一种牛顿环干涉实验数据处理新方法

花晓彬，花世群

(江苏大学 物理与电子工程学院，江苏 镇江 212013)

牛顿环干涉不仅是大学物理理论课上薄膜干涉章节的重点讲授内容，同时，牛顿环干涉实验也是大学物理实验中重要的基础性光学实验之一，因此，吸引了许多教师和学生对该问题的研究兴趣.目前国内对牛顿环干涉的研究内容主要集中在如下3个方面：1)应用研究，如将牛顿环干涉仪用于测量透明玻璃或液体的折射率[1,2]、玻璃材料弹性模量[3]、微振动测量[4]、单色光波长测量[5]、应力测量[6]和基于牛顿环干涉原理的光轴平行性校准方法研究等[7,8]；2)测量方法研究，如曹佳妍、邓敏和胡解生等人分别提出在牛顿环干涉实验中最佳测量环数的选取方法和暗环直径的自动测量方法[9-11]；3)数据处理方法研究，如赵纪平和徐红等人分析了牛顿环干涉实验中常用的逐差法、加权法和一元线性回归法等方法[12,13]，比较得出不同数据处理方法的优缺点.本文基于牛顿环干涉实验中，移动显微镜所测得的干涉条纹在水平方向的位置读数，再结合相邻两个干涉条纹所在位置，在竖直方向空气层厚度差为1/2波长，巧妙获取牛顿环装置中平凸透镜球面上测点的横坐标和纵坐标，进而由拟合得到平凸透镜球面测点所在的大圆方程，求得平凸透镜球面的曲率半径值.

1 测量原理

图1所示的牛顿环干涉装置，由一个曲率半径较大的平凸透镜和一块光学平板玻璃叠合组成, 位于上方的凸球面与下方平板玻璃上表面之间形成的空气薄层，在单色平行光自上而下垂直入射时，利用空气薄层上、下表面对入射光的依次反射，产生如图2所示，以平凸透镜和光学平板玻璃接触点为中心的一系列明暗交替排列的同心圆环，这些内疏外密的同心圆环可近似认为分布在平凸透镜的凸球面上.

图1 牛顿环装置

图2 牛顿环干涉图样

在图3中，假设牛顿环平凸透镜的球面球心位于C点，球面的曲率半径为R.在观测到的干涉条纹中，选取级次分别为m、n的两个圆环，设m级圆环的直径为A1A2，大小记为Dm，n级圆环的直径为B1B2，大小记为Dn.则平凸透镜球面的曲率半径[14]

(1)

其中，λ=589.3 nm，为钠光源波长.

图3 平凸透镜球面大圆平面直角坐标系

现在干涉圆环直径所在的大圆平面内建立图3所示平面直角坐标系，其中，x轴建立在干涉圆环的直径方向(即测量干涉圆环直径时读数显微镜的水平移动方向)，y轴建立在竖直向上方向.则牛顿环中平凸透镜球面在xoy平面内的大圆可表示为如下方程

(x-a)2+(y-b)2=R2

(2)

其中，a和b分别为大圆圆心(即牛顿环平凸透镜球面的球心)在图3所示平面直角坐标系中的横坐标和纵坐标.

理论上只需要测得平凸透镜球面位于图3所示平面直角坐标系上的任意3点坐标，即可利用式(2)求得牛顿环的曲率半径R.

若在实验中沿圆环的直径方向移动读数显微镜，依次测得图3中两个圆环直径A1A2和B1B2的四个端点A1、B1、B2和A2的位置读数，并且将结果分别作为四个测点的横坐标，分别用xm1、xn1、xn2和xm2表示.则干涉圆环直径和大圆圆心的横坐标可分别用式(3)和(4)表示为

Dm=xm2-xm1，Dn=xn2-xn1

(3)

(4)

令两个圆环直径A1A2和B1B2的四个端点A1、B1、B2和A2的纵坐标分别表示为ym1、yn1、yn2和ym2，则在图3所示平面直角坐标系中，有

ym1=ym2=0

(5)

考虑到牛顿环实验中入射光的垂直入射条件，相邻两个级次的暗环在竖直方向空气层厚度差为1/2波长，则

(6)

由上述分析可见，通过移动读数显微镜，只要依次测得两个不同级次干涉圆环直径的四个端点横坐标，再由式(5)和(6)确定的端点纵坐标，结合式(4)计算到的大圆圆心的横坐标，即可通过拟合出的式(2)求得牛顿环曲率半径的大小.

2 实验结果

为验证新方法的可行性，首先从参考文献[12]中《等厚干涉—牛顿环实验》一文中，选取了m=50和n=25两个级次的圆环测量数据：xm1=23.678 mm、xn1=26.901 mm、xn2=42.870 mm和xm2=46.094 mm；令ym1=ym2=0，另由式(6)计算得到：yn1=yn2=-0.00736625 mm.

基于七维高科公司提供的1stOpt软件平台，应用上面求到的4个测点的坐标数据，对式(2)表示的大圆进行拟合，拟合所得牛顿环曲率半径R为4.20 m，与参考文献[14]中由逐差法求得的曲率半径4.22 m结果吻合，两者相对误差为0.47%.

为进一步验证新的数据处理方法，按通常的实验操作步骤对级次m=30和n=11两级暗环进行了实际测量，实测数据见表1. 将表1测量数据带入式(3)求出环直径，再由式(1)求得牛顿环曲率半径R=873.92 mm.

表1 实验测量数据

将表1中数据和按式(4)计算得到a=25.1695 mm值一并输入1stOpt软件进行大圆方程拟合，拟合方程所用编写代码见图4.

图4 数据拟合软件代码界面

拟合结果的均方差=0.0001038，残差和=4.3091307×10-8，相关系数=0.9999998，曲率半径R=879.45 mm.拟合结果与式(1)的计算结果一致，两者相对误差0.63%.

3 结论

新方法的实验验证表明，将牛顿环干涉实验中观测到的等厚干涉圆环直径和级次数据转化为牛顿环中平凸透镜球面的大圆上的测点坐标，通过拟合大圆方程, 求得牛顿环平凸透镜球面的曲率半径的方法不仅可行，而且结果可靠的.另外，新的数据处理方法不仅通过实验中体现的物理原理和思想，强化了学生对牛顿环仪等厚干涉特点的理解，还训练了学生学会用物理语言和基本的数学方法处理科学问题.