释“比”

□ 郜舒竹

“比（Ratio）”作为小学数学课程的内容，在我国小学数学教科书中通常安排在六年级分数乘、除运算之后。人教版教材六年级上册中，对“比”的定义为“两个数的比表示两个数相除”。这样的表述是将“比”视为运算，运算的对象指向“数”，运算的过程等同于“除”，这或许也是将比的认识安排在分数乘、除运算之后的原因。

按照这样的认识，“12∶4”与“12÷4”只是符号和相关名称进行了更改，除法算式中的“被除数”改为比的“前项”，除号“÷”改为比号“∶”，“除数”改为比的“后项”，除法的结果“商”改为“比值”，“12 除以4”的读法改为“12 比4”。由此自然带来教学中的疑惑：已经有了除法，为什么还需要比？

一、“比”的歧义

从历史的视角看，比最初的意义并不是算术中的除法运算，而是几何中量之间的“关系（Rela⁃tion）”。随着算术与几何的融通，比的想法逐渐从几何进入算术，开始出现算术运算的意义。

“比”并不指向类似于高山、河流、石头、动物、桌椅、水杯等客观存在并且可以感知到的对象，因此比不是一个自外而内，对客观事物进行抽象所形成的“概念（Concept）”，而是人“心智（Mind）”中自内而外的主观“生成（Poietic）”。这种心智生成的对象在英文中通常用词汇“Idea”表达，与中文“想法”或“主意”的意义接近。

比的想法与几何中度量（Measurement）的活动密切相关，度量实际就是比较，比较自然会出现相同和不同的对象。几何中的度量对象主要包括线、面、体、角，相应的说法为长度、面积、体积和角的大小。比如两条直线段，如果二者通过移动能够重合，就说二者关系是相同或等价。如果不相同，就用短者重复度量长者，直到短者超过长者，此时就说二者存在可比性，也就是存在“比（Ratio）”，这里所说的“存在”，不是客观世界中事物的存在，而是心智中生成的想法。

古希腊欧几里得的《原本（Elements）》第五卷中，将比定义为“同类量之间的关系”[1]。其中的“同类量”，指的是长度和长度之间存在比，长度和面积属于异类量，二者之间不可比，也即不存在比，同样，长度与角之间也不存在比。

后人在对这一定义解读的过程中，出现了许多不同的说法。17 世纪英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703），认为应当用算术的运算来认识这样的关系，理由是几何中的度量离不开算术的运算，比如将几何中3 英尺的长度和2 英尺的长度合并，得到5 英尺，就需要算术中的加法运算“3+2=5”。沃利斯反对将几何视为数学的基础，认为算术是所有数学的基础。当然这一观点当时也有许多反对的意见。[2]

19 世纪英国数学家德·摩根（Augustus de Mor⁃gan，1806—1871），认为欧几里得《原本》中关于“比是关系”的说法过于笼统，是“无意义（Nonsense）”的定义，应当用“包含（Contain）”表述这样的关系。两条线段长度的比，实质是看较长的线段包含多少次较短的线段，或较短线段含于较长线段多少次[3]。

诸如此类的认识，使得比从几何领域逐渐进入了算术，而且与算术中除法运算的被除数包含除数的意义非常接近，因此在算术中往往把比与除法等同看待。可以说，自古以来关于比的认识就存在争议，因此其意义也存在歧义。主要表现为两种，一种是“关系说（Doctrine of relation）”，即“比是关系”；另一种是“运算说（Doctrine of Operation）”，即“比是除法”。

这样的歧义也反映在我国算术教科书中。清朝末期由日本数学家桦正董原著，周京翻译，上海科学编译书局于1908年印行的《算术教科书》，在当时流行甚广，其中是用实例的方式描述比的意义。

例如求12 为4 之几倍或为几分之几则以4 除12知为3。又例如求12为18之几倍或为几分之几则以 18 除 12 知为如斯表一数当他数之几倍，或当几分之几之数，谓之一数对于他数之比。

其中将比的意义表述为算术中的除法运算，比等同于求一个数除以另一个数的运算结果。民国时期，由当时民国教育部审定，商务印书馆1922年印行，骆师曾编著的《新算术（第六册）》中，将比定义为：

取甲数与乙数比较，而求其为乙数之几倍或几分之几，此种关系曰甲数对于乙数之比。

这一定义是将“比”视为两数之间的关系，而关系是用除法运算进行表达，综合了对“比”的两种认识，但仍偏重除法运算的意义。新中国成立后，人民教育出版社于1961 年出版的十年制小学课本《算术（第十册）》中，对“比的意义”是用长方形长与宽的关系引出的。

我们常常要比较两个数量的倍数关系。例如，一面红旗，长6 分米，宽4 分米，要比较长是宽的几倍或者宽是长的几分之几，可以这样算：

在此基础上引出比的定义：

有时我们不说长是宽的几倍或宽是长的几分之几，只说长和宽的比或宽和长的比是多少，例如上面的例子，就说长和宽的比是6比4，记作6∶4，宽和长的比是4比6，记作4∶6。

同样是将比的意义定位于关系，表达关系的方法是除法运算以及运算结果。2006 年，人民教育出版社依据《义务教育数学课程标准（实验稿）》，编辑出版的《义务教育课程标准实验教科书数学（六年级上册）》中，摒弃了“比是关系”的意义，明确指出“两个数相除又叫作两个数的比”，将比等同于算术中的除法运算，这样的认识沿用至今。

综上，比的意义经历了逐步进化的过程，最初的认识是几何中同类量之间的关系，逐渐发展为与算术中的除法运算建立联系，除法运算成为表达这种关系的方法。为了进一步理解“比是关系”的意义，再来看看同类量之间的比是如何进化为异类量之间的比的。

二、从“同类量”到“异类量”

先看一个实例：一条线段AB，其中E点是线段的中点，将线段AB平均分为两个部分：AE和EB（如图1）。

图1 线段长度的比示意图

此时可以感知到这两个部分线段的长度相等，即AE=EB。如果关注整体与局部的关系，那么就可以想到整体AB的长度是一个部分AE（或EB）长度的2倍。反过来看，其中一个部分的长度就是整体长度的一半（或），用比的符号表达就是AB∶AE=2∶1；AB∶EB=2∶1；AE∶AB=1∶2；EB∶AB=1∶2。

如果改变看法，关注局部与局部的关系，就得到AE∶EB=1∶1。

这里出现的比都属于线段“长度与长度”的比，是同类量之间的比。在此基础上，可以进一步探讨长度之间的比与面积之间的比的关系，也就是比与比的关系。将一张长方形纸ABCD对折，折痕是线段EF（如图2）。

图2 面积比与长度比示意图

这时视觉中的长方形被折痕EF平均分为两个部分，如果把长方形ABCD视为整体，那么长方形AEFD与EBCF就是构成这一整体的两个局部。此时相应的面积与线段AB的长度之间出现了类似的关系。

面积之间的比与图1中线段AB的长度之间的比是一样的，因此就得到长度之间的比与面积之间比的关系。

像这样比与比之间的相等关系，也叫作“比例（Proportion）”①注释：历史上表达两个比相等的比例关系，并不是现在的等号“=”，而是将两个比号“∶”并列，写为“∶∶”。比如“4∶2∶∶2∶1”。。因此可以说比例成为沟通两个比之间关系的桥梁，进而也成为沟通像长度和面积这两个异类量之间关系的桥梁，使得异类量之间的比成为可能。比如图2 中就出现了面积比与长度比的相等（等价）关系。

面积AEFD∶面积EBCF=长度AE∶长度EB

表达的是面积与面积的比等于长度与长度的比，这样的关系也可以表示为面积与长度的比等于面积与长度的比。

面积AEFD∶长度AE=面积EBCF∶长度EB

“面积AEFD∶长度AE”的前项是面积，后项是长度，用整数除法包含或平分的意义，就难以解释面积除以长度“面积AEFD÷长度AE”的意义。由此表明，“比是关系”的说法，不能用除法的意义完全取代。

两个异类量之间比的出现，是在欧几里得《原本》中同类量之间存在比的基础上进化的，这样的进化使得表达异类量之间关系成为可能，正是这样异类量之间比的关系使得“率（Rate）”以及正比例的想法得以生成。

三、率与正比例

“率”是表达异类量之间关系的说法，也可以认为是异类量之间通过除法运算所得到的比值。一个典型的例子是运动的“速度（Velocity）”，速度是人的感觉器官无法感知的，如果把一个物体的运动视为是一个变化过程，人能够感知到的是运动物体空间位置的变化以及距离远近的异同，也能感知到同时以及先后的差异，也就是经过时间长短的异同，但这些都不是速度，而是运动物体空间与时间意义的位置差异与先后顺序的不同。

距离的差异无论远近，变化前和变化后的属性不会改变，仍然是距离；时间也是如此，无论长短如何变化，都是时间。因此距离和时间都是具有可加性的量，称为“延展量（Extensive Quantity）”，延展量具有较强的客观性，具有易于感知的特点。距离的远近属于空间中的量，先后或长短属于时间的范畴，因此距离和时间不同类，是异类量。

运动与运动之间的一种关系是快与慢的比较，历史上人们对快与慢最初的认识不是量，而是运动的属性，属于“质（Quality）”的范畴。无论是快还是慢，是人通过空间意义的距离以及时间意义的先后进行比较而生成的想法。比如，如果看到相同时间运动相同距离，自然想到快慢程度相同，即速度相同；如果相同时间运动距离较远（近）者，那么运动速度较快（慢）。

因此运动的快慢程度，是由运动距离远近与运动时间长短之间的关系决定的。因为距离的远近与时间的长短是异类量，如果把比视为同类量之间的关系，那么距离与时间之间不存在比。中世纪的欧洲，曾经出现了“质的量化（Quantification of Qual⁃ity）”的思潮，将诸如冷与热、快与慢、亮与暗等质性进行量化[4]，这样的量化自然需要运用比和比例的想法。

14 世纪法国著名的哲学家、科学家尼克尔·奥里斯姆（Nicole Oresme，约1320—1382），用长方形模型（Configuration）表达匀速运动各个量之间比的关系（如图3）。

图3 匀速运动示意图

图3 中“横向线段（Longitude）”DC表示运动经过时间，“纵向线段（Latitude）”EF表示运动的快慢程度，也就是速度。这样一来，运动距离就可以用时间与速度所构成的长方形AEFD的面积表示[5]。在这个长方形模型中，运动的距离、时间和速度之间的关系就转化为几何中量之间的关系了，这些关系就可以运用几何中量之间的比和比例表达了。

利用长方形面积与边长之间的关系“长×宽=面积”，就可以得到“速度×时间=距离”，同样从“面积÷宽=长”可以得到“距离÷时间=速度”，实现了运动快慢属性的量化。因而速度也成为一种量，是运动距离与运动时间这两个异类量之间的比，这样的比是通过除法运算得到的，表达的是运动快慢“程度（Degree）”的质性特征。这种表达程度的比或比值，也叫作“率（Rate）”。区别于具有可加性的广延量，这样表达变化程度的量，具有自内而外的生成性，因此称之为“‘强度量’或‘内包量’（Inten⁃sive Quantity）”。这一说法源于18世纪德国哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant，1724—1804）[6]。

19~20世纪英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家罗素（Bertrand Arthur William Rus⁃sell，1872—1970），在论及广延量和强度量之间的区别时指出，人对广延量的认知是依赖感官的“感觉（Sensation）”，对强度量的认识是依赖身体和心智的“感受（Feeling）”[7]。前者是自外而内的认知过程，后者偏向于自内而外的认知过程。

一个物体的匀速运动，距离和时间协同变化、可长可短，因此运动距离和时间都不能成为运动的本质属性。刻画匀速运动本质属性的量自然应当是运动过程中保持不变的强度量，即速度。有了这个不变的速度，距离和时间二者的变化规律就得以确定，这样的规律英文通常表达为“In Proportion”或“Proportional”，是“成比例”的意思。这样的说法在语境中是形容词的意义，形容两类变量协同变化过程中之间的比，也就是率是固定不变的。对于匀速运动就可以说，运动距离与运动时间是成比例的关系，意味着二者的比值（速度）是固定不变的，也叫“常量（Constant）”。

汉语中所说的“正比例”对应的英文是“Direct Proportion”或“Direct Ratio”，意为“直接的比例”，同样表达两类变量协同变化过程中成比例的关系，与成比例的说法基本同义。比如商品交易中如果“单价”确定，那么购买数量与花费金额就是正比例关系。工程问题中如果“效率”确定，工作量与工作时间是正比例关系，等等。

异类量之间正比例关系的一个重要应用，是将具有正比例关系的两类量相互替代。比如对于“角”的度量，也就是如何对角张开的大小程度进行描述。

图4 角度与弧长关系示意图

如果把图4 中的角AOB，视为线段OA围绕O点按顺时针方向旋转到OB得到的，这时A点的运动轨迹就是一条圆弧其长度用L表示。直观可以看出，角AOB张开程度的大小与弧线L的长度具有协变关系，而且不难发现这个协变关系是正比例关系。

图5 角度与弧长的正比例关系

如图5 所示，如果将90 度角扩大4 倍，成为圆周角360度，那么对应的弧长就从圆周长的同时扩大4 倍变为圆周长。也就是角扩大或缩小多少倍，弧线长度也随之扩大或缩小多少倍。

因此在中学数学三角函数的内容中，通常用“2π”表示圆周角，“π”表示平角。事实上，2π原本并不是度量角大小的，而是长度，是单位圆（半径为1 的圆）的周长，π 是半径为1 的半圆的周长，是用单位圆的弧长替代角的大小的表达，其原因就是弧线长度与圆心角大小的正比例关系。

其中所出现的比和比例，比如“2π∶360°=π∶180°”或写为分数形式只能通过“比是关系”进行解释，而无法用“比是运算”进行理解，无论是“长度除以角度”还是“角度除以长度”，都是难以圆说的。

从比的关系说和运算说的关系来看，首先应当承认二者的不同。关系说强调自内而外主观的看法和想法，追求个性和多样。运算说强调自外而内的做法和写法，追求过程的简洁和结果的准确。当然二者也不是非此即彼的排斥关系，而是相互补充、相互依赖的关系。

关于比的课程设计与实施，试图用“比是除法”概括比的意义是不妥当的，应当更加全面地呈现比的意义，让学生不仅体会比的运算意义，更有机会认识到“比是关系”。

美国加利福尼亚麦克劳出版社于2008年出版的数学教科书《加州数学》，其中对“比”的定义为“比是运用除法对两个量的比较”。[8]这个定义综合了比的关系说和运算说两种意义，将比视为比较的认知活动，将除法运算视为比较的工具或手段。也就是说，比首先不是运算，是对事物之间量的比较的过程，比较过程中发现关系，而后对关系进行表达，运算是这一过程中可能使用的工具和方法。