操作比较多元表征

白凌晓 李玉琴

运用动手操作、对比观察、多元表征等教学方法可以帮助学生认识余数，在探索余数和除数的关系中厘清商与余数的单位，理解余数要比除数小的内涵，掌握除法竖式的表达方式，进而解决简单的实际问题。

一、操作感知，初识余数

学生在学习表内除法时积累了平均分的活动经验，对分物过程与除法计算的关联有直观的认识。这是学习有余数除法的基础。在教学中，笔者设计了三次操作活动，引导学生认识余数。

第一次动手操作。笔者把学生分成4人活动小组，给每个小组提供11根长度一致的小棒，引导他们合作完成学习任务：任意选择一种图形（三角形、四边形、五边形、六边形），摆一摆，观察用了几根小棒，还剩几根，并把结果记录在任务单上。后续的分组汇报，学生第一次用语言、图形、数字来表征余数。不管摆的是哪种图形，都剩余数量不等的小棒。例如，摆五边形的，摆了2个，还剩1根;摆三角形的，摆了3个，还剩2根。这使学生在认知上产生冲突的同时，直观感知到余数是客观存在的。

第二次动手操作。笔者给每个小组提供了6个草莓图片，3个纸盘，要求每2个草莓摆一盘。学生继续按小组完成操作。汇报结果显示，各小组均按照2个草莓摆一盘，刚好摆完。学生不仅汇报了记录结果，而且用除法算式6÷2=3（盘）把分的过程和结果表示出来。这样做有效地沟通了表内除法，为接下来有余数的分物操作做铺垫。

第三次动手操作。笔者给每个小组提供了7个草莓图片，3个纸盘，还是要求每2个草莓摆一盘。学生操作的结果是：按照2个草莓摆一盘，摆了3盘，还剩1个。剩下的1个草莓要不要摆一盘？这1个在数学上叫什么数，在除法算式中该如何表达呢？这些问题激发了学生探究的欲望。笔者乘机引导学生把第三次操作与第二次操作进行比较，分小组讨论上述问题。有的学生认为剩下的1个要摆一盘，有的学生认为题目要求每2个草莓摆一盘，剩下的1个摆不成一盘，不符合题意。笔者顺势在黑板上写出7÷2=3（盘）……1（个），并问学生能否这样表达。在得到肯定的答复后，笔者向学生说明：剩余的这1个，在除法中叫“余数”，记为“……1”。随后，笔者引导学生对比操作过程，明确7÷2=3（盘）……1（个）建立在6÷2=3（盘）的基础上，帮助学生建构对表内除法与有余数的除法关系的认知。

二、辨析“单位”，解决疑难

在认识余数的基础上，笔者让学生独立完成一组课后对比练习，并比较两个算式中商和余数的单位，引起学生对单位名称的关注。

例如，同样是9支铅笔，第一问是每人分2支，可以分给（  ）人，还剩（  ）支;第二问是平均分给4人，每人分（  ）支，还剩（  ）支。学生在汇报第一问时，笔者提问：商的单位为什么是“人”，它表示什么？余数的单位为什么用“支”，它又表示什么呢？学生在汇报第二问时，笔者提问：为什么商的单位是“支”，它表示什么？余数呢？学生在交流中明白了此题中两个商的单位不同，是因为它们表示的含义不同，第一问表示分给几个人，第二问表示每人分几支，而两个余数的单位都是“支”，是因为平均分完后都剩下1支铅笔，从而有效地解决了确定商与余数的单位这个学习难点。

三、类比推理，发现规律

余数和除数之间是怎样的关系呢？在学生摆的过程中，笔者强调运用几何直观、符号、语言等多元表征方式帮助学生寻找有余数除法的规律，进而掌握算法，理解算理。

利用第一次动手操作的学具——小棒，笔者引导学生摆正方形，要求学生分小组合作，边摆边画，并用除法算式做记录。首先，学生用8根小棒正好摆2个正方形，12根小棒正好摆3个正方形;而9根、10根、11根小棒摆正方形，分别剩余1根、2根、3根小棒。接着，笔者引导学生用13根、14根、15根小棒继续摆正方形。学生摆完后惊喜地发现，再次出现剩余1根、2根、3根小棒的情况。然后，学生用16根小棒正好摆4个正方形，没有剩余。最后，笔者引导学生猜想用17根、18根、19根小棒摆正方形会出现什么情况。学生猜想并动手操作去验证自己的猜想，果然再次出现剩余1根、2根、3根小棒的情况。经过对比观察，学生发现在用小棒摆正方形的过程中，除了正好摆完之外，总是剩余1根、2根、3根小棒，不会出现剩余4根或超过4根的情况。也就是说，4根为一组时，余数不可能大于、等于4。

为了验证这个重要的发现，笔者鼓励学生继续用小棒摆五边形、六边形、八边形，并引导学生类比摆四边形的情况思考它们各自的余数可能是几、最大是几、不可能是几。学生操作后总结：摆五边形的余数可能是1、2、3、4，最大是4，不可能是5或比5大的数;摆六边形的余数可能是1、2、3、4、5，最大是5，不可能是6或比6大的数……笔者追问：如果余数大于或等于除数会出现什么情况？学生因为有了直观的操作经验，又经过对比分析，很容易联想到余数如果大于或等于除数，就能够再摆一个这样的图形，所以余数只能小于除数。

四、“横竖”对比，学法明理

掌握除法竖式是学生学习的难点。怎样让学生接纳、理解、运用除法竖式解决问题？小棒仍是有效的学习工具。

教材例题呈现13根小棒，每4根分一组，要求学生圈一圈，并用除法算式表达分的过程和结果。实践发现，学生都能够圈出3组、余下1根，并列出算式13÷4=3（组）……1（根）。教师呈现除法竖式的表达方式，指出其各部分的名称，并引导学生比较、分析，得出除法横式与除法竖式各部分之间的关系。

在学生初步认识竖式后，笔者组织学生独立尝试用竖式解决“把42根小棒平均分给3个人，怎么分”的问题，促使学生进一步将分物的过程与除法竖式的每一个步骤及每个数字的含义关联起来。具体来说，第一步，先把4捆平均分给3个人，每人分1捆，还剩1捆，算式是4÷3=1（捆）……1（捆），对应竖式中40除以3，商1，余1的过程;第二步，把余下的1捆打开，与单独的2根合在一起，共12根，算式是10+2=12（根），对应竖式中42减30得12的过程;第三步，把12根再平均分给3个人，每人4根，算式是12÷3=4（根），对应竖式中12除以3，商4，余0的过程;最后结果是每人14根。（见下图）

从实物操作到算式表达，学生对有余数除法的理解从直观层面过渡到抽象层面。学生自主表达除法竖式的过程，不仅提高了他们的数学表达能力，更加深了他们对有余数除法的算法和算理的理解。

（作者單位：白凌晓，襄阳市教育科学研究室;李玉琴，襄阳市海容小学）

责任编辑  刘佳