考虑井阻随时间变化及径-竖向渗流下砂井地基固结的解析解及其分析

2021-07-06江文豪詹良通吴剑军

工程力学 2021年6期

江文豪，詹良通，杨策，吴剑军

(1.浙江大学岩土工程研究所，浙江，杭州 310058；2. 浙江绿农生态环境有限公司，浙江，杭州 310000)

为加快软土地基的固结排水速率，工程上常打设砂井或塑料排水板作为竖向排水体，通过缩短土体的排水路径来提高地基的固结速率[1−2]，形成的地基称为砂井地基。

Barron[3]最早对砂井地基的固结问题展开了研究，并分别基于等应变假定和自由应变假定求解得到了理想砂井地基固结的解析解。Hansbo等[4]在Barron 砂井地基固结理论的基础上，给出了考虑井阻效应和涂抹效应下更为实用的固结解。谢康和与曾国熙[5]基于等应变假定，推导得到了砂井地基径向固结的解析解。Tang和Onitsuka[6]考虑到土体具有成层性，对双层砂井地基的固结问题展开了研究。刘加才等[7]考虑到实际工程中存在砂井未打穿软土层的情况，分析了未打穿砂井地基的固结性状。Conte和Troncone[8]考虑了外荷载随时间的变化，推导得到了变荷载下砂井地基径向固结的解析解。周煜等[9]考虑到土体中的渗流规律存在非达西定律的情况，对考虑起始水力坡度下砂井地基的固结问题进行了求解。张驿等[10]考虑到实际排水边界通常为不完全排水边界，基于连续排水边界条件推导得到了砂井地基固结的解析解。但上述研究或忽略了砂井的井阻效应，或在考虑井阻效应时假定砂井的渗透系数保持不变。

Bo等[11−13]通过展开场地试验研究表明，砂井地基固结过程中，砂井渗透系数会逐渐减小，进而降低砂井地基的固结速率，应考虑固结过程中井阻随时间的变化。Deng等[14]考虑到砂井渗透系数会在固结过程中逐渐降低，推导得到了井阻随时间变化下砂井地基径向固结的解析解。郭霄等[15]通过假设砂井渗透系数随时间和深度的变化，给出了考虑井阻随时间和深度变化下砂井地基的径向固结解。张玉国等[16]考虑了井阻随时间的变化，对真空预压下砂井地基的径向固结问题展开了分析。Nguyen和Kim[17]以指数函数规律来考虑砂井渗透系数随时间的变化，研究了砂井地基的大变形固结问题。

然而，上述相关研究中均未考虑竖向渗流对砂井地基固结性状的影响。对于砂井地基的固结问题，竖向渗流会影响砂井地基固结过程中超静孔压的分布形态，忽略竖向渗流不仅与砂井地基的实际固结过程不相符，且可能会明显低估砂井地基的固结速率[18−19]。此外，从砂井地基固结理论完整性的角度，对于考虑井阻随时间变化下砂井地基的固结问题，应考虑竖向渗流对地基固结过程的影响。

为此，本文基于Deng等[14]所提出砂井渗透系数随时间呈指数函数形式降低的假定，考虑了土体中的径-竖向渗流，推导得到了砂井地基的固结控制方程，并采用分离变量法求得了该方程的解析解。通过将本文退化解与已有的解析解及本文解析解与有限差分解分别进行对比，验证了本文解答的正确性。基于本文解答，分析了一些影响因素对砂井地基固结性状的影响。

1 砂井地基的固结控制方程

1.1 计算简图

以单井为研究对象，考虑井阻随时间变化及径-竖向渗流下砂井地基固结的计算简图如图1所示。

图1 砂井地基的计算简图Fig.1 Calculation diagram of sand-drained ground

图1中，砂井地基的厚度为H；r、z分别为径向和竖向坐标；qu为作用于地基表面的瞬时均布荷载；rw、rs、re分别为砂井半径、涂抹区半径及砂井的影响区半径；ks、kh、kv、kw分别为涂抹区土体的径向渗透系数、非扰动区土体的径向渗透系数、影响区土体的竖向渗透系数及砂井的渗透系数；uw为砂井内任意一点的超静孔压；us为影响区土体内任意一点的超静孔压；mv为土体的体积压缩系数；γw为水的重度。这里假定砂井及砂井影响区土体的顶面为排水边界，底面为不排水边界。

1.2 基本假定

在本文的推导过程中，作如下基本假定：

1)等应变条件成立，即砂井影响区范围内同一水平面上各点的竖向变形是相同的。

2)考虑径向和竖向渗流，砂井和土体中的渗流规律满足Darcy定律。

3)考虑砂井的井阻效应，且考虑砂井渗透系数在固结过程中逐渐减小。参考Bo等[11−14]展开的相关试验和理论研究，可采用指数函数形式来描述砂井渗透系数kw随固结时间t的变化，即：

式中：kw0为砂井的初始渗透系数；ω为大于0的试验常数(单位：1/s)。

4)除渗透系数外，涂抹区内土体的其他性质与天然地基相同。

5)固结过程中，砂井地基影响区土体的渗透系数、体积压缩系数保持不变。

6)在任意深度处，从土体流入砂井的水量等于砂井中向上水流的增量。

1.3 固结控制方程

由于作用于地基表面的外荷载为瞬时荷载，则基于等应变假定可得[10]：

式中，kr(r)为影响区土体的径向渗透系数，其表达式为：

径向边界条件为：

对式(4)进行整理，利用边界条件式(6)，在式(4)等号两边对r进行积分，整理可得：

根据式(5)及边界条件式(7)，在式(8)等号两边对r进行积分，整理可得：

将式(9)代入式(3)，整理可得：

其中，R为一常数，其表达式为[5−6]：

式中，n=re/rw，s=rs/rw， δ=ks/kh。

根据基本假定6)可得：

结合式(1)，利用式(8)和式(12)可得：

利用式(2)，将式(14)代入式(13)可得：

式(15)即为考虑井阻随时间变化及径-竖向渗流下砂井地基的固结控制方程。

由于砂井地基的顶面为排水，底面为不排水，则固结控制方程式(15)的上、下边界条件为：

固结控制方程式(15)的初始边界条件为：

2 固结控制方程的求解

根据Ch和Cv的表达式，对固结控制方程式(15)整理可得：

当不考虑固结过程中砂井渗透系数kw发生变化时，即ω=0时，则控制方程式(19)可写为：

将控制方程式(20)与张驿等[10]推导得到的固结控制方程式对比可知，两者完全完全一致，这验证了本文固结控制方程的正确性。

结合控制方程式(19)的边界条件和初始条件，可采用分离变量法预设控制方程的解答为[14]：

式中，M=(2m−1)π/2，m=1,2,3,···。

式(21)已满足相应的边界条件式(16)和式(17)，可将式(21)代入初始条件式(18)，整理可得：

可以看出，式(24)为变系数一阶偏微分方程。对于任一m，函数Tm(t)为仅与时间t有关的函数。因此，式(24)可以整理为：

为求解式(25)，在式(25)的两边分别对时间t和函数Tm(t)进行积分，求解可得Tm(t)的表达式为：

式中，Em为与m相关的常系数。

结合A、B、D的表达式及式(22)，进一步可得到Tm(t)的表达式为：

结合式(21)可得，砂井影响区内任意深度处的平均超静孔压u¯s的表达式为：

式中：

因此，结合式(9)和式(14)可得砂井影响区土体内任意一点的超静孔压us和砂井内任意一点的超静孔压uw的表达式分别为：

3 解析解答的验证

3.1 与已有的解析解对比

为验证上述解答的正确性，可将本文解答展开退化研究，并将退化解与已有的解析解进行对比。

当固结过程中砂井渗透系数的变化可忽略时，即ω→0时，则有：

结合B、C及D的表达式可得，砂井地基的平均固结度U可表达为：

该结果与张驿等[10]求解考虑径-竖向渗流下砂井地基平均固结度的表达式完全一致。

kv=0

当不考虑竖向渗流时，即时，则有：

因此，砂井影响区内任意深度处的平均超静孔压u¯s、砂井内任意一点的超静孔压uw和砂井地基的平均固结度U可分别表达为：

结合B及C的表达式，将该结果与Deng等[14]所求结果进行对比可知，该解答与Deng等[14]求解径向固结的解析解答完全一致。

当不考虑径向渗流时，即kh=0时，砂井地基则变为了一维固结的软土地基，有：

结合D的表达式可得软土地基内任意深度处的平均超静孔压u¯s和软土地基的平均固结度U，分别表达为：

从式(46)和式(47)可以看出，当不考虑径向渗流时，砂井地基的固结问题变为软土地基的一维固结问题，本文解答可以退化为经典的太沙基一维固结解。

通过将本文解答展开退化研究可知，不同情况下本文退化解答与已有的解析解完全一致，这从一定程度上验证了本文解答的正确性。同时，本文解答可退化为多种情况下软土地基固结的解析解，这说明本文解答具有一定的普遍性，因此具有一定的理论意义和工程实践意义。

3.2 与有限差分解对比

为进一步验证本文解答的正确性，可对式(19)展开有限差分，利用相应的边界条件和初始条件进行有限差分求解，有限差分方法参考文献[20− 21]，并将本文解答与有限差分解展开对比分析。

为展开对比分析，这里以浙江省苍南县滨海新区的吹填土加固项目为工程算例[10]，有关砂井地基的计算参数如表1所示。图2所示为2种计算方法下砂井地基的平均固结度U随时间因子Th的变化对比情况(算例中t=283Th(天))。从图2可以看出，不同井阻因子α下本文解析解与有限差分解所得到的平均固结度曲线均十分吻合，这验证了本文解析解答的正确性。

表1砂井地基的计算参数Table 1 Calculation parametersof sand-drained ground

图2 本文解析解与有限差分解的计算结果对比Fig.2 Comparison of the analytical solution and the finite numerical solution

4 固结性状分析

从上述研究可以看出，本文主要考虑了井阻随时间的变化和竖向渗流对砂井地基固结过程的影响。因此，以下主要分析井阻因子α及竖向渗透系数kv对砂井地基固结性状的影响。用于砂井地基固结性状分析的基准计算参数如下：rw=0.07 m，s=4，n=10，H=10 m，kh=2.0×10−8m/s，δ=0.25，kv/kh=0.8，kw0=1.0×10−4m/s，qu=50 kPa，mv=0.5 MPa−1，α=0.5，γw=9.8 kN/m3(算例中t=5.56Th(天))。

4.1 井阻因子α对固结性状的影响

图3和图4所示为仅考虑径向渗流和考虑径-竖向渗流时，井阻因子α对砂井地基平均固结度的影响。从图3和图4可以看出，无论是否考虑竖向渗流，砂井地基的固结速率均随井阻因子α的增大而减小，且井阻的变化对砂井地基固结性状的影响主要作用在固结后期。此外，当α较小时，井阻的变化对砂井地基固结速率的影响可以忽略。

从图3可以看出，当仅考虑径向渗流时，井阻因子α越大，砂井地基的固结过程越早趋于稳定，且稳定后的平均固结度越小[14]。从图4可以看出，当考虑径-竖向渗流时，砂井地基在固结后期仍可通过竖向渗流继续进行固结，从而使得砂井地基的平均固结度达到100%。

图3 仅考虑径向渗流下 α对平均固结度的影响Fig.3 Influence of αon averageconsolidation degree when only radial flow is considered

图4 考虑径-竖向渗流下 α对平均固结度的影响Fig.4 Influence of αon average consolidation degree when radial-vertical flow is considered

为进一步分析井阻因子α对仅考虑径向渗流和考虑径-竖向渗流下砂井地基固结性状的影响，将式(37)和式(44)中所求的平均固结度相减，两者之差记为∆U。图5描述了不同α下∆U随时间因子Th的变化。从图5可以看出，当α较小时，∆U始终较小，∆U随Th先增大后减小，且最终趋近于0；当α较大时，∆U随Th先增大后减小，随后又逐渐增大，这主要是由于砂井渗透系数在固结过程中逐渐减小，砂井地基后期的径向固结速率很小[14]，考虑竖向渗流使得地基的平均固结度逐渐增大。

图5 不同 α下平均固结度之差∆U随T h的变化Fig.5 Variation of ∆U with T h under different α

图6和图7所示为仅考虑径向渗流和考虑径-竖向渗流时，井阻因子α对砂井地基平均超静孔压的影响。从图6和图7可以看出，无论是否考虑竖向渗流，井阻因子α越大，同一时间下砂井地基的平均超静孔压值越大，且固结初期，不同α下平均超静孔压随深度的分布曲线几乎完全重合，这与图2和图3中的规律一致。

图6 仅考虑径向渗流下 α对平均超静孔压的影响Fig.6 Influence of αon average excess pore water pressure when radial flow isconsidered

图7 考虑径-竖向渗流下 α对平均超静孔压的影响Fig.7 Influence of αon average excess pore water pressure when radial-vertical flow is considered

从图6可以看出，当仅考虑径向渗流时，不同α下砂井地基中平均超静孔压随深度分布的差异性随时间的增长而增大。从图7可以看出，当考虑径-竖向渗流时，不同α下砂井地基中平均超静孔压随深度分布的差异性随时间的增长先增大后减小。

4.2 竖向渗透系数k v对固结性状的影响

从式(48)和式(50)可以看出，竖向渗流对砂井地基固结速率的影响与地基厚度H直接有关，因此图8～图10给出了不同地基厚度H下竖向渗透系数kv对砂井地基平均固结度的影响曲线。

图8 H=5 m时k v对平均固结度的影响Fig.8 Influence of k v on averageconsolidation degree when H=5 m

从图8～图10可以看出，不同地基厚度H下，竖向渗流均加快了砂井地基的固结速率，且随着竖向渗透系数kv的增大，砂井地基的固结速率增大；但对于不同厚度H，竖向渗透系数kv对砂井地基固结性状的影响有明显差异。当地基厚度H较小时(如H=5 m)，竖向渗透系数kv对砂井地基初期的固结性状影响较大，初期的平均固结度曲线差异大，后期的平均固结度曲线几乎完全重合；当地基厚度H较大时(如H=20 m)，竖向渗透系数kv对砂井地基后期的固结性状影响较大，初期的平均固结度曲线几乎完全重合，后期的固结速率随kv的增大明显加快。当H=10 m时，竖向渗透系数kv对砂井地基初期和后期的固结性状均有一定影响，但其影响均有限。

图10 H=20 m时k v对平均固结度的影响Fig.10 Influence of k v on average consolidation degreewhen H=20 m

图11所示为H=10 m时竖向渗透系数kv对砂井地基平均超静孔压的影响。从图11可以看出，在相同时间内，与不考虑竖向渗流(kv/kh=0)相比，考虑竖向渗流下砂井地基的平均超静孔压值较小，这与图9中的规律相符。此外，从图11可以看出，在固结初期，考虑竖向渗流下砂井地基上部土体的超静孔压值明显比不考虑竖向渗流时小，而在固结后期，考虑与不考虑竖向渗流时的超静孔压差值均随深度的增大而增大。这说明，竖向渗流在加快砂井地基固结速率的同时，也改变了地基中超静孔压的分布形态。

图9 H=10 m时k v对平均固结度的影响Fig.9 Influence of k v on averageconsolidation degree when H=10 m

4.3 讨论

从上述分析中可以看出，竖向渗流加快了砂井地基的固结速率。此外，由于砂井的井阻效应会随砂井地基固结过程的进行而增大，从而降低砂井地基的径向固结速率，这进一步增大了竖向渗流在砂井地基固结过程中的作用。

当砂井的井阻因子较大或砂井地基的厚度较大时，竖向渗流可明显加快砂井地基后期的固结速率，增大地基的平均固结度。当地基厚度较小时，竖向固结路径较短，竖向渗流可明显加快砂井地基的早期固结速率，缩短固结完成时间，提高砂井地基平均固结度的计算精度。因此，对于考虑井阻随时间变化下砂井地基的固结问题，应考虑竖向渗流对砂井地基固结性状的影响。