灰色马尔科夫模型在湖北新冠肺炎出院人数预测中的应用*

潍坊医学院公共卫生与管理学院(261053)

刘玉洁 毛 倩 管佩霞 冯佳宁 王晓璇 朱高培 王素珍△ 石福艳△

【提 要】 目的 建立灰色马尔科夫预测模型，对湖北省新冠肺炎每日出院人数进行预测。方法 基于2020年3月1日～3月21日的湖北省卫生健康委员会官网新冠肺炎疫情直报数据，构建灰色预测模型，马尔科夫模型修正预测结果，拟对3月22日～3月24日的湖北省新冠肺炎每日出院人数进行预测。结果 2020年3月22日～3月24日的灰色预测值分别为635、594、555，而实际值分别为490、447、444，其平均相对误差为29.16%。修正后，修正值分别为556、520、486，其平均相对误差为13.02%，误差降低55.17%。灰色预测模型的C=0.30599，P=3.5，灰色马尔科夫模型的C=0.10699，P=3.5。结论 灰色马尔科夫模型的精确度高于单一的灰色预测模型，能够较好地预测每日出院人数。

截至2020年3月21日，湖北新冠肺炎确诊人数已达到67800例，随着政府的统一调配与全国各地对湖北的支援，其出院人数也在逐步增加。此次疫情中每日出院人数受到许多不确定性因素的影响，具有明显的灰色系统特点[1]。准确预测湖北省的每日出院人数，推断其未来的变动幅度，可以提升湖北省乃至全国人民对于疫情控制的信心，降低患者与患者家属对疫病的恐惧感，提高民众对医院与医疗技术的信任，减少瞒报甚至逃离医院等情况的发生，并且对政府科学调配新冠肺炎医疗资源和人群防治有着重要参考意义。此类传染性疾病的常用预测方法有ARIMA分析法[2-3]、人工神经网络法[4]、灰色模型预测法[5]、马尔科夫链预测法[6]等。但是，用传统的单一预测方法往往预测准确度偏低。考虑到灰色预测模型要求原始数据序列需呈单调递增或递减趋势[7-8]，且到3月时，湖北的医疗资源充足，疫情趋于平缓，随着现存确诊病例的逐渐消耗，每日出院人数逐渐减少。因此本文利用2020年3月1日至3月21日的湖北省卫生健康委员会官网新冠肺炎疫情直报数据构建灰色模型，再由马尔可夫模型予以修正，组成灰色马尔科夫模型以提高单一模型预测的精确度[9-10]。对在医疗资源充足，疫情控制良好的情况下的每日出院人数进行短期预测，为卫生应急医疗资源的配备和管理作出快速反应，并可丰富公共卫生应急管理预测和决策模式的内容。

资料和方法

1.资料来源

本文选择2020年3月1日至2020年3月24日湖北省新冠肺炎每日出院人数为研究对象，数据来源于湖北省卫生健康委员会官网(http：//wjw.hubei.gov.cn/)的每日疫情通报。

2.研究方法

(1)建立灰色GM(1，1)模型

④灰色预测模型的检验

表1 精度检验等级参考表

(2)马尔科夫模型修正

马尔科夫模型是一个基于状态转移的动态系统，系统的状态始终是随机的，与先验状态无关，这种特性称为无后效性。可利用先前多个时间段的状态之间的转移规律，对系统未来的发展状态和方向进行预测[12]。

①区间划分

②状态转移概率矩阵

③马尔科夫性检验

④计算马尔科夫修正预测值

(3)统计分析方法

本研究采用SAS 9.4统计软件构建新冠肺炎每日出院人数的灰色预测模型，随后利用Matlab软件建立灰色预测值的相对值的马尔科夫链模型，以修正灰色预测值。

结 果

1.建立灰色预测模型

利用2020年3月1日-21日的湖北省新冠肺炎每日出院人数数据作为原始数据序列，建立灰色模型，结果见表2。

表2 湖北省每日出院人数预测结果及误差

2.状态划分

对表2中3月1日-2020年3月21日实际值与灰色预测值的相对值，根据相对值的分布情况，按照组间距划分为4个状态，即状态1为E1(0.8，0.95)，状态2为E2(0.95，1.05)，状态3为E3(1.05，1.15)，状态4为E4(1.15，1.35)，具体情况见表3；由此，即可得到湖北省每日出院人数实际值与灰色预测值之间的相对值马尔科夫状态转移情况，见表4。

表3 状态划分情况

表4 3.22-3.24日灰色预测值的相对值状态转移概率

3.计算相对值的状态转移概率矩阵

由表1的数据以及表3的状态划分情况，即可得到湖北省每日出院人数预测结果与实际值之间的相对值的一步状态转移频数矩阵f1以及一步状态转移概率矩阵p1：

同理，2步、3步的状态转移概率矩阵p2、p3为：

4.马尔科夫性检验

5.利用马尔科夫修正

由表2可知，3月21日的状态为E1，则初始状态分布向量p(0)=(1，0，0)，一步状态转移矩阵p1，利用P(0)×p1即可得到3月22日湖北省每日出院人数GM(1，1)预测值的相对值的状态转移概率p(1)，同理可得3月23日与3月24日的相对值的状态转移概率p(2)与p(3)。具体情况见表4，由此可知3月22日灰色预测值的相对值的状态为E1的可能性最大。同理，3月23日与3月24日的所属状态均为E1。

由表2可知，3月22日-3月24日的灰色预测值分别为635、594、555，而根据湖北省卫生健康委员会疫情直报所知，实际值分别为490、447、444，其平均相对误差为29.16%。利用表4对灰色预测值进行马尔科夫修正，修正值分别为556、520、486，其平均相对误差为13.02%，误差降低55.17%，减少了一半还多，可见修正后预测效果较为理想，灰色马尔科夫模型比灰色预测模型的预测结果更加准确。同理可对3月1日-21日灰色预测值进行马尔科夫修正，结果见表5。

表5中，在进行马尔科夫修正前，灰色预测值的相对误差值有9个大于15%，其平均相对误差为4.82%。经修正后，除3月23日外，其模型相对误差均小于15%，平均相对误差为2.48 %。修正前的灰色预测模型的后验差比值C=0.31，小误差概率P=3.5，经修正后的灰色马尔科夫模型后验差比值C=0.11，小误差概率P=3.5，模型的精度有效升高，且由图1可见马尔科夫修正值与灰色预测值相比，与实际值更拟合，预测效果更好。

表5 3月1日-24日马尔科夫修正前后模型精度对比

图1 3月1日-3月24每日出院人数的实际值、预测值与修正值比较

讨 论

本文利用2020年3月1日-3月21日的湖北省卫生健康委员会官网新冠肺炎疫情直报数据，预测3月22日-3月24日的湖北省新冠肺炎每日出院人数。通过构建灰色预测模型，并利用马尔科夫模型进行修正。

灰色马尔科夫模型比灰色预测模型的预测结果更准确，模型精度更优，是一种每日出院人数短期预测效果较为理想的预测模型。

灰色预测模型是主要用于分析少数据、贫信息、不确定性问题的方法[15]，其最大的优点就是数据序列较短也可以建模。此次疫情中每日出院人数受到许多不确定性因素的影响，具有明显的灰色系统特点，并且假设近期数据对每日出院人数的影响较大，因此选取了2020年3月1日-21日的21个数据进行建模。此外，灰色GM(1，1)模型其预测图形的形态趋势是一条平滑的指数型曲线，所以它对数据的波动性信息无法充分提取[5]，因此，对于波动性较大的数据序列，灰色GM(1，1)模型的拟合效果较差，预测精度也较低[15-16]。而马尔科夫模型是一个随机动态系统，具有无后效性[14]。它是利用先前多个时间段的状态之间的转移规律，对系统未来的发展状态和方向进行预测，适合于波动性较大的数据序列，这刚好可以弥补灰色模型的缺点，因此，把这两者进行组合，形成灰色马尔科夫模型，与单一的灰色模型或马尔科夫模型相比，可大大提高模型的拟合程度和预测精度[17-23]，并且相对解决了数据波动性过大所造成的预测精度过低的问题[24-25]，同时又兼顾了灰色模型原有的优点，使得预测过程不再需要较长的时间序列资料，只需要较短的时间序列便能进行建模预测[26-28]。

将灰色模型和马尔科夫模型结合，形成的灰色马尔科夫模型，能够较为准确地预测出新冠肺炎疫情中的每日出院人数。由于灰色马尔科夫模型只需要较短的时间序列便能进行建模，且可获得较为准确的预测结果。因此，在疫情中，获得较短的时间序列数据之后，即可进行模型预测，无需等待较长时间，是新冠状肺炎每日出院人数短期预测的较为理想的预测模型。此外，准确预测湖北省的每日出院人数，推断出其未来的变动幅度，可以提升湖北省甚至全国人民对于疫情控制的信心，降低患者与患者家属对疫病的恐惧感，提高民众对医院与医疗技术的信任，减少瞒报甚至逃离医院等情况的发生，对政府科学调配卫生应急医疗资源和人群防治有着重要的参考意义。