电荷投影法在研究无限长导体薄板电荷分布规律中的应用

周群益，莫云飞，周丽丽，侯兆阳

(1. 广州理工学院，广东 广州 510540；2. 长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；3. 赣南医学院 医学信息工程学院，江西 赣州 341000；4. 长安大学 理学院应用物理系，陕西 西安 710064)

当无限长带电薄板均匀带电时，容易推导三维空间电场强度的公式.通过分析和作图可以发现：均匀带电薄板表面场强的切向分量不为零，因而这种薄板不是导体[1].

熊建平老师利用均匀带电球面的电荷投影法推导了导体圆形薄板电荷分布的面密度公式[2]，白占武老师进一步推导了导体椭圆形薄板电荷分布的面密度公式[3].我们利用无限长均匀带电圆柱面在水平面上的投影，推导了宽度等于圆柱直径的无限长导体薄板的电荷面密度公式.根据导体表面是等势面和导体薄板的边界条件，证明电荷密度公式是唯一的.由此计算出了空间的电势和场强等一系列结果并做了可视化处理.

1 无限长导体薄板的电荷面密度分布规律

设一个半径为L的无限长均匀带电圆柱面，其电荷面密度为σ0.圆柱面的截面如图1所示，z方向垂直平面向外，代表轴线方向.圆柱面沿z方向的线电荷密度为

λ=2πLσ0

(1)

在柱内任取一点P，过点P作直线与圆周相交于点P1和P2，直线P1P2与Ox轴的夹角是φ，与两个半径OP1和OP2的夹角都是α.当直线P1P2绕点P逆时针旋转角度Δφ时，点P1和P2扫过的弧长分别为Δs1和Δs2，当Δφ为小量时，过点P1和P2垂线与圆弧(切线)之间的夹角近似为α.弧长分别为：

其中，r1和r2分别表示点P到P1和P2的距离.圆柱面上与Δs1对应的无限长面元上沿z方向的电荷线密度为

其在点P产生的电场强度的大小为

(2)

方向沿着P1P2的直线.与Δs2对应的无限长面元上沿z方向的电荷线密度为

其在点P产生的电场强度的大小同样为

(3)

方向沿着P2P1的直线.ΔE1和ΔE2在点P产生场强大小相等，方向相反，因而合场强为零.由推导过程可知：不论角φ怎么变化，上述结论均成立.因此，点P处的场强为零.与用高斯定理得到的结论一致，圆柱面是等势面，圆柱体是等势体.

图1 无限长均匀带电圆柱面的横截面

将圆柱面上过点P1和P2的沿z方向的无限长直线投影到Oxz平面，分别与x轴交于点P′1和P′2，如果令P′1和P′2处的无限长面元的线电荷密度还是Δλ1和Δλ2，则它们在点P产生的场强分别为：

(4)

(5)

设P′1到原点的距离OP′1为l，那么投影的长度为Δl=Δs1sinθ, 考虑到上下两个半柱面，因此，投影的电荷面密度为

(6)

这是等势面(Oxz平面)上的电荷分布规律.

在Oxz平面上沿x轴取线元dl，则宽度为dl的无限长面元上电荷沿z方向的线密度为

(7)

Oxz平面上宽为2L的无限长平面电荷沿z方向的线密度为

这正好是式(1)的结果.根据上述分析，结合唯一性定理可知：无限长导体薄板与直径等于薄板宽度的无限长均匀带电圆柱面沿z方向的电荷线密度是相同的.式(6)就是无限长带电荷导体薄板的面密度.等势面上的场强只有垂直分量.

2 无限长带电导体薄板的电势和场强

线电荷密度为λ的无限长直线电荷的电势为

(8)

其中，r0是由电势零点确定的距离.

如图2所示，在无限长带电导体薄板的Oxy横截面上取一个线元dl，宽度为dl的无限长面元的线电荷密度由式(7)决定，产生的电势为

r是场点P(x,y)到线元的距离：

(9)

因此，导体薄板在空间产生的电势为

(10)

这个定积分没有精确的解析解，只能求数值解.

图2 无限长带电导体薄板的横截面和电势

场强的x分量为

(11)

场强的y分量为

(12)

这两个定积分也没有精确的解析解，只能求数值解.

当x=0时，可得中垂线上的电势和场强分量:

(13)

(14)

(15)

当y=0且|x| >L时，可得板平面上板外的电势和场强分量：

(16)

(17)

Ey(x,0)=0

(18)

当y=0且|x|

设l=Lsint，则dl=Lcostdt，板中心的电势为

无论是用手工还是用MATLAB都可以证明：

因此

(19)

由于导体是等势体，所以U(0,0)也是薄板的电势.板平面内的场强为零.利用式(6)，可得导体板表面场强的大小：

Ex(x,0) =0

(20)

(21)

场强在导体上表面的方向向上，在下表面的方向向下.在x=0处，薄板两个表面在中心处场强的大小为

Ey(0,0)=4πkσ0

(22)

各处合场强大小和方向分别为

(23)

3 电势和场强公式的无量纲化

取L为长度单位，取σ0为面电荷密度单位，则导体薄板的无量纲的电荷密度，即：相对电荷面密度为

(24)

其中，l*=l/L.

取无限长均匀带电薄板的中心为电势零点，可得r0=L/e[1].取U0=kλ=2πLkσ0为电势单位，由式(8)可得无限长直线电荷的无量纲电势，即：相对电势为

(25)

其中，r*=r/L.取无量纲的坐标为

x*=x/L，y*=y/L

(26)

则导体薄板的无量纲的电势为

(27)

设E0=2πkσ0，显然，E0=U0/L.取E0为场强单位，则无量纲的场强分量，即相对场强的分量为

(28)

(29)

中垂线和板平面上的电势和场强也可以做无量纲化处理.

当定积分没有解析解时，可以用数值积分计算其值.导体的无量纲的电势为

(30)

导体板表面无量纲的场强为

(31)

(32)

此式与无量纲的电荷面密度在数值上是相等的.

无量纲的合场强大小和方向分别为：

(33)

将公式无量纲化就能做纯数值计算.利用Matlab的指令plot和surf可画出曲线和曲面[4].

4 电势和电场的可视化

1) 如图3 之上图所示，无限长带电导体薄板的电荷面密度σ(l)在圆心处最小，随着距离|l|的增加而增加；当l→±L时，σ(l)→+∞.这个电荷面密度是均匀分布在柱面上的电荷在板面上投影的结果，由于柱面在板面边缘附近面积的投影趋于零，所以有σ(l)→+∞(l→±L).如图3 之下图所示，在板平面上，包括板内，场强的分量Ey(x,0)为零；在板的上表面，Ey(x,0+)的分布规律与电荷面密度的分布规律是相同的；在板的下表面，Ey(x,0-)的大小与Ey(x,0+)的大小相等，方向相反.

2) 中垂线上的电势U(0,y)如图4之上图所示，带电导体薄板的电势在轴线上是尖点.当距离比较大时，中垂线上的电势分布接近于线电荷的电势分布.中垂线上的场强分量Ey(0,y)如图4之下图所示，轴线上的场强为零，在薄板两边的方向相反；当距离比较大时，中垂线上的场强分布接近于线电荷的场强分布.

图3 电荷密度和板平面场强y分量的分布规律

图4 中垂线上的电势和场强

3) 板平面的电势U(x,0)的曲线如图5之上图所示，无限长带电导体薄板在板面的电势是常数，说明导体表面是等势面.当距离比较大时，板平面上的电势接近于线电荷的电势.板平面上的电场分量Ex(x,0)如图5之下图所示，板内的场强为零，板外两边场强的方向相反.当距离比较大时，板平面上的场强接近于线电荷的场强.

图5 薄板平面上的电势和场强

4) 电荷的电势U(x,y)分布面如图6所示，无限长带电导体薄板的电势是水平线，说明表面是等势面；离电荷越远，其电势就越小.

图6 电势分布面

5) 电场的x分量Ex(x,y)的曲面如图7所示，带电导体薄板的Ex(x,y)在(±L,0)处的“峰”较高，而“谷”较深，这是因为电荷面密度在两处较大.

图7 场强的x分量的分布面

6) 电场的y分量Ey(x,y)的曲面如图8所示，板内的Ey为零，板前后两面的Ey形成了弧形的“峭壁”，这是因为板两面的Ey方向相反，而在(±L,0)处的Ey较大.

图8 场强y分量的分布面

7) 合场强E(x,y)的曲面如图9所示，(0,0)处是鞍点；合场强在中垂线附近比较小，在板平面附近比较大，在(±L,0)处有两个尖锐的“峰”.

图9 合场强的分布面

8) 合场强E(x,y)的方向角α(x,y)曲面如图10所示，α在x>L的正轴上为零；α在y的正轴上为90°；α在y的负轴上为-90°；α在x<-L的负轴上发生从180°到-180°的跳跃，这是因为180°和-180°是同一个角度；α在-L

图10 场强方向的分布面

9) 带电导体薄板的等势线和电场线如图11所示，尽管薄板表面的场强不是均匀的，为了简单起见，电场线的起点仍然均匀取在薄板的表面上；电场线垂直于薄板，等势线包围薄板，与电场线垂直.在较远处，等势线接近于圆，电场线接近直线.

图11 无限长带电导体薄板的等势线和电场线

5 结束语

利用无限长均匀带电圆柱面的投影计算无限长带电导体薄板的电荷面密度，这是一种巧妙的几何方法.根据曲线可以显示电荷的分布规律，利用曲线还能显示中垂线和板平面的电势和场强的分布规律，利用曲面可以显示电势和场强的一般分布规律.利用电场线和等势线可以验证导体表面的面电荷分布的正确性.

利用本文的方法和结果可以深入讨论导体平行板电容器的电势和电场以及能量的分布规律.