基于自动核构造高斯过程的导弹气动性能预测

胡伟杰，黄增辉，刘学军,*，吕宏强

1. 南京航空航天大学 计算机科学与技术学院/人工智能学院，模式分析与机器智能工业和信息化部重点实验室，南京 211106 2.软件新技术与产业化协同创新中心，南京 210023 3.南京航空航天大学 航空学院，南京 210016

在飞行器的初步设计阶段，探索一种快速且精确的导弹气动性能预测方案对导弹气动设计具有重要价值。合理有效的气动性能预测方法对导弹外形设计、弹道设计、弹体机动性和控制系统的稳定性等具有重要意义。传统的气动性能预测方案大致分为3类，即飞行试验、风洞试验和理论计算(包括工程计算和数值计算)[1]。飞行试验和风洞试验可以准确地模拟导弹在真实飞行环境中的流场条件，能够得到精确的气动数据。但这种方法过度依赖设计人员的经验，另外试验周期长、成本高，限制了导弹外形设计空间的推广。

为了弥补这一缺陷，以美国空军力学实验室开发的Missile Datcom为代表的气动分析和快速估算软件，利用美国空军几十年的风洞试验数据建立典型气动模型，基于部件组合法并采用经验与理论相结合的方式快速预测气动性能，对常规导弹配置具有较高的气动表征能力，能够基本满足导弹设计初期阶段的精度要求，因而在过去几十年间得到广泛的应用[2]。但对于气动外形复杂、气动干扰严重或伴有大攻角飞行姿态条件下的导弹气动性能预测，仍具有很大的局限性，需要结合风洞数据进行矫正[3-6]。文献[3]指出，超声速下对于与尾翼紧密耦合的低展弦比边条翼，Missile Datcom严重高估边条翼涡对尾翼的下洗效应，导致导弹法向力预测值偏低，压力中心前移。文献[6]指出，跨声速下的激波使得流场具有强烈的非线性效应，Missile Datcom基于线性理论模型的方法难以对高度非线性流体流动产生解析结果。与风洞试验数据对比，尾翼法向力系数曲线斜率预测误差达到50%。因此，Missile Datcom尽管具有快速预测的能力，但在很多配置和飞行条件下的预测精度很差，在工程应用上有待改进。

随着流体力学和计算机科学相互融合，计算流体力学(Computational Fluid Dynamics， CFD)得到快速发展，借助高性能计算机的计算能力，在流动基本方程的控制下对复杂物理流动进行数值模拟，可以得到满足工程要求的高精度流场解，弥补了工程估算软件预测精度不足的缺陷。近年来，CFD技术大量应用于导弹气动性能分析任务，如文献[1]使用以Fluent为代表的CFD流场计算软件求解某型导弹的气动性能，实验结果表明，比工程估算方法具有更高的计算精度；文献[7]利用CFD计算155 mm自旋稳定射弹在偏航角为40°时的气动性能，减少了风洞试验的成本。CFD数值计算方法虽然可以得到高精度的气动解，但计算时间太长，对于网格量较大的模型，求解一个算例通常需要数小时甚至几天。如果解的收敛性不好，需重新调整网格或设置求解器参数，将耗费更长的时间，这在导弹设计初期阶段是不能接受的。因而，迫切需要一种既快速又精确且能处理高度非线性问题的气动性能预测方案。

随着数据科学、机器学习技术的发展和计算机计算能力的提高，基于数据驱动的气动建模方案在航空航天各个领域得到应用[8-9]。为弥补传统CFD计算时间长的缺陷，代理模型(Surrogate Model)技术成为新的气动性能预测选择[10]。代理模型是基于一组可信数据，运用相适应的机器学习方法对问题抽象建模，从数据中提取输入参数与输出响应之间近似关系的模型。常用的代理模型有多项式回归(Polynomial Regression)[10]、支持向量回归(Support Vector Regression，SVR)[11]、神经网络(Neural Network，NN)[12-13]、Kriging模型[10,14-16]、高斯过程回归(Gaussian Process Regression， GPR)[17]和深度网络[18-19]等。近年来，代理模型在工业设计中得到了大量应用。文献[20]基于代理模型的优化算法提出一种面向工程应用的多轮次高效全局气动优化设计方法，该方法应用在大型民机超临界机翼气动设计中，验证了方法有效性和工程实用性。文献[21]基于梯度增强型Kriging模型的代理优化算法开展了翼型设计变量的气动反设计，得到很好的优化效果。文献[22]基于高斯过程代理模型提出一种混合差分进化和杂草算法的翼型优化框架，在升力系数和横截面积不会小很多的约束下，显著提高了翼型的升阻比。可见，代理模型在气动优化设计领域的研究已经很深入，但应用于导弹气动性能预测的研究相对较少。文献[11]基于支持向量回归的方法构建火箭气动学科代理模型，气动性能预测的效率远高于CFD模型，预测精度也能够满足精度要求，但无法提供对预测结果的置信度。文献[12-13]基于人工神经网络构建导弹气动性能快速预测代理模型，获得了较高的预测精度，但神经网络参数多，模型训练容易过拟合，且神经元初始参数设置的随机性导致预测结果不稳定。文献[16]对比了多种代理模型用于导弹气动性能预测的结果，得出各向异性的Kriging模型建模效果最优，预测结果稳定且能够提供对预测结果的置信度。本质上，具有高斯随机场假设的Kriging模型等价于正态似然下的GPR模型[23]。

除文献[16]之外，还未见有GPR代理模型在导弹气动性能预测上的应用，鉴于GPR模型相对其他模型的优势，本文基于GPR模型完成对典型导弹几何外形与对应气动性能关系的建模。当对问题本身缺乏足够的先验(Prior)知识，传统的GPR方法很难构建适合数据内在结构特性的模型，导致数据拟合能力不强或者模型的泛化能力差等各种问题。针对这一问题，借鉴文献[24]的方法：在传统的GPR模型框架下，嵌入一种自动核构造(Automatic Kernel Construction，AKC)算法，该算法能够自动捕获数据内在结构特性，充分挖掘数据中隐含的模式信息，从而建立更精准的代理模型。目前，该方法已在很多领域得到广泛应用。例如，文献[25]将该方法用于预测大气环境中超细粒子数浓度，根据特定数据自动构造基于线性核和有理二次核相加的非平稳核函数，能够准确地描述粒子数浓度的动态变化规律。文献[26]基于该方法预测锂电池的剩余使用寿命，强调了使用自动核构造函数来捕捉复杂行为的优势。文献[27]基于此方法自动构造出准周期核函数，用于建模和预测全球水平辐射，结果表明该模型优于简单核的高斯过程模型。本文针对导弹特定应用的问题，将这种改进的GPR模型(简称AKC-GPR)与传统的GPR模型在特定导弹气动建模任务上进行气动性能预测对比试验。试验结果验证了使用AKC-GPR模型在导弹气动性能快速预测应用上的良好性能。

1 高斯过程回归

高斯过程(Gaussian Process，GP)模型是一种融合机器学习和统计学于一体的应用贝叶斯推理的概率建模框架[17]。GPR是在GP先验假设下对数据进行回归分析的非参数化模型，能够给出对预测样本的完整后验分布，提供预测结果的不确定性，使得模型具有良好的可解释性。当似然为正态分布时，预测样本的后验分布具有高斯形式的闭式解。与线性回归(Linear Regression，LR)相比，GPR具有更强的非线性表达能力；与SVR相比，GPR模型预测结果具有更好的解释性；与NN相比，GPR需要估计的参数较少，从而减少了对复杂优化或正则化方案的需求。此外，GPR具有容易训练，预测结果稳定等优点。但是GPR模型训练涉及到协方差矩阵求逆运算，计算复杂度为O(n3)，其中n表示训练样本数量。因此，GPR适用于小样本学习问题，目前已经在众多领域得到成功应用[28-29]。

1.1 模型推导

高斯过程是随机变量的集合，任意有限维随机变量的联合分布是高斯分布[17]。因此，直接从函数空间角度推理，指定目标函数f(x)的先验为一个高斯过程GP，f(x)的分布为

f(x)～GP(m(x),k(x,x′))

(1)

式中：m(x)为GP的均值函数(Mean Function)；k(x,x′)为GP的协方差函数(Covariance Function)或核函数(Kernel Function)，定义为

m(x)=Ε[f(x)]

(2)

k(x,x′)=cov(f(x),f(x′))

(3)

考虑一般的回归模型：

yi=f(xi)+εi

(4)

为了推理结果表达的简洁性，一般地，将均值函数m(x)设为0均值函数。因此，对于给定的训练样本输入X，其对应输出y的多元高斯分布为

(5)

式中：K(X,X)表示n×n的对称正定协方差矩阵，矩阵元素为k(x,x′)，利用输入变量x、x′之间的关系模拟随机变量f(x)与f(x′)间的相关性；I是n×n的单位矩阵。

根据训练样本集D，回归模型的目标是给定新的样本输入向量x*求解输出y*，其中x*∈Rd，y*∈R。

则训练样本的观测值y和待测样本输出y*的联合先验高斯分布为

(6)

式中：K(X,x*)=K(x*,X)Τ,度量训练样本输入X与待测样本输入x*间的协方差；k(x*,x*)表示x*自身的方差。

求式(6)关于观测向量y的条件概率分布，得到待测样本输出y*的后验分布为

(7)

后验分布为高斯分布，均值和方差公式具体为

(8)

(9)

1.2 模型训练

根据式(8)和式(9)可知，0均值高斯过程先验下的GPR模型在给定任务上的性能完全由核函数k(x,x′)决定。因而，GPR模型的训练过程就是基于一组训练数据，对核函数的形式和超参数(Hyper-parameter)进行推理，最终得到能够描述数据内在隐含模式的模型[17]。假定选择的核函数形式为平方指数(Squared Exponential，SE)核函数，其表达式为

(10)

当协方差函数确定之后，GPR训练的目标就变成优化合适的超参数θ。常用最大化边际似然(Maximum Marginal Likelihood)方法求解超参数的值。在GP假设下，利用高斯过程的边际化属性(Marginal Property)，通过先验与似然的积分可以得到边际似然p(y|X,θ)。为了求导方便，常取对数形式，表达式为

L(θ)=lgp(y|X,θ)=

(11)

(12)

式(12)是一个非凸优化(Non-convex Optimization)问题，会存在多个局部最优解。为了跳出局部最优，最终获得全局最优解，可采用诸如遗传算法、模拟退火等随机搜索算法，但同时伴随搜索速度慢，优化效率低等问题。基于梯度的优化算法容易陷入局部最优，但其优化效率比上述随机搜索算法高。因此从效率角度考虑，本文采用基于梯度的优化算法优化超参数θ的值。

为降低超参数θ陷入局部最优的可能性，需要设置适当的超参数初始值。一种有效的方法是假设超参数初始值服从某一先验分布p(θ)，从此分布中采样若干候选的超参数初始值，并采用最大化边际似然的方法选择使得似然最大的候选值作为最终超参数的初始值，文献[28]验证了这种方法的可行性。

2 自动核构造算法

传统的GPR学习通常需要给定核函数的参数化形式，而选择合适的核函数是GPR建模的关键。核函数编码了对目标函数的先验假设，表达了对数据内在结构特性的描述[30]。如果对建模问题的先验知识掌握不够，很难在广阔的核结构空间(Kernel Structure Space)内找到适合特定问题的最优核函数。

有理论表示，如果给定充足的数据，在某些条件下，选择SE核的GPR能够学习任意的连续函数[31]。但是，SE核是一种简单核(Simple Kernel)，只能捕捉到数据中的一种结构特性。当面临复杂的建模问题，SE核将无法编码内含多种属性或结构特性的数据，所以需要选择更复杂的核函数来描述问题。

有效的核函数必须是半正定(Positive Semidefinite)核，半正定核在“加”(Addition)和“乘”(Multiplication)运算符下是封闭的[17]。因此可以通过“加”“乘”运算将简单核组合成复合核(Composite Kernel)，进而捕捉数据中更复杂的结构特性。文献[17]总结了基于“加”“乘”运算符组合新核的方法，这种组合方式需要人为指定复合核中每一组件所使用的简单核，因此依然需要先验知识。文献[32]提出一种称为加性核(Additive Kernel，Add)的复合核，它是基于“加”“乘”运算符，为每一维特征指定一个简单核，由所有可能的一维简单核乘积的加权和组成。它考虑了一维简单核在不同阶数下的交互作用，能够灵活地捕捉到数据中隐含的结构信息。文献[28]将该方法应用于风洞马赫数控制，验证了Add核相较于传统的SE核具有更强的学习能力。但是这种核的组合形式相对固定，并不能保证在各种数据上都能学到最优的核函数形式。

针对上述简单核和复合核的建模能力的局限性，本文使用AKC算法，在特定数据上自动构造出核结构空间中最优的核函数。AKC算法的核心是定义简单核的类型和构造规则(Construct Rules)，核的构造过程不需要依赖先验知识。

2.1 简单核及其先验假设

常用的简单核有SE核、线性核(Linear，Lin)、周期核(Periodic，Per)、有理二次核(Rational Quadratic，RQ)和白噪声核(White Noise，WN)。AKC算法中的简单核是应用在x的某一特征维度上，因此只给出简单核的一维表示形式：

(13)

(14)

(15)

(16)

kWN(x,x′)=σ2δx,x′

(17)

式中：{σ,,σb,σv,p,α}表示核函数的超参数；δx,x′表示克罗内克函数(Kronecker Delta Function)。

每一类简单核都编码了对目标函数不同的假设。Lin核假设函数具有线性变化结构；SE核假设函数具有局部变化结构；Per核假设函数具有重复变化结构；RQ核假设函数具有多尺度变化结构；WN核假设函数具有独立噪声结构。

使用“加”“乘”运算符对具有不同假设的简单核按照构造规则自动组合，形成具有不同复杂结构特性的核函数。例如，Lin核“加”Lin核的组合假设函数是二次的；SE核“加”Per核的组合假设函数是局部周期变化的；Lin核“乘”SE核的组合假设函数具有加速变化的结构特征。

2.2 构造规则

构造规则定义了核函数的组合方式或构造方式，不同的构造规则能够产生具有不同形式的核函数，进而能够描述不同的复杂结构特性。一般地，由“加”“乘”和“替换”运算符定义的构造规则，即可构造出具有各种结构的核函数。

①S→S+B

②S→S×B

③S→B

式中：S表示当前核函数中的任意组件(Component)，B表示任意类型的简单核。规则①代表“加”规则(Addition Rule)，表示任意组件S可以加任意的简单核B；规则②代表“乘”规则(Multiplication Rule)，表示任意的组件S可以乘任意的简单核B；规则③代表“替换”规则(Replacement Rule)，表示任意组件S可以被任意简单核替换。

2.3 AKC算法描述

基于简单核和构造规则的描述，图1展示核构造的大致过程。其中假定简单核选择SE核和Lin核，构造规则为2.2节描述的3条规则，初始核选择WN核。

图1 构造过程示例Fig.1 Example of construction procedure

AKC算法中涉及到的变量和函数，具体含义如表1所示。算法流程大致分为初始化、搜索和训练3个阶段。在初始化阶段，设定最大迭代次数等参数；在搜索阶段，某次迭代中，基于简单核集合和构造规则集合进行搜索，形成核结构空间；在训练阶段，使用某种评分准则如贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion，BIC)，对核结构空间内的每一核函数进行评分[33]，选择评分最高的核函数，进入下一个迭代过程或达到停止条件退出。详细的算法描述如算法1所示。

表1 变量和函数描述Table 1 Description of variables and functions

算法1 自动核构造Algorithm 1 Automatic kernel construction

3 数据生成

本文使用CFD方法生成导弹气动性能模拟数据集，在该数据集上对传统的GPR和AKC-GPR进行对比实验。数据生成过程包括几何建模、网格划分、数值求解和后处理4部分。

3.1 几何建模

使用CAD几何建模软件进行建模，绘制导弹的几何形体，生成几何模型文件。采用典型的旋成体加尾翼的构型，尾翼沿轴线呈“×”形分布，弹体总长8 m保持不变。整体构型如图2所示。

图2 导弹几何构型Fig.2 Geometry of missile

基于上述几何构型，定义3个参数描述导弹外形,分别为：导弹首部长度L、弹体半径R和尾翼纵向相对长度F(如图3所示)。L取1.6 m、2.0 m 和2.4 m；R取0.4 m、0.5 m和0.6 m；F为以初始设计翼型长度为基准进行的等比例放缩值，分别取0.8、1和1.25，由此构建27组不同尺寸构型的导弹模型。

图3 导弹几何参数Fig.3 Geometric parameters of missile

3.2 网格划分

将模型文件导入网格生成软件中，对计算域进行网格划分，设置附面层第1层高度为0.02 mm，整个流场计算域总长约为10倍的弹体长度。根据导弹几何外形，生成结构化面网格如图4所示。

图4 导弹面网格Fig.4 Surface mesh of missile

3.3 数值求解

导入网格文件到流体计算软件中，选取基于密度的隐式求解器，采用implicit格式以保证迭代稳定性，同时打开能量方程，采用SSTk-ε湍流模型。密度和黏性设为随温度而变化，马赫数设置为5始终不变，攻角变化范围在6°～16.5°。设定收敛控制参数，取Courant数为1。欠松弛因子的设置：湍动能为0.8，湍流耗散率为0.8，湍流黏度为0.8。通过迭代法对离散化代数方程组求解，得到满足收敛性要求的数值解。

3.4 后处理

根据理论计算公式，求解出相应的气动性能数值，本文选取升力系数CL、阻力系数CD和力矩系数Cm作为气动性能预测对象。由此生成以外形参数R、L、F和攻角α作为输入，3种气动系数为输出的模拟数据集，共182个算例。部分数据如表2所示。

表2 部分数据集Table 2 Part of dataset

4 核函数的选择

由于对CFD生成的导弹气动数据内在结构特性没有足够的先验信息，很难指定合适的核函数，因此，本文使用AKC算法，基于给定数据集自动构造核函数，并在GPR模型框架下，与其他通用的核函数进行对比。本文使用的核函数如表3所示，各核函数具体表达式见文献[34]。

表3 各种类型的核函数Table 3 Varieties of kernel functions

5 实验结果及分析

5.1 GPR模型非线性拟合能力测试

GPR模型在小样本情形下表现出比其他回归模型更强的非线性拟合能力，尤其是核函数选择AKC时，将进一步增强模型的非线性拟合能力。为了验证该结论，本文设计了一个一维非线性函数f(x)=sin(x)+cos(2x)+0.5，x取值范围设定为[0,2π]，在此区间上随机采样10个点作为训练样本。采样时，为模拟受真实世界噪声的影响，假设样本被高斯噪声侵蚀。使用这10个训练样本进行模型训练并预测非线性函数曲线。使用根均方误差(Root Mean Square Error，RMSE)指标度量曲线拟合精度。

(18)

图5展示了SVR、NN和GPR 3种模型对函数曲线的拟合结果，其中GPR模型的核函数选择常规的SE核函数，RMSE分别为0.761 1、0.387 1和0.104 6。可知，GPR模型的拟合能力最强。在采样点附近，3种模型尚且能够给出较好的预测，但在没有采样到样本的区间，只有GPR模型仍然能够较好地表征函数曲线的非线性变化规律。由此可见，GPR模型具有在小样本情形下非线性拟合的独到优势。

图5 不同模型的曲线拟合结果Fig.5 Curve fitting results of different models

图6展示了使用SE核函数和AKC核函数的GPR模型对非线性函数曲线的拟合结果。从图中看出，与真实曲线偏差较大的区域，使用AKC核函数拟合的曲线偏差更小一些，RMSE分别为0.104 6和0.089 2。可见，AKC核函数的GPR模型曲线拟合能力进一步增强。

图6 不同核函数的曲线拟合结果Fig.6 Curve fitting results using different kernel functions

5.2 不同模型对比

为了验证GPR模型在特定导弹数据集上的预测性能优于其他常用的回归模型，实验对比了SVR、LR、NN和GPR 4种模型的预测结果。分别使用4种模型预测给定导弹外形参数和攻角下的升力系数、阻力系数和力矩系数，使用平均绝对百分比误差(Mean Absolute Percentage Error，MAPE)指标度量预测结果的精度。

(19)

由于数据量较小，为了使得预测结果具有可信度，本文使用5折交叉验证(Cross Validation)对各模型进行训练，GPR模型的核函数选择最常用的SE-ARD核函数。

图7给出4种不同代理模型的预测精度对比。SVR模型对3种气动系数的预测MAPE在1.10%～2.39%之间；LR模型的预测MAPE在1.03%～1.91%之间；NN模型的预测MAPE在0.52%～0.80%之间；GPR模型的预测MAPE在0.24%～0.36%之间。由此可见，使用SE-ARD核函数的GPR模型的预测精度高于LR和SVR模型，略高于NN模型。从而验证了在导弹气动性能预测精度上，GPR模型是最优的。

图7 不同模型性能度量Fig.7 Performance measures for different models

为验证GPR模型在预测结果稳定性方面的优势，对NN和GPR两种代理模型进行对比实验。图8给出在重复10次5折交叉验证实验下，GPR和NN模型对3种系数预测精度的对比。可以看出，GPR模型在重复10次实验下MAPE值保持不变，说明GPR模型预测结果非常稳定；而NN模型的10次预测结果差异很大，MAPE最小值为0.29%，最大值达到1.04%，说明NN的预测结果很不稳定。由于NN属于参数化模型，网络层数、每层神经元数量、参数初始化等都没有一个标准可循，尤其是在小样本情况下，NN很难学得一个稳定可靠的模型。

图8 预测结果稳定性对比Fig.8 Comparison of stability of predicted results

由此可以得出结论：无论从预测精度还是预测结果稳定性角度来看，作为非参数化模型的GPR模型是最优的，可以作为导弹气动性能快速预测的一个合理选择。

5.3 不同核函数对比

为了准确挖掘导弹气动数据中潜在的模式信息，弥补传统GPR模型不能准确捕获数据内在结构特性的缺陷，本文基于AKC算法从数据中预先构造具有特定结构的核函数，将此核函数和表3中的其他核函数同时嵌入GPR模型框架下，对比不同核函数的预测性能。其中，AKC算法中简单核选择SE核和WN核，构造规则为2.2节的3条规则，最大迭代次数设置为10，评分准则为BIC，初始核为WN核。

表4展示了应用各种核函数的GPR模型在5折交叉验证下的预测结果对比。由表中数据可知，多项式核函数(Poly-3)和SE乘SE核函数(Prod)的预测误差超过0.5%，预测结果较好，但不能准确捕捉数据内在的结构特性，且预测结果的不确定性较大。各向异性Per核(Per-ARD)的预测误差在0.3%左右，预测精度很高，但其预测结果的不确定性较大，说明气动数据中不存在周期结构特性。其他类型的核函数预测结果都能达到很高的精度要求，标准差都基本控制在2×10-4左右，预测结果不确定性很小。特别地，基于构造核(AKC)的GPR模型的气动性能预测结果在3种系数的预测上都达到最高的精度，并且对应的预测不确定性也最小。由此可见，基于自动构造核的方法得到的核函数比依靠人工先验选择的核函数更能够捕捉到数据内在的结构特性，模型表达能力更强且预测结果更稳定可靠。

除了使用交叉验证法预测不同核函数的GPR模型的预测效果，本文还使用留出法(Hold-out)对不同GPR模型进行训练，即按不同比例将数据集划分为互不相交的两部分，分别用于训练和测试。图9分别展示了3种气动性能在不同的数据划分比例下，各核函数的GPR模型预测结果比较。横坐标表示训练集所占比例，纵坐标表示MAPE。为了降低随机性的影响，对于每种比例的训练数据集重复采样10次，取平均结果。由图9可知，随着训练集比例的增加，各核函数的GPR

图9 不同划分比例下的实验结果Fig.9 Experimental results at different partition ratios

模型的预测误差基本呈下降趋势，且AKC-GPR模型对3种系数的预测结果在所有训练集比例下都能得到最高的预测精度。由此可见，无先验的AKC-GPR模型相对于传统的GPR模型确实能够更加准确地捕获特定数据中的内在结构特性，使得GPR模型的预测性能进一步得到提升。

5.4 残差分析

为了检验AKC-GPR建模方法的合理性，需要对预测结果的残差作正态性检验。正态性检验就是检验模型产生的残差是否满足正态分布假设，即是否服从以0为均值、某一常数为方差的正态分布。如果满足该假设，则说明模型产生的残差是随机的，不是模型自身原因造成的，从而说明建模方法是合理的。本文对AKC-GPR的预测残差进行分析。

图10显示了3种气动系数的残差直方图，从图中明显看出，3种系数的残差均服从均值为0、方差为某一常数的正态分布，即满足正态假设，进而说明基于AKC-GPR的建模方法对于导弹气动性能预测任务是可行且合理的。

图10 残差直方图Fig.10 Residual histogram

5.5 气动性能快速预测应用

为了展示AKC-GPR模型在实际应用中的预测效果，随机选择其中26组外形数据对AKC-GPR模型进行训练，用训练好的模型对剩下的1组 外形完全未见的导弹气动性能进行预测。本文选择R=0.6 m、L=2.4 m、F=1.0作为未见外形，从其余26组训练外形中选择一个未见外形所在样本空间范围内附近的已见外形作对比，例如R=0.6 m、L=2.4 m、F=0.8。图11分别展示了使用AKC-GPR模型对已见外形进行预测得到的3种气动系数曲线。从图中可以看出，预测曲线与真实气动特性曲线完全重合，由此说明AKC-GPR模型能极其精确地描述隐含于训练数据中的特性，充分挖掘导弹外形与气动性能之间的对应关系。

图11 气动系数曲线(已见外形)Fig.11 Aerodynamic coefficient curves (shape seen)

图12分别展示了使用AKC-GPR模型对未见外形进行预测得到的3种气动系数曲线。从图中可以看出，3种系数预测曲线与真实曲线基本吻合，且真实值基本落在95%的置信区间内。由此可以说明通过对已有外形的气动数据进行学习，AKC-GPR模型可以获得导弹外形和气动性能之间的对应关系，实现在给定工况范围内对新外形的导弹气动性能的准确预测。

图12 气动系数曲线(未见外形)Fig.12 Aerodynamic coefficient curves (shape unseen)

6 结 论

针对传统导弹气动性能预测方法的局限，本文使用高斯过程回归代理模型对定常流场条件下的典型导弹气动性能进行预测，得到结论如下：

1) 对比线性回归(LR)、支持向量回归(SVR)、神经网络(NN)和SE核的高斯过程回归(GPR)4种代理模型，对升力系数、阻力系数和力矩系数进行预测。实验结果表明高斯过程回归预测精度最高，误差控制在0.24%～0.36%之间，同时高斯过程回归预测结果比神经网络更加稳定。

2) 将基于自动核构造(AKC)算法学习得到的核函数与其他常用的核函数进行对比，通过交叉验证法和留出法两种数据集划分方式展开实验，对3种气动性能参数进行预测。实验结果显示AKC-GPR模型的预测精度最高，说明AKC算法能够不依赖人工先验而自动地构造出最“恰当”的核函数，用于准确捕获隐含于数据中的内在结构特性，从而提升GPR模型的性能。

3) 通过对一个新外形导弹气动性能进行快速预测的实例，给出了基于AKC核的高斯过程回归模型在实际中的应用方案，相较于传统的气动性能预测方法，AKC-GPR代理模型方法可为导弹设计初期阶段的气动性能快速预测提供方案参考。