乾隆贬损朱载堉十二平均律发明辨析

董大一

摘 要：《四库全书》是清乾隆年间编纂的大型丛书，涵盖中国有文字记载成书以来的珍贵文献，其经部有乐类目，著录历代“礼乐”文献。明朱载堉以数学模式推导“十二平均律”，发明了“新法密率”，在中国律学史上占有重要地位。但“新法密率”却遭乾隆敕纂《御制律吕正义后编》和上谕《乐律全书·校正条例》贬损，斥为 “臆说”。在《御制律吕正义后编》中的《乐问》篇，列朱载堉“新法密率”十罪，进行批判。此《乐问》实则是管制官民发明创造的“精神枷锁”，不利于学术探索，也禁锢了思想进步。

关键词：朱载堉 十二平均律 《御制律吕正义后编》

中图分类号：J612.1 文献标识码：A 文章编号：1000-8705（2021）02-58-65

朱载堉（1536—1611）乃朱元璋九世孙，究心律数，所著《乐律全书》首次提出“十二平均律”的理论。继之，完成“十二平均律”的重大发明。辅之，发明了为乐器定音的“弦准”。弦准的发明，是世界之首创。

1568年，希腊的律学家文森佐·伽利莱1（Vincenzo Galilei）在其所著《弗洛尼莫对话集》中说：“在琉特琴定弦时，可以将每个半音的弦长比，定为18/17。”2这只是简便易算的近似值。1581年他著《古代與现代音乐的对话集》提出将音阶分为十二等分。因之，文森佐·伽利莱有近似“十二平均律”的理念，是西方第一位提出十二平均律估算的学者，但此估算重复十二次以后，不能得到精确的八度乐音。这说明东西方律学家都在求证准确的十二平均律。朱载堉在传承先贤重要发明的基础上，创造出“十二平均律”，朱载堉的创举，是在纯数学领域上迈进了一大步。他于万历二十四年（1596）刊刻的《乐律全书》九种，成为科学的、完整的创造性发明，是中国的十二律吕乐典。

一、朱载堉以“数学模式”推进的发明

朱载堉是以数学的模式计算出十二平均律，著录“新法密率”的发明家。这是世界科技发展史上的重大发明。

（一）朱载堉撰“新法密率”

朱载堉是勤奋的多产作家，1581年著《律历融通》，1584年著《律吕新说》，1594年著《律吕精义》。朱载堉在《律吕精义》一书中提出“新法密率”，公布了十二音律各音之间完全平均的频率关系的计算数据，准确地推算出十二音律的等比数列，并将每一个数值都精确到了小数点后第二十五位。《律吕精义》一书中，记载了十二平均律发明的数学模式演算公式，这是一部集大成的科学实践报告书。文曰：

度本起于黄钟之长，则黄钟之长即度法一尺。命平方一尺为黄钟之率。东西十寸为句，自乘得百寸为句幂;南北十寸为股，自乘得百寸为股幂：相并共得二百寸为弦幂。乃置弦幂为实，开平方法除之，得弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五微六纤二三七三○九五○四八八○一六八九为方之斜，即圆之径，亦即蕤宾倍律之率。以句十寸乘之，得平方积一百四十一寸四十二分一十三厘五十六毫二十三丝七十三忽○九五○四八八○一六八九为实，开平方法除之，得一尺一寸八分九厘二毫○七忽一微一纤五○○二七二一○六六七一七五，即南吕倍律之率。仍以句十寸乘之，又以股十寸乘之，得立方积一千一百八十九寸二百○七分一百一十五厘○○二毫七百二十一丝○六十六忽七一七五为实，开立方法除之，得一尺○五分九厘四毫六丝三忽○九纤四三五九二九五二六四五六一八二五，即应钟倍律之率。盖十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端，此自然真理，犹贞后元生，坤尽复来也。是故各律皆以黄钟正数十寸乘之为实，皆以应钟倍数十寸○五分九厘四毫六丝三忽○九纤四三五九二九五二六四五六一八二五为法除之，即得其次律也。安有往而不返之理哉！旧法往而不返者，盖由三分损益算术不精之所致也。是故新法不用三分损益，别造密率，其详如左。1

以上密密匝匝的数值，证实朱载堉的计算思维已经跳出了古代的“三分损益法”，而“别造密率”，“新法密率”是《律吕精义》全书的精华。

（二）“新法密率”记述发明的数据

朱载堉经过大量数学模式推算，得出“十二平均律”准确的数值，记载于《律吕精义》一书上。其理论大致如下：

由于8度音程的弦长比是2：1，要将8度音等分为12份，需要求等比数列的公比等于2x （1/12）。

先将纯8度开平方，得到蕤宾（F#）=1.414213562373095048801689

再将蕤宾继续开平方，得到南吕（D#）=1.1892071150027210667175

再将南吕开立方，则得到半音应钟（C#）倍率=1.059463094359295264561825

2的12次方根等于1.059463094359295264561825 。这就是现代钢琴上相邻半音的频率比。朱载堉提出的十二平均律，其音高的物理值，应是等比数列，达到音程的和谐。当西方“5度相生”原理成立，则C音和G音的音程是纯5度，是3：2的比例。用数学模式，推导出精确的十二平均律数值是：

黄钟 1

应钟 1059463094359295264561825

无射 1122462048309372981433533

南吕 1189207115002721066717500

夷则 1259921049894873164767211

林钟 1334839854170034364830832

蕤宾 1414213562373095048801689

仲吕 1498307076876681498799281

姑洗 1587401051968199474751706

夹钟 1681792830507429086062251

太蔟 1781797436280678609480452

大吕 1887748625363386993283826

黄钟 2

如果C=1，那么G=3/2，F=4/3，按西方“5度相生”理论，必须符合整数比。

C=1

G=1.498307076876681498799281 相差千分之1.2

F= 1.334839854170034364830832 相差千分之1.1

用现代的数学模式推导为1：2^（1/12） ，就是1比2开12次方根，即约1：1.05946309436，C4： 261.62557 Hz赫兹（A4： 440 Hz）。按毕达哥拉斯学派的声音的和谐要求整数比，符合“5度相生法”的整数比，因而，朱载堉是世界上最早求出十二平均律的发明家。

（三）朱载堉使用的算具

朱载堉谙熟珠算法。他使用优质铁栎木制作算珠，生产宝贵的计算用具“算盘”，用以计算出极大的数值。著有《算学新说》。

在明代，没有其他计算器具，也没有微积分，只有古老的“算盘”是唯一的计算工具，2的12次方根，是他徒手笔算，或者手播算珠，打得噼啪山响计算出来的。朱载堉使用横跨八十一档的特大“算盘”作开方计算，通过2的12次方根计算，求到小数点后面第25位小数，推算出新的十二平均律。

（四）朱载堉的其他著述

朱载堉编撰的乐谱、舞谱，涉及声律、数学、历法、舞乐等多种学科，以科学方法推导出十二平均律的数值，以数理方法进行调音，解决了旋宫转调的难题，是世界音乐史上最早使用等比级数音律系统阐明十二平均律的科学著作。

《乐律全书》《律吕精义》已著录《四库全书》乐类;《律吕正论》《律吕质疑辨惑》已著录《四库全书》乐类存目。另有著作《律历融通》《嘉量算经》《乐学新说》《算学新说》《瑟谱》《操缦古乐谱》《旋宫合乐谱》《乡饮诗乐谱》《旋音合乐谱》《六代小舞谱》《元代小舞谱》《小舞乡乐谱》《二俏缀兆图》《八修缀兆图》《灵星小舞谱》等。

朱载堉创作的散曲脍炙人口，具有强烈的批判现实主义色彩，如《山坡羊·十不足》《山坡羊·富不可交》等。有散曲集《醒世词》存世。

二、对朱载堉发明的评价

（一）朱彝尊为《乐律全书》作跋

朱彝尊（1629—1709），字锡鬯，号竹垞，嘉兴人，罢归后殚心著述。其为朱载堉的《乐律全书》作跋云：“河间献王之后，言礼乐者，莫过于此者也。”1

（二）陈澧撰《声律通考》

陈澧（1810—1882），字兰甫，番禺人，其《声律通考》评价朱载堉云：“载堉著书，可以精研算法，如欲通行于天下，安能使工人学算而后制其器。伶人学算而后按其声乎？……数虽微差，而音则不觉有差也，古法诚不必改也。”2

（三）杨荫浏撰《中国音乐史纲》

现代民族音乐学者、笔者的恩师杨荫浏（1899—1984）先生早在1925年，用英文撰《中国音乐史纲》论文，1952年出版。1936至1937年在燕京大学教中国音乐史课，用实证法检验过康熙提出的“十四律”的科学性;对朱载堉发明的“十二平均律”“新法密律”理论进行解析之后，撰《平均律算解》，赞誉朱载堉的贡献。著有《中国音乐史纲》。另有《中国古代音乐史稿》上下册，篇幅达四十五万字，1981年完稿，由人民音乐出版社出版1。

（四）德國赫尔姆霍茨的称赞

赫尔姆霍茨（Hemlholtz，1821—1894），德国生物学家、声学家，其称：“在中国人中，据说有一位天才的王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法。”2赫尔姆霍茨是声学“谐振器”、数学物理学的“微分方程”“能量守恒定律”等的发明家。

（五）英国李约瑟的肯定

研究中国科学史的学者李约瑟（Needham Joseph，1900—1995）著有《中国的科学与文明》一书，其评价朱载堉的十二平均律发明曰：“朱载堉是世界上第一个平均律数字的创建人。”3“东方的文艺复兴式的圣人”4。

三、传教士与十二平均律发明

自1644年起的一百四十年间，天主教会派大批传教士来华布教者越五百馀人。传教士来华 “挟学术以传教”，来华之前受过严格的科技培训，入华之后则能聚集更多的中国听众，吸引中国人皈依天主教成为信徒5。所以，传教士们携带的宣传宗教的书籍里，混杂很多科学技术书籍。万历年间，耶稣会的汤若望、利玛窦等人来华传教，带来东西方文化交流的机遇。

朱载堉在《律吕精义》一书内，详细讲解了“十二平均律” 发明的理论与推导数值的方法。朱载堉分别在1595、1606年两次将此乐律发明进呈给朝廷。在1600年前后，传教士利玛窦、庞迪我、金尼阁等应召进宫，拜谒过皇帝朱翊钧。其后，金尼阁曾返回欧洲向罗马教皇述职。利玛窦在传教日记里，记录了朱载堉发明的律法理论。这一重大的文字记录证据，证明朱载堉著《律吕精义》及提出的“新法密率”有可能被利玛窦带回了欧洲，并在欧洲宣传过朱载堉的“十二平均律”理论。《利玛窦日记》拉丁文本是在欧洲出版的，西方对朱载堉发明的“律法”和“十二平均律”理论和实践，有前后呼应的宣传效应。

在荷兰，数学家斯台文，晚于朱载堉发明十二平均率的1584年，于1596年首次提出用等比数列求十二平均律的设想;到五十年之后的1636年，斯台文在其著的《宇宙的和谐》（Harmonie Universelle） 中，给出了数个关于十二平均律的计算数值6。学者推测，利玛窦与斯台文可能相识，斯台文可能通过利玛窦搜集到了中国的十二平均律发明资料7。十二平均律数学模式科学计算成果，是不是从中国流传到欧洲的呢？利玛窦传教士的神职资料，今保存在欧洲教皇图书馆，待考。

四、《四库全书》“乐类”分类及著录典籍

中国自汉武帝朝始，实行“罢黜百家，独尊儒术”的国策，使儒家学说备受历代君主的推崇，并将儒术的《诗》《书》《礼》《乐》《易》《春秋》等著述薪火相传，故其至今仍是传统文化的经典，也是社会礼教文化的核心，受到朝野官民的尊崇。而《乐经》一书若显若隐，成为经学之秘。清人编纂《四库全书》，在经部里恢复了《诗》《书》《礼》《乐》古制，设置了 “乐类”目，著录宋、元、明、清历代律学者的典籍文献。

乾隆三十七年（1772）始纂《四库全书》，至乾隆五十四年（1798）《四库全书总目》编妥定稿时，“经、史、子、集”四部依次排列，显示《四库全书》编纂群体“崇儒尊经”的文化倾向，体现了清人尊崇儒家学说。“孔子以《诗》《书》《礼》《乐》教，弟子盖三千焉”1。清人所编纂的《四库全书》，经部高居四部之首，立《诗》《书》《礼》《乐》为类目，这是阐释孔子传承周代以来的文化典籍。《庄子·天运》有“丘治《诗》《书》《礼》《乐》《易》《春秋》六经”之说，《荀子·劝学》有学《诗》《书》《礼》《乐》《春秋》之论，被后学尊称为“经”，成为儒学教育的基本文化典籍。在中国古代，经学具有举足轻重的地位，制约传统文化的发展。

乾隆朝末期，伴随《四库全书》编纂落定，官修二百卷的大型目录《四库全书总目》提要以“钦定”名义面世。《四库全书总目》卷三十八“乐类”提要前言曰：“沈约称《乐经》亡于秦。考诸古籍，惟《礼记·经解》有‘乐教之文。伏生《尚书大传》引‘辟雝舟张四语，亦谓之《乐》”2。以上论述可知，古《乐经》可能佚失于秦代“焚书之火”。

《四库全书》经部乐类，共计二十二部四百八十三卷;列于“乐类存目”者，共计四十二部二百九十一卷，内有四部无卷数。其中皇家“御制”者有康熙《御定律吕正义》五卷，乾隆《御制律吕正义后编》一百二十八卷。

五、对朱载堉乐律学发明观点的分歧

《四库全书》经部的乐类里，著录朱载堉撰四部乐律著作，其中《乐律全书》《律吕精义》共计四十二卷，已著录乐类;《律吕正论》四卷，《律吕质疑辨惑》不分卷已著录乐类存目中，共计四部著作。

乾隆对朱载堉十二平均律的发明持反对的观点，朱载堉著《乐律全书》多次遭到乾隆敕纂《御制律吕正义后编》《乐问》的亵渎，被诬陷为“臆说”，令馆臣著文大加批判。

（一）分歧双方的人物和书籍

乾隆撰《乐律全书·校正条例》《上谕》和四十六位馆臣著《乐问》是批判的主攻手，南宋蔡元定和明朱载堉两位发明人的五部原始著作均遭劫难。即：南宋蔡元定著《律吕新书》一部，明朱载堉著《乐律全书》《律吕精义》二部，明朱载堉著《律吕正论》《律吕质疑辨惑》存目二部。朱载堉的四部著作受《御制律吕正义后编》批判时，统称之为《朱载堉新书》。

（二）皇家一方的康熙

康熙五十三年（1714）敕撰《律吕正义》，没有贬损攻击朱载堉的发明著作。乾隆为康熙敕撰《律吕正义》续纂《后编》，旨在诬陷朱载堉十二平均律发明是“臆说”，是改革与复古的分歧，创新与守旧的矛盾。这实质上是乾隆控制官民思想自由，封堵发明人创新视野，以确保清廷帝国国体“安全”的政治行为。据《四库全书总目》卷三十八经部乐类《御制律吕正义后编》序及表载，乾隆十年（1745）十二月允禄等进呈表文，乾隆十一年（1746）三月奉旨开列允禄等四十六位编纂诸臣的职名。《提要》曰：“至于首载历奉谕旨，及馆臣诸奏議，积盈二卷。”3为批判朱载堉添撰《乐问》而“设宴庆功”，允禄等四十六位编纂官受到乾隆的嘉奖。《御制律吕正义后编》成书一百二十八卷，拆分成七十一册。分上、下、后三大部分，可谓集宫廷礼乐之大成。上部为朝廷举行活动时演奏的乐章，既有文字叙述，又有用乐节次，同时辑录歌词、乐谱、舞谱。下部分为：乐制考、乐器考、乐章考、附图、图解等五章，考证有史以来的乐制，是清代宫廷礼乐的经典。末尾有《乐问》四卷，问罪于蔡元定著《律吕新书》和朱载堉的“新法密率”发明。《乐问》堪称清廷扼杀革新、践踏发明的国策“宣言”。《乐问》判十二平均律发明是“臆说”。

臆说一：举《淮南子》曰：黄钟之律九寸而宫音调。说：“载堉舍其九寸之说，而执宫数之八十一以为纵黍之长，此其为臆说者一也。”1

臆说二：举《律书生钟分》曰：“子一分，丑三分二，十二律子母之分甚明。载堉强以子一分为一尺。”又引《汉志》算法曰：“用竹径一分象黄钟之一为一尺之明证。……顾以径一分象黄钟之一者为一尺，则长六寸象林钟之长者，又何说耶？此其为臆说者二也。”2

臆说三：举《律书》曰：“置一而九三之以为法，实如法，得长一寸。凡得九寸，命曰‘黄钟之宫。”举《汉志》曰：“以成之数忖该之积，如法为一寸，则黄钟之长。……其理其法信而有征。载堉乃概以刘歆、班固为伪辞，而谬指史迁之一分为横黍一尺之柄据。此其为臆说者三也。”3

臆说四：举《吕氏春秋》曰：“以三寸九分为含少，乃黄钟之少宫。载堉执黄钟为八寸一分，遂以一百二十为律吕之全数。……夫一百二十数既不合于图书，而说又不见于经传，是何从而出者耶？此其为臆说者四也。”4

臆说五：举《管子》曰：“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首。……载堉乃以三之为三寸，又四之为十二寸，开以合九九为黄钟之长八十一，夫四与开既不得拆为二义，十二寸又不得指为一百二十，是强为之解，而其义益不可通也。此其为臆说者五也。”5

臆说六：“秦火以前古制虽不可考，然《易数》在所未焚。而汉儒言律实倚《易数》而起，稽古者断自汉儒始矣。载堉概舍先儒而不之信，任其私智创为新法，乃曰盖黄帝云然。此其为臆说者六也。”6

臆说七：举《汉志》曰：“《汉志》所为制十二管以听凤凰之鸣，……比黄钟之宫，而皆可以生之。……载堉亦谓律由声制，非由度出。而乃自立差分之法，使第十三率为第一率之一半，则是律由度出而非由声制矣。此其为臆说者七也。”7

臆说八：“律吕之隔八相生也，亦由十二律之既定而推其损益之序，适符乎位次之自然，非人之所能为也。载堉既以己意立为差分之法，则连类而生也，可隔一亦可隔二，亦可以至隔三隔四隔五隔六隔七，顺生逆生亦无不可，是则人之所为矣。乃以此为循环无端之妙用，其何堪识者之一噱耶？此其为臆说者八也。”8

臆说九：举《汉志》曰：“律吕之围径皆同也，围径同而长短异，故声之清浊高下于是乎生，《汉志》所谓厚窍均者是也……自二之一，以至百之一，极形变态，无所不可。而究于律吕之清浊高下无当也。此其为臆说者九也。”9

臆说十：“律之为数长九寸，空围九分，积八百一十分，合纵长面幂积实计之，无往非九而声适中黄钟之宫，三分损益，终于十二，此声音理数之所以妙合也。载堉以黄钟为一尺，外径五分，而面幂积实无一合者，徒执差分周而复始之法，以自鸣其算术之精，此术士之曲艺，而于声音理数毫无所取也。此其为臆说者十也。”10

乾隆《圣谕》是分歧产生的根源，兹择录如下。乾隆五十一年十二月十七日内阁奉上谕：“朕披阅朱载堉《乐律全书》，所论音律算法，称引繁赜，但其中较《律吕正义》一书疏漏岐误之处，正复不少。盖乐律算法，义本相通，必须讲求贯串，以期画一。……并未兼注宫、商、角、徵、羽字样，未免援古入俗，自应仿照《律吕正义》，逐细添注，方为赅备。……目今朝会大典，钟簴虡铿鐄，备极庄雅，业经载入《律吕正义》，彰彰可考，独不可融洽贯通乎。着交管理乐部算法馆之皇六子永瑢及德保、邹奕孝、喜常，会同精核朱载堉所著此书，分门别类，务将《乐律全书》较《律吕正义》疏漏岐误之处，分列各条，公同详晰订证。如书中凡例、体裁逐加考评，载于提要之后，以垂永久，而昭厘定。钦此。”1乾隆五十二年二月初六日云：“昨蒙发下《乐律全书》校正条例，已交六阿哥同邹奕孝等将案语首条添改，谨夹签进呈。俟发下，交武英殿纂修缮写，并恭录御制诗二篇冠于书首。”2是年二月十一日云：“臣等顷奉谕旨，将《乐律全书》校正条例并增注七音各谱缴进。适六阿哥已将前书同邹奕孝、喜常遵照指驳各条，添撰案语叙入条例，并于增注七音谱内改正。谨将原书夹签，同增注原谱一并进呈。谨奏。”3同年十月初一日内阁奉上谕云：“朕前披阅朱载堉《乐律全书》，所载乐谱内填注五、六、工、尺、上等字，并未兼注宫、商、角、徵、羽。……曾经降旨交皇六子永瑢及邹奕孝等将朱载堉《乐律全书》内疏漏岐误之处，详晰订正，分别各条，载于本书提要之后，以垂永久而昭雅正。……所当详加订正，俾操缦安弦之士，皆得矢诗遂歌，更足以昭美盛。着派皇子等会同乐部大臣悉心精核，其诗篇内应用某宫、某调者，俱着详审文义，定为某宫、某调，仍于各谱骈注七音字样，汇成一书……庶几考古而益进于古，以副朕条理集成，引俗入古至意。”4

六、结语

英国科学史家李约瑟曰：“中国文明在科学技术史上曾起过从来没有被认识的巨大作用”“在现代科学技术登场前十多个世纪，中国在科技和知识方面的积累远胜于西方。”随后提出“李約瑟之问”：“为什么十五世纪之前，在获取自然知识并将其应用于人的实际需要方面更为有效的中国文明，到了十五世纪却没有产生近代科学？”同是问的另一面曰：“为什么近代科学仅仅起源于西方？”5

在拉丁文中，“科学”一词的含义即是知识，科学本身是一种改造世界的物质和力量;在希腊，对知识的追求，是对自由人性的训练和实践，从获取知识观点来理解自由。在中国，文明和文化，是从大自然出发获取知识和知识体系。以《易经》为基础的阴阳、五行、八卦学说，指导科学实践，总结出大量的人格化的技术发明与发现，它是精神与物质的统一，更是在大一统的皇权之下，在官民的有限的自由下，推动了社会文化的进步。回顾中国发明家的发明史，也只是个体发明人带动应用技术的进步，并非皇权官方出面，组织科学家研究科学技术，推动发明创新意义上的进步。而近代西方文艺复兴运动，带动的科学创新，是经过三百年的蕴酿，仅在相对自由的欧洲产生。1870年左右，英国跃入“新世界”;随后，欧洲和美国在近代化的一百年中，实现了雨后春笋般的突飞猛进，迎来蒸汽时代、电气时代、电子时代、量子时代的科学技术大发展。

乾隆盛世打压中国科技创新发明人的年代，正是西方各国积极扩张的高峰阶段，西方积极吸收中国等外来文化壮大自己;中世纪之后，中国的经济、科技水平止步不前，固步自封的小农经济被西方迅速超越。晚清的中国落后挨打，罪在乾隆朝的错误国策耶！这也就回答了英国科学史家李约瑟提出的“李约瑟之问”了。

Abstract：Siku Quan Shu is an enormous book edited in the period of Qian Long's，  which included some precious bibliography since China has our own writing or books. Its Jingbu has the Musical selection called Mu. It has all kinds of historical Yue classical Books. Ming Zhu Zai Yu has the mathematical models to introduce Twelfth Average Laws， he also discovered New Law Mi Rule， which has an important role in the Chinese Laws history. But New Law Mi Rule was ordered and corrected or despised by Qian Long on Yu Zhi Rules Edited by Lv Zhen Yi's Later Works， and also by the above works of Yue Rules Quan shu .Correcting Rules，which was critizised as nonsence.On Yu Zhi Rules Edited by Lv Zheng Yi's Later Works of the article Yue Questions， which was criticized as ten crimes by Zhu Zai Yu' New Law Mi Rule.This Yue Question was the rule to administer all the army and people as their spirit rules while they would have creative ideas. It is not beneficent towards academic research， and also it prohibits the advanced thoughts.

Key words：Zhu Zaiyu;the Twelfth Average Law;Yu Zhi Law  Lv Zhengyi's Works

责任编辑：胡海琴