严格的帕累托改进，这一结论在其他文献中（Dionne等，1994;Francisco，1999）[13-14]也得到了广泛印证。

从文献回顾中了解到，多期保险契约通常是单期保险契约简单加总的严格帕累托改进，这是因为多期保险契约能够根据前一期的风险发生情况动态调整下一期的保费和赔付，由于风险发生者比未发生者更可能是高风险投保人，故而可以起到信息甄别的作用。然而，多期保险契约存在以下缺点：其一，高风险投保人可以选择购买单期保险合同，而低风险投保人却不得不同时购买多期保险合同，相当于低风险投保人为更接近本身应该获得的效用而不得不购买多期保险，显然有失公平原则;其二，多期保险契约是保险期相等的单期保险契约的简单加和，要求前后保险期相等显然存在不足，放开这一点对于低风险投保人的效用很可能是一种帕累托改进。结合这两点，本文考虑在单期保险契约的基础上引入可变的甄别期，并根据投保人在甄别期的风险发生情况调整剩余保险期的赔付。值得注意的是，R-S基本保险模型假设投保人在保险期内赔付至多一次，而本文假设：投保人在甄别期内赔付至多一次，在剩余保险期内赔付同样至多一次，且前后发生风险的损失相等、赔付相等。于是，带甄别期的保险契约是指：自保险合同生效之日起的一段时间内（甄别期），如果投保人发生风险，保险公司将给予一定的赔偿，甄别期过后，如果投保人再次发生风险，保险公司将不再给予任何赔偿;如果投保人在甄别期未发生风险，而在甄别期之后的剩余保险期发生风险，保险公司仍然给予与上述情况相同的賠偿。

较R-S传统部分保险契约，本文的创新主要有以下几点：

一是引入甄别期作为投保人风险类型的信息甄别工具，证明了带甄别期的保险契约不劣于R-S传统部分保险契约，并给出前者是后者严格帕累托改进的一个充分条件，最后以一个算例说明确实存在低风险投保人效用最优时带甄别期的保险契约是R-S传统部分保险契约、低赔期保险契约、免赔期保险契约以及保证金保险契约的帕累托改进情形。

二是将甄别期保险模型扩展至投保人两种以上风险类型的情形，证明指出在给定充分条件成立的情况下，满足对次低风险类型投保人的激励相容约束是满足对其余高风险类型投保人激励相容约束的一个充分不必要条件，即只要各种风险类型的投保人分别满足与次低风险类型投保人的激励相容约束，则所有风险类型的投保人均是两两激励相容的。

三是对于投保人两种以上风险类型的情形，证明了带甄别期的保险契约不劣于传统部分保险契约，并在上述充分条件成立的情况下，一方面给出了前者是后者严格帕累托改进的一个充分条件，另一方面还证明了上述充分条件的集合恰是带甄别期的保险契约能够产生分离均衡的一个充分条件。

二、逆向选择条件下传统部分保险契约模型（R-S基本保险模型）

首先简单介绍R-S基本保险模型的主要内容。

本文以财产保险为例进行讨论，并站在低风险投保人的立场上设计保险契约。假设在完全竞争的保险市场中，存在高、低两种风险类型的投保人，他们未发生风险时的收入是[x1]，发生风险后的收入是[x2x20]，[0≤t≤T]，由概率函数易知[pH0=pL0]

[=0]。高、低风险类型的投保人在保险期[T]发生风险的概率分别是[pHT]、[pLT]，简记为[pH]、[pL]。假设在任意时刻[tt>0]，均有[pHt>pLt>0]，则有[1>pH>pL>0]，又因为[pH0=pL0=0]，可以推断出[p′H0>p′L0>0]。进一步假设高、低风险类型投保人的V-N-M效用函数分别是[uH]和[uL]，考虑二者都是风险厌恶型的投保人，因此满足[u′?>0]，[u″?<0]。此外，假设保险公司是风险中性的。

在对称信息条件下，保险公司将分别向高、低风险类型投保人提供完全保险[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，[Δx*]是赔付，[k*H]、[k*L]则分别是高、低风险类型投保人购买保险所需支付的保费。保险合同[k*i，Δx*]（其中，[i=H，L]）由最优化模型（[i]）确立：

[maxk，ΔxUi=1-piuix1-k+piuix2-k+Δxis.t.1-pik+pik-Δx≥0k，Δx≥0]

显然，投保人效用最优时保险公司的参与约束应取等号，即[k=piΔx]，代入目标函数消去[k]，不难知道目标函数[Ui]是关于[Δx]的一元函数，对[Δx]求导得：

[?Ui?Δx=-pi1-piu′ix1-piΔx+pi1-piu′ix2+1-piΔx=pi1-piu′ix2+1-piΔx-u′ix1-piΔx]

由于过度保险会产生道德风险问题，原则上赔付不应大于损失，故[Δx≤x1-x2]。再因为[u″?<0]，不难知道[?Ui?Δx>0]，所以效用最优时[Δx*=x1-x2]，即在对称信息条件下高、低风险类型的投保人均能获得完全保险，[k*i=pi×Δx*]，[i=H，L]。

在非对称信息条件下，保险公司无法准确获取投保人的风险类型，如果继续提供在对称信息条件下的完全保险[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，由于[k*H>k*L]，而赔付[Δx*]不变，因此理智的高风险投保人一定會采用伪装策略而选择[k*L，Δx*]，此时保险公司亏损[k*H-k*LΔx]，迫使其不得不停止向低风险投保人提供完全保险[k*L，Δx*]，这时为满足与高风险投保人的激励相容约束，保险公司向低风险投保人提供的只能是部分保险。因此，保险公司提供如下一组保险合同：其一，为潜在的高风险投保人提供与其在对称信息下相同的完全保险[k*H，Δx*];其二，为潜在的低风险投保人提供满足与高风险投保人激励相容约束的部分保险[k，Δx]，[k]是部分保险的保费，[Δx]是部分保险的赔付。保险合同[k，Δx]由最优化模型（L0）确立：

[maxk，ΔxUL0=1-pLuLx1-k+pLuLx2-k+ΔxL0s.t.1-pHuHx1-k+pHuHx2-k+Δx≤U*H1-pLk+pLk-Δx≥0k，Δx≥0（1）（2）]

模型（L0）的目标函数是低风险投保人购买部分保险时的效用最大化。约束条件（1）式是指该部分保险契约须满足与高风险投保人的激励相容约束，即高风险投保人冒充低风险投保人而购买部分保险的效用不大于其直接购买保险公司为自身风险类型所准备的保险契约[k*H，Δx*]。其中：

[U*H=1-pHuHx1-k*H+pHuHx2-k*H+Δx*]

约束条件（2）式是保险公司为低风险投保人提供部分保险的参与约束，即保险公司提供保险的期望效用不小于零，在完全竞争的保险市场中，保险公司提供保险所产生的福利由投保人完全获取，提供保险这一过程无法直接给保险公司带来利润，效用最优时显然（2）式取等号。

假设能够产生分离均衡的最优保险契约是存在的，那么它必然是由（1）、（2）两式取等号所确定的交点[k，Δx]所决定。一方面，如果（1）式不取等号，那么激励相容约束就没有意义，低风险投保人的效用仍然存在改进空间，直到（1）式取等号，在满足高风险投保人激励相容约束的前提下，所确定的保险契约给低风险投保人带来的效用达到最优。另一方面，只有当保险公司提供保险所产生的福利由投保人完全获取时，所确定的保险契约给低风险投保人带来的效用达到最优，因此（2）式同样取等号，即处于完全竞争的保险市场。不难知道低风险投保人效用最优时，有[k

为了加深理解，给出R-S基本保险模型的几何分析。如图1，横坐标表示投保人未发生风险时的收入情况，纵坐标表示投保人发生风险后的收入情况，初始点设为[Ax1，x2]，[x1]是未发生风险的收入，[x2]是发生风险之后的收入，该处由于保费[k=0]，说明[Ax1，x2]代表不投保状态。此外，由于45°线上横纵坐标相等，说明投保人在购买保险之后发生风险与不发生风险的收入相等，即线上任一点均表示完全保险。

在对称信息条件下，对于高风险投保人，由于其效用最优时获得完全保险，即合同应在45°线上。另外，因为保险公司的零利润线由[k*H=pH×Δx*]确定，且过定点[Ax1，x2]，由此可唯一确定保险公司的零利润线，与45°线相交之处便是保险合同[k*H，Δx*]，该点记为[Hx1-k*H，x2-k*H+Δx*]，线段AH是保险公司为高风险投保人提供保险的零利润线。此外，由于高风险投保人的无差异曲线簇彼此平行，说明过H点的无差异曲线有且仅有一条，代表着高风险投保人购买保险所能获得的最大效用，记为[U*H]。同理，对于低风险投保人，可以确定[Lx1-k*L，x2-k*L+Δx*]，以及其购买保险所能获得的最大效用[U*L]。值得一提的是，对于高风险投保人，线段AH并非无差异曲线[U*H]在H点的切线，且在无差异曲线[U*H]上做与线段AH平行的切线，切点应位于45°线的上方、线段AH的下方。对于低风险投保人，亦是如此。

在非对称信息条件下，比较合同[k*H，Δx*]和[k*L，Δx*]，同等赔付[Δx*]而保费[k*H>k*L]，因此，高风险投保人有动机偽装成低风险类型而选择购买[k*L，Δx*]，其无差异曲线由[U*H]向右上方移至[U**H]，伪装使其效用增加。此时，保险公司亏损保费[pH-pLΔx]，迫使其停止提供合同[k*L，Δx*]，而提供满足对高风险投保人激励相容约束的合同[Bx1-k，x2-k+Δx]，因为B点位于无差异曲线[U*H]上，所以高风险投保人伪装成低风险类型是没有必要的。此时，低风险投保人的无差异曲线由[U*L]向左下方移至[U**L]，因此非对称信息的存在牺牲了低风险投保人的部分效用。值得一提的是，即便如此，保险公司所提供的H合同和B合同仍不是分离均衡，有两点原因：其一，尽管高风险投保人选择B点未给其自身带来效用上的提升，但同时也没有减少，因此仍不能排除伪装行为，伪装将导致保险公司亏损[pH-pLΔx];其二，相较于B点，低风险投保人选择H点有可能带来效用上的提升。由于高风险投保人选择B点不利己，甚至面临信誉损失，于是本文不考虑前者，而把是否分离均衡归因于后者。

三、逆向选择条件下带甄别期的保险契约模型：两种风险类型情形

本模块延续R-S基本保险模型的相关变量设定和基本假设，不同的是，为了提高投保人风险类型的信息甄别效率，保险公司提供下列一组保险合同：（1）为潜在的高风险类型投保人提供与对称信息条件时相同的完全保险合同[k*H，Δx*];（2）为潜在的低风险类型投保人提供带甄别期的保险合同[tL，kL，ΔxL]。合同规定：自保险合同生效之日起的一段时间内（甄别期），如果投保人发生风险，保险公司将给予一定的赔偿，甄别期过后，如果投保人再次发生风险，保险公司将不再给予任何赔偿;如果投保人在甄别期未发生风险，而在甄别期之后的剩余保险期发生风险，保险公司仍然给予与上述情况相同的赔偿。值得注意的是，为了与R-S传统部分保险契约做比较，须保证二者的口径一致，于是假设投保人如果在整个保险期间都未发生风险，期末收入设为[x1];如果在甄别期或者剩余保险期任一发生风险，期末收入设为[x2x2

低风险投保人带甄别期的保险契约[tL，kL，ΔxL]由最优化模型（L1）确立：

[maxt，k，ΔxUL1=1-pLt1-pL+pLtuLx1-k+pL-pLtuLx2-k+Δx+pLt1-pL+pLtuLx2-k+Δx+pL-pLtuL2x2-x1-k+Δx              （3）L1s.t.1-pHt1-pH+pHtuHx1-k+pH-pHtuHx2-k+Δx+pHt1-pH+pHtuHx2-k+Δx+pH-pHtuH2x2-x1-k+Δx≤U*H 1-pLt1-pL+pLtk+pL-pLtk-Δx+pLtk-Δx≥0k≥0;Δx≥0;T≥t≥0（4）]

模型（L1）的目标函数表示低风险投保人购买带甄别期的保险合同[tL，kL，ΔxL]时所获得的最大效用;约束条件（3）式表示高风险投保人伪装成低风险投保人购买带甄别期的保险合同[tL，kL，ΔxL]给他带来的效用不大于保险公司为其准备对称信息条件下相同的完全保险合同[k*H，Δx*]给他带来的效用，即满足对高风险投保人的激励相容约束;约束条件（4）式表示保险公司提供保险的参与约束，左式代表保险公司的利润，在完全竞争的保险市场中，保险所产生的福利被投保人完全获取，保险公司的利润为零。

注意到当[t=0]时，模型（L1）即是模型（L0），因此模型（L0）是模型（L1）的一种特例，故而得定理1。

定理1：非对称信息条件下，低风险投保人效用最优时带甄别期的保险契约不劣于R-S传统部分保险契约。

尽管定理1揭示了本文所建立的带甄别期的保险契约不比R-S传统部分保险契约差，但若不是效用的严格帕累托改进则理论价值就不大，因此，还需进一步比较二者的优劣。接下来，定理2给出了带甄别期的保险契约严格优于R-S传统部分保险契约的一个充分条件。

定理2：本文所确立的带甄别期的保险契约严格优于R-S传统部分保险契约的一个充分条件是：

[u′L?-Ap′H0pHuHφ+uHψ-2uH?p′L02-pLΔx-B

其中，[A=1-pLu′Lφ+pLu′L?]，[B=1-pHu′Hφ]

[+pHu′H?]，[φ=x1-pLΔx]，[?=x2+1-pLΔx]，[ψ=2x2-x1+1-pLΔx]，[Δx]是R-S基本保险模型（L0）效用最优时低风险投保人发生风险所获得的赔偿金①。

四、逆向选择条件下带甄别期的保险契约模型：两种以上风险类型情形

现实中风险类型各不相同，因此，有必要将甄别期保险模型进行扩展，延续两种风险类型情形下的基本假设，并将其推广至[nn≥3]种风险类型情形。假设[nn≥3]种风险类型的投保人如果在整个保险期间都未发生风险，期末收入设为[x1];如果在甄别期或者剩余保险期任一发生风险，期末收入设为[x2（0]，[0≤t≤T]，易知[pi0=0]，在保险期[T]发生风险的概率分别是[piT]，简记为[pi]，在任意时刻[tt>0]均有[p1t>p2t>p3t>…>pnt]，又因为[pi0=0]，可以推断[p′i0>0]。假设投保人的V-N-M效用函数分别是[ui?]，[i=1，2，3，…，n]，都属风险厌恶型，因此，满足[u′?>0]，[u″?<0]。此外，假设保险公司是风险中性的，即保险公司的期望便是效用。

对于[nn≥3]种风险类型的投保人，保险公司提供下列一组保险合同：其一，向潜在的风险类型为1的投保人提供与对称信息条件时相同的完全保险合同[C1t1，k1，Δx1]，此时[t1=0]或者[t1=T]、[k1=k*H]、[Δx1=Δx*];其二，向潜在的风险类型为[i]（[2≤i≤n]）的投保人提供带甄别期的保险合同[Citi，ki，Δxi]。不妨假定能够产生分离均衡的最优保险合同是存在的，则带甄别期的保险契约合同[Citi，ki，Δxi]（[2≤i≤n]）由如下最优化模型所确立：

[maxt，k，ΔxUCi=1-pit1-pi+pituix1-k+pi-pituix2-k+Δx+pit1-pi+pituix2-k+Δx+pi-pitui2x2-x1-k+Δx                   （5）Cis.t.1-p1t1-p1+p1tu1x1-k+p1-p1tu1x2-k+Δx+p1t1-p1+p1tu1x2-k+Δx+p1-p1tu12x2-x1-k+Δx≤UC11-p2t1-p2+p2tu2x1-k+p2-p2tu2x2-k+Δx+p2t1-p2+p2tu2x2-k+Δx+p2-p2tu22x2-x1-k+Δx≤UC2      （6）……1-pi-1t1-pi-1+pi-1tui-1x1-k+pi-1-pi-1tui-1x2-k+Δx+pi-1t1-pi-1+pi-1tui-1x2-k+Δx+pi-1-pi-1tui-12x2-x1-k+Δx≤UCi-11-pit1-pi+pitk+pi-pitk-Δx+pitk-Δx≥0k≥0;Δx≥0;T≥t≥0] 注意到当[t=0]时，模型（[Ci]）所确立的保险合同[Ci0，ki，Δxi]等同于R-S传统部分保险契约，因此，R-S基本保险模型是甄别期保险模型（[Ci]）的一个特例，得定理1#。

定理1#：对于两种以上（[n≥3]）风险类型情形，风险类型为[i2≤i≤n]的投保人在效用最优时带甄别期的保险契约不劣于R-S传统部分保险契约。

化简（6）式，得[k≥pi+pit2-pipitΔx]，令[pi=pi+pit2-pipit]，[2≤i≤n]，以下表述的[pi]均是指相应的[pi+pit2-pipit]。

引理1：若[2≤rps]。

证明：因为[rps]，且对于[?t∈0，T]，都有[prt>pst]。设[pi]为[x]，由于[pit]与[pi]相关，即[pit]是关于[pi]的一个函数，不妨设为[fx]。由模型假设条件知[prt>pst]，那么[f′x>0]。

于是，[y=x+fx2-xfx]，不难计算[y′=1-fx]

[+2-xf′x]，因为[pi<1]，即[x<1]，所以[y′>0]，说明[pi]是关于[pi]的一个增函数，又因为[pi]是关于[i]的减函数，不难得知[pi]是关于[i]的减函数，即若[rps]。证毕。

[maxΔx，pwUDm=1-pmt1-pm+pmtumx1-pwΔx+pm-pmtumx2+1-pwΔx+1-pm+pmtumx2+1-pwΔx+pm-pmtum2x2-x1+1-pwΔx]

[L2s.t.1-pm-1t1-pm-1+pm-1tum-1x1-pwΔx+pm-1-pm-1tum-1x2+1-pwΔx+pm-1t1-pm-1+pm-1tum-1x2+1-pwΔx+pm-1-pm-1tum-12x2-x1+1-pwΔx≤UCm-1Δx≥0，pn≤pw≤pm≤p2 （7）] 引理2：对于[?m∈2，3，4，…，n]，在[?t∈0，T]时刻，有如下最优化模型（L2）：

则[?UDm?pw<0]成立的充分条件是

[1-pwA-emu′ma1-pwB-em-1u′m-1a

式中，[a=x1-pwΔx]，

[A=emu′ma+fm+gmu′mb+hmu′mc]，

[b=x2+1-pwΔx]，

[B=em-1u′m-1a+fm-1+gm-1u′m-1b+hm-1u′m-1c]，

[c=2x2-x1+1-pwΔx]，

[em，m-1=1-pm，m-1t1-pm，m-1+pm，m-1t]，

[fm，m-1=1-pm，m-1tpm，m-1-pm，m-1t]，

[gm，m-1=pm，m-1t1-pm，m-1+pm，m-1t]，

[hm，m-1=pm，m-1tpm，m-1-pm，m-1t]①。

定理3：在甄别期保险契约模型中，任意[n]（[≥3]）种风险类型情形下，对于任一风险类型为[i]（[3≤i≤n]）的投保人，若（8）式成立，则满足对次低风险类型投保人的激励相容约束是满足对其余高风险类型投保人激励相容约束的一个充分不必要条件①。

推论：对于任一风险类型为[ii≥2]的投保人，若（8）式成立，本文所确立的带甄别期的保险契约严格优于R-S传统部分保险契约的一个充分条件是：

[u′i?-Ap′i-10pi-1ui-1φ+ui-1ψ-2ui-1?p′i02-piΔx-B

其中，[A=1-piu′iφ+piu′i?]，[B=1-pi-1u′i-1φ+pi-1u′i-1?]，[φ=x1-piΔx]，[?=x2+1-piΔx]，[ψ=2x2-x1+1-piΔx]，[Δx]是[t=0]且效用最优时风险类型为[i]的投保人发生风险所获得的赔偿金。证明同定理2，不再给出。

定理4：在[nn≥2]种风险类型情形下，若對[?i∈2，n]风险类型的投保人，且对[?υ∈1，i]，都有[UDiti，ki，Δxi>UDitυ，kυ，Δxυ]，其中，[UDiti，ki，Δxi]是以最优化模型（[Ci]）的解[ti，ki，Δxi]为自变量值的函数（[Di]）的值，[UDitυ，kυ，Δxυ]是以最优化模型（[Cυ]）的解[tυ，kυ，Δxυ]为自变量值的函数（[Di]）的值，函数（[Di]）是指：

[UDi=1-pit1-pi+pituix1-k+pi-pituix2-k+Δx+pit1-pi+pituix2-k+Δx+pi-pitui2x2-x1-k+Δx]，

则本模型所确定的带甄别期的保险合同[C1t1，k1，Δx1]、[C2t2，k2，Δx2]，…，[Cntn，kn，Δxn]是分离均衡契约。

证明：将保险合同[ti，ki，Δxi]的值代入函数[Di]，不难知道[UDiti，ki，Δxi]恰是最优化模型[Ci]的最大效用。因为[i>υ]，由前文知道风险类型为[υ]的投保人比风险类型为[i]的投保人具有更高风险，于是[tυ，kυ，Δxυ]表示较风险类型[i]具有更高风险类型投保人的保险合同，若对[?υ∈1，i]，都满足[UDiti，ki，Δxi>UDitυ，kυ，Δxυ]，则说明风险类型为[i]的投保人不会选择保险公司为较之高风险类型投保人准备的保险合同。又因为模型[Ci]的约束条件已有满足对较之高风险类型的激励相容约束，意味着较之高风险类型投保人也不会选择保险公司为风险类型为[i]的投保人准备的保险合同。由此说明，保险合同[Citi，ki，Δxi]是分离均衡契约。又因为上述条件对[?i∈2，n]风险类型的投保人都成立，所以本模型所确定的带甄别期的保险合同[C1t1，k1，Δx1]、[C2t2，k2，Δx2]，

…，[Cntn，kn，Δxn]是分离均衡契约。证毕。

在对称信息条件下，低风险类型投保人效用最优时带甄别期的保险契约应当是完全保险契约，效用也应是其投保所能获得的最大效用。模型上表现为，若消去所有的激励相容约束而仅保留保险公司的参与约束，则带甄别期的保险契约模型应当与R-S传统部分保险契约模型一致，否则契约的比较将没有意义，由此得定理5。

定理5：对称信息条件下，对于两种及两种以上（[n≥2]）风险类型情形，风险类型为[i]（[2≤i≤n]）的投保人在效用最优时带甄别期的保险契约是完全保险契约，保险契约模型在同等条件下与R-S传统部分保险契约模型一致①。

五、甄别期保险契约与其他保险契约的比较研究：一个算例

经市场调查分析，在完全竞争的保险市场中，投保人存在两种风险类型：高风险和低风险。两种风险类型的投保人如果在整个保险期间都未发生风险，期末收入[x1=2];如果在甄别期或者剩余保险期任一发生风险，期末收入[x2=1];如果在甄别期和剩余保险期都发生风险，由模型假设知损失[2x1-x2=2]，于是期末收入为0。假设高、低风险投保人风险发生的时间分别服从参数为0.5、1的指数分布，即高、低风险投保人在[t]时刻风险发生的概率分别是[pHt=1-e-2t]、[pLt=1-e-t]，不妨设定保险产品的保险期[T=0.7]，那么高、低风险投保人在保险期间风险发生的概率分别是[pH=1-e-1.4]、[pL=1-e-0.7]。进一步假设高、低风险投保人的效用函数分别为[uHx=100001-e-1.5x]、[uLx=100001-e-x]。

验证低风险投保人效用最优时带甄别期保险契约是R-S传统部分保险契约严格帕累托改进的充分条件是否成立。经计算（以下非线性规划使用Lingo 11.0软件计算，精确到0.0001），高风险投保人购买完全保险合同[C1k*H，Δx*]的效用[U*H=8458.6022]，R-S基本保险模型（L0）最优时低风险投保人发生风险所获得的赔偿金[Δx=0.2525]，将其代入充分条件的算式，进一步得到（使用Maple 2018软件計算，精确到0.0001）：

[u′L?-Ap′H0pHuHφ+uHψ-2uH?p′L02-pLΔx-B=-1.952066570×107

因此，定理2的充分条件成立，说明低风险类型投保人效用最优时带甄别期的保险契约是R-S传统部分保险契约的严格帕累托改进。

根据题给条件及相应数值，低风险类型投保人带甄别期的保险契约[tL，kL，ΔxL]由如下最优化模型确立：

[maxUL1=104e-0.7e-0.7+1-e-t1-e-2-k+e-t-e-0.71-e-1-k+Δx+1-e-te-0.7+1-e-t1-e-1-k+Δx+e-t-e-0.71-e--k+Δx]

[L1s.t.8458.6022=104e-1.4e-1.4+1-e-2t1-e-1.52-k+e-2t-e-1.41-e-1.51-k+Δx+1-e-2te-1.4+1-e-2t1-e-1.51-k+Δx+e-2t-e-1.41-e-1.5-k+Δxk=1-e-0.7+1-e-t2-1-e-0.71-e-tΔx]

经计算，当[tL=0.1073]，[kL=0.3478]，[ΔxL=0.7519]

时，模型取最大值[UL1=7661.6900]，即低风险类型投保人效用最优时带甄别期的保险契约能够带来的效用值是7661.6900，最优时带甄别期的保险契约[ALtL，kL，ΔxL=0.1073，0.3478，0.7519]。

由前面的分析可以知道，[t=0]时，带甄别期的保险契约即是R-S传统部分保险契约，因此令[t=0]，计算得[UL0=7603.1416]，[Ak，Δx=0.1254，0.2525]。由于[UL0

再进一步，如果低风险投保人效用最优时[Δx=0]，[k=0]，说明投保人此时购买保险相比不购买保险而言是一个劣策略，效用为7475.9857。

对于两种风险类型情形，文献[8]构建了带低赔期的保险模型，带低赔期的保险契约[t，k*L，Δx，Δx*L，σ=0.2677，0.5034，0.4067，1，0.4730]，最优效用[U=7620.3797]，带甄别期的保险契约与其他单期保险契约的比较见表1。

从表1中数据得知，带甄别期的保险契约不仅是R-S传统部分保险契约的严格帕累托改进，同时也是低赔期保险契约的严格帕累托改进，说明带甄别期的保险契约相比之前实现了一次较大的突破，尽管与对称信息下的完全保险仍有不小的差距，但能预见以甄别期作为新的信息甄别工具将会为下一次保险契约的改进带来启发。

六、结论

在保险实践中，由于投保人的风险类型各不相同，因此保险公司为其提供混同均衡契约显然不合理，这是因为混同均衡契约容易导致“高风险投保人驱逐低风险投保人”的逆向选择现象。为了保护低风险投保人的利益，进而提高整个投保人群体的福利，保险公司为其提供与其风险类型匹配的分离均衡契约显得尤为必要。但现实保险市场中非对称信息的普遍存在，导致保险公司难以甚至无法获取投保人风险类型的相关信息，于是提出了通过引入信息甄别工具来应对保险市场的逆向选择问题。为了提高信息甄别效率，本文在R-S传统部分保险契约的基础上，通过引入甄别期实现对以往保险模型的严格帕累托改进。从非对称信息博弈的角度来看，甄别期保险模型的效率改进源于：其一是重复博弈增加了信息量，通过观察甄别期内投保人的风险发生情况来推断其风险类型，判断原则是甄别期内高风险投保人较低风险类型发生风险的可能性更大，于是保险公司能够根据甄别期的风险发生情况来相应调整剩余保险期的赔付;其二是可变化的甄别期，两期保险契约模型通常是将单期保险契约简单乘2以实现重复博弈，这就隐含假设了甄别期是保险期的一半，本文放开了这一假设，并通过例子证明了投保人效用最优时甄别期并非取保险期的一半。

此外，本文将甄别期保险模型推广至投保人两种以上风险类型的情形，证明指出在给定充分条件成立的情况下，满足对低风险类型投保人的激励相容约束是满足对其余高风险类型投保人激励相容约束的一个充分不必要条件，即只要各种风险类型的投保人分别满足与次低风险类型投保人的激励相容约束，则所有风险类型的投保人均是两两激励相容的，简化了多种风险类型投保人带甄别期的保险契约设计。并在此基础上，一方面给出了带甄别期的保险契约是R-S传统部分保险契约严格帕累托改进的一个充分条件，另一方面还证明了此时带甄别期的保险契约总是能够产生分离均衡。

最后需要指出的是，本文所研究的是保险市场的纯逆向选择问题，而现实中逆向选择与道德风险往往同时存在，但本文并未考虑道德风险的影响，这也给建模带来了一个新的挑战，未来的研究方向可以将道德风险考虑进来，研究逆向选择与道德风险同时存在情形的甄别期保险模型，此外还可以将本文模型由单期推广至多期情形。

注：

①證明从略，作者备索。

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Optimal Insurance Design in the Screening Period Under Adverse Selection

Hu Zhenhua/Sun Qiao

（School of Business，Central South University，Changsha   410083，Hunan，China）

Abstract：In order to improve the impact of information asymmetry on the efficiency of insurance market transactions，an insurance contract model in the screening period is developed by dividing the insured into two and more risk types，pointing out that the risk occurrence of the insured during the screening period can be used to infer the risk type of the insured. An insurance contract in the screening period is a period of time from the date of entry into force of the insurance contract（screening period）during which the insurance company will pay a certain amount of compensation if the insured person incurs a risk，after which the insurance company will not pay any compensation if the insured person incurs a risk again. However，if the insured does not incur a risk during the screening period but does so during the remaining coverage period after the screening period，the insurer will still grant the same benefits as described above. The proof points out that the insurance contract in the screening period at utility optimum is no worse than the R-S traditional partial insurance contract and gives a sufficient condition for the former to be a strict Pareto improvement of the latter. In addition，for more than two risk types，it is shown that satisfying the incentive compatibility constraint for the next-lowest-risk policyholder is a sufficient and unnecessary condition for satisfying the incentive compatibility constraint for the remaining high-risk policyholder，and the corresponding sufficient condition is given，and it is further shown that the set of this sufficient condition is precisely a sufficient condition for an insurance contract in the screening period to produce a separation equilibrium. Finally，an arithmetic example is given to show that there does exist a strict Pareto-improvement case of insurance contracts with screening periods at the utility optimum for the R-S traditional partial insurance contracts.

Key Words：information asymmetry，adverse selection，optimal insurance design，screening period，Pareto improvement