被遗忘的“锐角三角函数”的定义

刘晓伟

锐角三角函数的定义是在直角三角形中给出的，它反映的是直角三角形相应两边的比值的特性.可能同学们会认为，只有在解直角三角形的问题时才会用到，可事实上，在求一些线段的比值或线段成比例即三角形相似中，是有更广泛应用的.我们在解题的过程中，如果能有选择的利用这一点，将会对我们的解题起到简化过程的作用.

例1 （2014·上海）如图1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.

（1） 求sinB的值；

（2） 如果CD=，求BE的值.

【思路突破】由已知AH=2CH，在Rt△ACH中，可求∠2的正弦，要求∠B的正弦，只需要证∠B=∠2.再由中线CD=，可求AB=2，由sinB可求AC的长，由勾股定理可求【解后反思】在不同的直角三角形中，找出相等的角，然后再利用三角函数的定义找出等量关系是解决此类问题的关键.

例2 如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0

（1） 若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2） 连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

【思路突破】（1） △BPQ与△ABC相似，分=或=两种情况；

（2） 抓住∠BCP=∠QAC，利用三角函数的定义寻找等量关系.

（2） 过P作PM⊥BC于点M，AQ、CP交于点N，则有PB=5t，AB=10，AC=6，sinB=，得PM=3t，BM=4t，MC=8-4t，