从数学史的角度看中国经典题目的教学——“鸡兔同笼”的教学实践与思考

□ 黄野娟 张 昆

一、问题的提出

苏教版教材六年级下册“解决问题的策略”学习内容中的“练一练”，引入了简化版的“鸡兔同笼”问题，提供了两个相关的素材。

素材一：鸡和兔一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？（根据下面的提示，选择一种方法找出答案）（教材第29页）

（1）按照下面的步骤画图。

①画8个圆，表示一共有8只动物。

②假设8 只都是鸡，给每只鸡画2 条腿。算一算画出的腿比22条少多少条。

③一只兔比一只鸡多2条腿，给其中的几只动物添上2条腿，使画出的腿正好是22条。

④鸡有（）只，兔有（）只。

（2）先假设鸡和兔同样多，再调整。（注：为了行文方便，将这种方法称为“系统实验法”）

表1

素材二：“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自唐代的《孙子算经》。书中的题目是这样的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？你能算出这道题中的鸡和兔各有多少只吗？（教材第32页）

素材一的特点是数据较小，所以容易得到两条途径探究解题思路：（1）首先，指导学生利用拟似的实物（这里的①，即画圆）直观表示动物的数量；其次，假设8只全部是鸡（②），发现这8只鸡的腿总数为16 条，比已知条件中的22 条少了6 条；最后，由于每只兔比每只鸡多2 条腿，所以需要3 只兔补充少的6条腿。（2）假设鸡兔各占一半，即鸡和兔都是4 只，并向学生提供表1，引导学生发现，如果鸡和兔各4只的话，将得到24条腿，比条件中的22条多了2条，因此假设中的情况是多了一只兔。这两种方法都可以解决问题。

但在实际教学中发现，学生解决本题时，呈现出多种解题方法，不仅仅是教科书提供的两种途径。特别值得注意的是，有大约三分之一的学生采取先将22 条腿折半为11 条，然后与8 只动物比较，发现腿的数量还多3 条，说明兔子有3 只，鸡有5 只。（注：为了行文方便，将这种方法称为“折半法”）

值得思考的是，学生萌生使用这种“折半法”解题的思路究竟来源于何处？如何利用数学史资料优化“鸡兔同笼”问题的教学设计及其课堂实施呢？故此，我们进行了研究与探索。

二、相关数学史料与分析

任何想法都不是凭空产生的。在以往的学校学习中，学生并没有接触过类似“折半法”的解题方法，应该并不具备这种解题方法的学习经验。那么学生绕过教科书的提示，萌生出用“折半法”解决问题，也就未必是他们创造性思维的成果，而更可能与学生生活中所处的文化氛围相关。因为，正如教科书所言，“鸡兔同笼”问题是古代数学名题之一，因此，这道题存在于学生的生活之中，部分学生无须进入学堂，就可以获得解题的线索。

这道题来源于《孙子算经》卷下第三十一题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何？

答曰：雉二十三，兔一十二。

术曰：上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七。以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七；下有一除上三，下有二除上五。即得。

又术曰：上置头，下置足。半其足，以头减足，以足减头，即得。

当今社会中的成年人，不会采用这种古文之乎者也的方式讨论“鸡兔同笼”问题的解法，但会使用现代白话语言，选择解决这道题的策略，这也就是说，“折半法”流传于生活中，因此，学生在接受教科书的提示以前，就可能已经接受了“折半法”的解题途径。通过访谈发现，很多学生都有意无意地听大人说过这个问题，甚至有部分学生说，在三、四年级时，他们的家长就以“鸡兔同笼”问题问过他们，要求他们解答，如：兔子野鸡三十九，一百条腿地上走。多少野鸡多少兔？而家长给出答案时介绍的方法就是“折半法”。

因此，教师的教学应该要考虑学生受到的文化氛围的影响，并利用这些因素，因势利导、顺水推舟地利用学生在生活现实（而非学校教育教学）中所积累的数学观念、数学方法（可能掺杂着某些瑕疵）等，将这些文化中的有利因素与课堂目标要求的某些要素整合起来，促进学生形成具体的探究解决问题的方法与策略。

通过访谈发现，学生虽自觉不自觉地形成了用“折半法”解决“鸡兔同笼”问题的解题思路，但他们只是接受了成人提供的“折半法”的具体解题方法，却未必了解其背后的道理。也就是知其然而不知其所以然。因此，教师必须先理解古人解决这道题的“术”的具体内涵，从中吸收启发性成分，以便更好地组织教学。

先看这段话“上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七”。古人使用算筹进行数学计算。这段话说的是先用算筹标示出35（表示头），然后在它的下方用算筹标示出94（表示足）。取足数的一半得到47 只足。“以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。”就是说从多的中拿去少的，即用较大的数减去较小的数，47-35得到（足）12。这个12就是兔的数量。“下有一除上三，下有二除上五”就是35 再减去12 可以得到23，这个23 就是兔的数量。通过理解解题方法（术）的具体内容认识到，在这几个解题操作环节中，最难形成的操作行为指令就是第一步，即“半其足”，《孙子算经》的作者是如何想到这一步计算指令的，这一步也实实在在地构成现在教学设计及其课堂实施的疑难点。

于是，在教学准备工作中，首先推测古人萌生“半其足”这种计算指令的来源，前文中对古文的内容说得很清楚，这里的“上置三十五头，下置九十四足”，是解题者使用算筹（如图1，现在使用的是阿拉伯数字）摆出来的。请注意图1中第一个环节的两个具体数字（35；94），古人肯定试探了两种途径，其一，将上面的35 翻倍到70，当然可以解决问题，但后述步骤相对于将下面的94折半的途径要复杂得多（相对于古人筹算而言）。之后，将下面的94折半，结果发现后述计算要简单得多，正如前文所描述与揭示的。

图1

但这一内容只介绍了方法，却没有讲解理由。这或许就是教科书没有引导学生采用“半其足”的方法解决问题的原因吧。

三、“鸡兔同笼”问题教学设计及课堂实施

钱理群说：“教育思想者和现实存在有着潜在的本性上的对抗性，思想者所关心的是‘应该怎样’，而不是‘实际怎样’。思想者与实践者之间是应该有区别，有分工，而且是存在着不同的逻辑的：思想者着眼于新的教育理念的建设，并从自己的教育理念出发，对现行教育的弊端作出批判，从而形成一种思想、舆论的压力，为其呼唤的改革提供思想资源，因此，要求思想的彻底，并具有一定的超前性，因而带有理想主义的色彩，而不考虑现实的操作。而实践者面临的是教育的现状，不仅感受到改革的必要性和迫切性，更要考虑在现实的主客观条件下，改革的可能性和有限性，因而奉行‘逐步推行’的改良策略，这其中也包括必要的妥协，而不可能像思想者那样彻底。”[1]所以，关于“鸡兔同笼”问题的教学设计及其课堂实施，需要考虑以下两方面的问题。

一方面，学生在五年级就学习过“简易方程”，已经能够用数学符号表示具体数据，因此可以使用设未知数引入符号的方法表示鸡和兔的只数，从而替代如图1中的具体数据体系，也就是替代古人方法中使用算筹表示的具体数据，这将有利于启发学生产生“半其足”的行为。

另一方面，皮亚杰在《发生认识论原理》一文中指出：“随着在将近十一岁到十二岁时开始形成的形式运演的出现，达到了运演发展过程的第三个重要阶段。形式运演超越现实本身，把现实纳入可能性和必然性的范围之内，从而无须具体事物作为中介了。”[2]处于六年级学龄段的学生正从“具体运演阶段的水平”过渡到“形式运演阶段的水平”。教学设计及其课堂实施要考虑到学生思维升级的需要，更有针对性地促进学生的数学发展。

基于这两方面的考量，构成关于“鸡兔同笼”问题的教学设计。

师出示问题：今有鸡兔同笼，上有三十五（35）头，下有九十四（94）足，问鸡兔各几何？

（注：学生出现了各种各样的想法，包括教科书提供的“系统试验法”，对总头数的加倍法与总足数的“折半法”，这些想法都有价值。但是，教学设计所设置的目标在于，通过引入符号表示问题中的具体数据，从而构成数据体系，进而启发学生萌生“半其足”的数学计算指令。）

师：大家基本上是采用假设的途径，获得了解题思路，在这些思路中，对于总足数的“折半法”给人印象深刻。你们可以解释一下，是如何想到采用“折半法”的呢？

（注：学生的回答都说是这道题他们曾经听人说过，通过记忆使用了这种方法。）

师：同学们已经学习过设未知数、列简易方程解应用题。对于这个问题，也可以使用方程试一试吗？

生：设兔x只，则鸡（35-x）只。由题中的数量关系得到方程：4x+2（35-x）=94。

师：很好。大家仔细观察方程，你会怎么解这个方程呢？

生：第一步，将这个方程的两边同时除以2，得2x+（35-x）=47。

师：你能结合题目说一说这一步的实际意义吗？

生：就是将鸡和兔的总足数折半。（后述的课堂实施环节略）

（注：使用“折半法”解决“鸡兔同笼”问题时最为关键的一步就是“半其足”这种行为指令是如何产生的，数学史料中呈现的是数学家经由实验、试探、检验而形成的一种直接领悟。对处于六年级下学期的学生来说，使用列方程的符号表达式更利于“折半法”的产生。）

四、结语

在某个数学知识点的教学上，一个好设计的形成，需要数学教师做出许多方面的努力。其一，教材分析。在这个环节中，教师必须依据数学知识的具体特点，吸收方方面面的营养，例如，“鸡兔同笼”问题就需要吸收数学史史料的营养。其二，学情分析。在这个环节中，最重要的一点就是教师必须理解学生数学思维发展所达到的层次，据此充分利用学生思维上的“最近发展区”，从而通过教学设计及其课堂实施促进学生思维水平的提升。其三，教学法分析。教师要选择合适的教学方法，提升教学的有效性。[3]对此，一线数学教师必须思之再思，慎之又慎。