基于整体 瞻前望远

陈灵君

摘要：基于知识的整体性和教学的整体性，通过对学生的了解，发现“锐角三角函数”所构建的教学设计与教材的生活情境引入有所分歧，重点在于构建完整的直角三角的知识框架，其中构建直角三角形任两边的比值和对应的锐角形成一种函数关系，可以借助三角形的相似性进行研究，同时设立问题串引导学生，经历“观察、猜想、推理、验证”的数学探索之路。

关键词：整体设计;起始课;锐角三角函数

一、教学分析

学习“锐角三角函数”之前，函数上学生已有一定基础;几何中学习了直角三角形的角、边的关系以及相似三角形，也了解特殊直角三角形中的边角关系（如30度的直角三角形中三边之比是）。而锐角三角函数反映的是角度与数值之间的对应关系。其首要任务是让学生明确锐角和线段比之间的函数关系，可以说，本节内容是直角三角形知识学习的系统终端启示课。

在浙教版教材中采用的是生活情境做导入，再从特殊三角形入手进行讨论分析;问题在情境中生成，并运用到生活中，这固然是数学教学的一个“套路”。但是在学生学习已经如此系统的情况下，是从“生活情境”出发导入生成问题，还是从“数学知识的整体性”出发导入，这成为了我思考的第一个问题。

二、教学设计与说明

教学环节（一）温故导入，整体感知

问题1：PPT呈现一张直角三角形的图片，对于直角三角形，我们一般研究其哪些内容？你已经知道了它的哪些性质？

教学记录：学生很轻松的回顾了直角三角形的三边关系即其勾股定理，两边之和大于第三边;三角关系即两锐角互余;面积公式，周长公式。学生边讲解，板书边展示如下框架图1;

问题2：那边角之间有关系吗？要想研究边角这两个量之间的关系，可以先确定一个量，再研究边之间的关系;然后再从特殊情况进行研究，比如特殊的直角三角形。

教学环节（二）猜想验证，探究新知

几何画板动态展示如下图2，一副可以改变角度;一副改变边长，不改变角度。

问题5：从以上的展示中你发现什么现象？

教学记录：学生回答三个比值随着角度的变化而变化，而与三角形的大小无关。学生小组讨论，得出其实质的依据为当角度确定的两个直角三角形是相似的，可以根据相似三角形的性质即可得出。学生讲解给出其中一对（如图3）。

学生归纳后确定：当确定时，三个比值也随之确定;反之，当变化时，三个比值也随之变化。

问题6：那么这种随角度的变化而变化的关系是一种什么关系呢？

教学记录：学生回答“函数关系”，揭示课题“锐角三角函数”，随后学生自学书本三个函数的定义。

教学环节（三）精致新知，形成结构

问题7：几何中，我们还要将文字语言转化为符号语言，你能结合图象说一说吗？书中给出了的取值范围，同学们能解释一下为什么如此吗？

问题8：对于直角三角形的锐角有三角函数，那么对于有三角函数吗？你能写出其符号语言吗？

教学记录：组织学生准确表述三个三角函数的定义后，让学生给出了符号表示，结合图形，解释了三角函数的取值范围。并根据定义，引导学生自己归纳给出了的三角函数的符号表示。

教学环节（四）总结回顾，瞻前望远

通过师生互动，学生立足知识框图的生长，形成结构图（如图5）

问题12：观察与的三角函数，你有什么发现？

问题13：同一个角的三个三角函数之间有没有关系？

三、关于章起课教学的几点思考

1. 理解数学，在整体感知处用力

在系统思维的引领下，起始课应对整章知识做一个提纲挈领的“预览”或对整章知识的学习做一个“学法指导”，使学生在学习后续课程内容之前有一个全局的认识。笔者对教学内容进行研究分析，决定选用“数学现实”作为问题情境引入，而放弃书本中的生活情境，而是將生活问题放入最后的运用环节。

2. 理解学生，在最近发展区发力

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教;学生问题在于概念的理解，如何让学生理解三角函数的概念是重心。解直角三角形所需的知识框架不仅要有边角关系，还需要边的关系以及角的关系，这需要教师引导、协助。这都符合学生的最近发展区，更能激发起学生的学习兴趣和探究欲望。

3. 理解教学，在“通性通法”中助力

本案例中，教师在教学时通过层层深入，逐步生成完善，引入新课环节，引导学生“从特殊到一般”的数学思想，经历“观察、猜想、推理、验证”的数学研究套路。同时在研究函数关系时可以先确定一个变量再进行研究是数学常用的建模方法，无形中为学生今后进行数学学习研究提供了模式。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]潘海波.整体把握 结构设计[J].中学数学（初中），2020（11）.

[3]刘继承 黄乔玉.经历概念形成过程 体会数学思想方法——“锐角三角函数的概念”教学案例及反思[J].教学案例，2019（7）.